Le concept d’inégalité mathématique est apparu dans l’Antiquité. Ceci s'est produit quand homme primitif Il était nécessaire de comparer leur quantité et leur taille lors du comptage et de la manipulation de divers objets. Depuis l'Antiquité, Archimède, Euclide et d'autres scientifiques célèbres : mathématiciens, astronomes, designers et philosophes ont utilisé les inégalités dans leur raisonnement.
Mais ils utilisaient généralement une terminologie verbale dans leurs œuvres. Pour la première fois, des signes modernes désignant les concepts de « plus » et de « moins » tels que tous les écoliers les connaissent aujourd'hui ont été inventés et mis en pratique en Angleterre. Le mathématicien Thomas Harriot a rendu un tel service à ses descendants. Et cela s'est produit il y a environ quatre siècles.
Il existe de nombreux types d’inégalités connues. Parmi eux, il y en a des simples, contenant une, deux ou plusieurs variables, des rapports quadratiques, fractionnaires, complexes, et même ceux représentés par un système d'expressions. La meilleure façon de comprendre comment résoudre les inégalités est d’utiliser divers exemples.
Ne ratez pas le train
Pour commencer, imaginons qu’un habitant d’une zone rurale soit pressé de se rendre gare, qui est situé à 20 km de son village. Afin de ne pas rater le train partant à 11 heures, il doit quitter la maison à l'heure. A quelle heure faut-il le faire si sa vitesse est de 5 km/h ? La solution à ce problème pratique revient à remplir les conditions de l'expression : 5 (11 - X) ≥ 20, où X est l'heure de départ.
Cela est compréhensible, car la distance qu'un villageois doit parcourir jusqu'à la gare est égale à la vitesse de déplacement multipliée par le nombre d'heures de route. Viens autrefois homme peut-être, mais il ne peut pas être en retard. En sachant comment résoudre les inégalités et en appliquant vos compétences dans la pratique, vous obtiendrez X ≤ 7, ce qui est la réponse. Cela signifie que le villageois doit se rendre à la gare à sept heures du matin ou un peu plus tôt.
Intervalles numériques sur une ligne de coordonnées
Voyons maintenant comment mapper les relations décrites sur l'inégalité obtenue ci-dessus n'est pas stricte. Cela signifie que la variable peut prendre des valeurs inférieures à 7, ou qu'elle peut être égale à ce nombre. Donnons d'autres exemples. Pour ce faire, considérez attentivement les quatre figures présentées ci-dessous.
Sur le premier, vous pouvez voir image graphiqueécart [-7 ; 7]. Il se compose d'un ensemble de nombres placés sur une ligne de coordonnées et situés entre -7 et 7, limites comprises. Dans ce cas, les points sur le graphique sont représentés par des cercles pleins et l'intervalle est enregistré en utilisant
La deuxième figure est une représentation graphique de l’inégalité stricte. Dans ce cas, les nombres limites -7 et 7, représentés par des points perforés (non remplis), ne sont pas inclus dans l'ensemble spécifié. Et l'intervalle lui-même est écrit entre parenthèses comme suit : (-7 ; 7).
Autrement dit, après avoir compris comment résoudre des inégalités de ce type et reçu une réponse similaire, nous pouvons conclure qu'il s'agit de nombres compris entre les limites en question, à l'exception de -7 et 7. Les deux cas suivants doivent être évalués de manière manière similaire. La troisième figure montre des images des intervalles (-∞; -7] U
Compliquons maintenant un peu le problème et considérons non seulement les polynômes, mais aussi les fractions dites rationnelles de la forme :
où $P\left(x \right)$ et $Q\left(x \right)$ sont les mêmes polynômes de la forme $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, ou le produit de tels polynômes.
Ce sera une inégalité rationnelle. Le point fondamental est la présence de la variable $x$ au dénominateur. Par exemple, ce sont des inégalités rationnelles :
\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]
Et ce n'est pas une inégalité rationnelle, mais l'inégalité la plus courante, qui peut être résolue par la méthode des intervalles :
\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]
Pour l'avenir, je dirai tout de suite : il existe au moins deux manières de résoudre les inégalités rationnelles, mais toutes, d'une manière ou d'une autre, se résument à la méthode des intervalles que nous connaissons déjà. Par conséquent, avant d'analyser ces méthodes, rappelons-nous les anciens faits, sinon le nouveau matériel n'aura aucun sens.
Ce que vous devez déjà savoir
Il n'y a jamais trop de faits importants. En réalité, nous n’en avons besoin que de quatre.
Formules de multiplication abrégées
Oui, oui : ils nous hanteront tout au long programme scolaire mathématiques. Et à l'université aussi. Il existe un certain nombre de ces formules, mais nous n'avons besoin que des suivantes :
\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(ab \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \droite); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\droite). \\ \fin(aligner)\]
Faites attention aux deux dernières formules - ce sont la somme et la différence des cubes (et non le cube de la somme ou de la différence !). Ils sont faciles à retenir si vous remarquez que le signe dans la première parenthèse coïncide avec le signe dans l'expression originale et dans la seconde, il est opposé au signe dans l'expression originale.
Équations linéaires
Ce sont les plus équations simples de la forme $ax+b=0$, où $a$ et $b$ sont des nombres ordinaires, et $a\ne 0$. Cette équation peut être résolue simplement :
\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \fin(aligner)\]
Précisons que nous avons le droit de diviser par le coefficient $a$, car $a\ne 0$. Cette exigence est assez logique, puisque pour $a=0$ on obtient ceci :
Premièrement, il n'y a pas de variable $x$ dans cette équation. Ceci, d'une manière générale, ne devrait pas nous dérouter (cela arrive, disons, en géométrie, et assez souvent), mais ce n'est quand même plus une équation linéaire.
Deuxièmement, la solution de cette équation dépend uniquement du coefficient $b$. Si $b$ est également nul, alors notre équation a la forme $0=0$. Cette égalité est toujours vraie ; cela signifie que $x$ est n'importe quel nombre (généralement écrit comme ceci : $x\in \mathbb(R)$). Si le coefficient $b$ n'est pas égal à zéro, alors l'égalité $b=0$ n'est jamais satisfaite, c'est-à-dire il n'y a pas de réponses (écrivez $x\in \varnothing $ et lisez « l'ensemble de solutions est vide »).
Pour éviter toutes ces difficultés, nous supposons simplement $a\ne 0$, ce qui ne nous limite en rien dans la réflexion ultérieure.
Équations du second degré
Permettez-moi de vous rappeler que voici comment s'appelle une équation quadratique :
Ici à gauche se trouve un polynôme du deuxième degré, et encore $a\ne 0$ (sinon, au lieu de équation quadratique nous obtenons linéaire). Les équations suivantes sont résolues par le discriminant :
- Si $D \gt 0$, on obtient deux racines différentes ;
- Si $D=0$, alors il y aura une racine, mais de la deuxième multiplicité (de quel type de multiplicité s'agit-il et comment en tenir compte - nous en parlerons plus tard). Ou on peut dire que l’équation a deux racines identiques ;
- Pour $D \lt 0$, il n'y a pas de racines du tout, et le signe du polynôme $a((x)^(2))+bx+c$ pour tout $x$ coïncide avec le signe du coefficient $a $. Au fait, c'est très fait utile, dont, pour une raison quelconque, ils oublient de parler dans les cours d'algèbre.
Les racines elles-mêmes sont calculées à l'aide de la formule bien connue :
\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]
D'où, d'ailleurs, les restrictions imposées au discriminant. Après tout Racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas. De nombreux étudiants ont un terrible désordre dans la tête à propos des racines, j'ai donc spécialement écrit une leçon entière : qu'est-ce qu'une racine en algèbre et comment la calculer - je recommande fortement de la lire. :)
Opérations avec des fractions rationnelles
Vous savez déjà tout ce qui a été écrit ci-dessus si vous avez étudié la méthode des intervalles. Mais ce que nous allons analyser maintenant n'a pas d'analogue dans le passé - c'est un fait complètement nouveau.
Définition. Une fraction rationnelle est une expression de la forme
\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]
où $P\left(x \right)$ et $Q\left(x \right)$ sont des polynômes.
Évidemment, il est facile d’obtenir une inégalité à partir d’une telle fraction : il suffit d’ajouter le signe « supérieur à » ou « inférieur à » à droite. Et un peu plus loin nous découvrirons que résoudre de tels problèmes est un plaisir, tout est très simple.
Les problèmes commencent lorsqu’il existe plusieurs fractions de ce type dans une expression. Il faut les ramener à un dénominateur commun - et c'est à ce moment-là que cela est permis un grand nombre de erreurs offensives.
Par conséquent, pour une solution réussie équations rationnelles Deux compétences doivent être fermement maîtrisées :
- Factorisation du polynôme $P\left(x \right)$ ;
- En fait, ramener les fractions à un dénominateur commun.
Comment factoriser un polynôme ? Très simple. Disons un polynôme de la forme
Nous l'assimilons à zéro. On obtient une équation de $n$ième degré :
\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]
Disons que nous avons résolu cette équation et obtenu les racines $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (ne vous inquiétez pas : dans la plupart des cas, il y aura pas plus de deux de ces racines) . Dans ce cas, notre polynôme original peut être réécrit comme suit :
\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]
C'est tout! Attention : le coefficient dominant $((a)_(n))$ n'a disparu nulle part - ce sera un multiplicateur distinct devant les parenthèses, et si nécessaire, il peut être inséré dans n'importe laquelle de ces parenthèses (la pratique montre qu'avec $((a)_ (n))\ne \pm 1$ il y a presque toujours des fractions parmi les racines).
Tâche. Simplifiez l'expression :
\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]
Solution. Tout d’abord, regardons les dénominateurs : ce sont tous des binômes linéaires, et il n’y a rien à prendre en compte ici. Factorisons donc les numérateurs :
\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \droite)\gauche(x-1 \droite); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\\fin (aligner)\]
Attention : dans le deuxième polynôme, le coefficient dominant « 2 », en pleine conformité avec notre schéma, apparaissait d'abord devant la parenthèse, puis était inclus dans la première parenthèse, puisque la fraction y figurait.
La même chose s'est produite dans le troisième polynôme, sauf que là l'ordre des termes est également inversé. Cependant, le coefficient « −5 » a fini par être inclus dans la deuxième tranche (rappelez-vous : vous pouvez saisir le facteur dans une et une seule tranche !), ce qui nous a évité les désagréments liés aux racines fractionnaires.
Quant au premier polynôme, tout est simple : ses racines sont recherchées soit classiquement à travers le discriminant, soit à l’aide du théorème de Vieta.
Revenons à l'expression originale et réécrivons-la avec les numérateurs factorisés :
\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \fin(matrice)\]
Réponse : 5$x+4$.
Comme vous pouvez le constater, rien de compliqué. Un peu de mathématiques de 7e à 8e années et c'est tout. Le but de toutes les transformations est d’obtenir quelque chose de simple et facile à travailler à partir d’une expression complexe et effrayante.
Cependant, ce ne sera pas toujours le cas. Nous allons donc maintenant examiner un problème plus grave.
Mais d’abord, voyons comment ramener deux fractions à un dénominateur commun. L'algorithme est extrêmement simple :
- Factorisez les deux dénominateurs ;
- Considérez le premier dénominateur et ajoutez-y les facteurs qui sont présents dans le deuxième dénominateur, mais pas dans le premier. Le produit résultant sera le dénominateur commun ;
- Découvrez quels facteurs manquent à chacune des fractions originales pour que les dénominateurs deviennent égaux au commun.
Cet algorithme peut vous sembler être simplement du texte avec « beaucoup de lettres ». Par conséquent, regardons tout à l’aide d’un exemple spécifique.
Tâche. Simplifiez l'expression :
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]
Solution. Il est préférable de résoudre des problèmes aussi importants en plusieurs parties. Écrivons ce qu'il y a dans la première parenthèse :
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]
Contrairement au problème précédent, les dénominateurs ne sont pas ici si simples. Prenons chacun d'eux en compte.
Le trinôme carré $((x)^(2))+2x+4$ ne peut pas être factorisé, puisque l'équation $((x)^(2))+2x+4=0$ n'a pas de racines (le discriminant est négatif ). Nous le laissons inchangé.
Le deuxième dénominateur - le polynôme cubique $((x)^(3))-8$ - après un examen attentif est la différence des cubes et se développe facilement à l'aide des formules de multiplication abrégées :
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \droite)\]
Rien d'autre ne peut être factorisé, puisque dans la première parenthèse il y a un binôme linéaire, et dans la seconde il y a une construction qui nous est déjà familière, qui n'a pas de véritables racines.
Enfin, le troisième dénominateur est un binôme linéaire qui ne peut être développé. Ainsi, notre équation prendra la forme :
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]
Il est bien évident que le dénominateur commun sera précisément $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, et pour y réduire toutes les fractions il est nécessaire de multiplier la première fraction par $\left(x-2 \right)$, et la dernière - par $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Il ne reste plus qu'à en donner des similaires :
\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ droite))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\gauche(x-2 \droite)\gauche (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ gauche(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \fin(matrice)\]
Faites attention à la deuxième ligne : lorsque le dénominateur est déjà commun, c'est-à-dire Au lieu de trois fractions distinctes, nous en avons écrit une grande : il ne faut pas se débarrasser des parenthèses tout de suite. Il est préférable d'écrire une ligne supplémentaire et de noter que, disons, il y avait un moins avant la troisième fraction - et cela n'ira nulle part, mais "se bloquera" au numérateur devant la parenthèse. Cela vous évitera bien des erreurs.
Eh bien, dans la dernière ligne, il est utile de factoriser le numérateur. De plus, il s'agit d'un carré exact, et des formules de multiplication abrégées nous viennent encore en aide. Nous avons:
\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Traitons maintenant la deuxième tranche exactement de la même manière. Ici, je vais juste écrire une chaîne d'égalités :
\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \fin(matrice)\]
Revenons au problème initial et regardons le produit :
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
Réponse : \[\frac(1)(x+2)\].
Le sens de cette tâche est le même que la précédente : montrer comment les expressions rationnelles peuvent être simplifiées si vous abordez judicieusement leur transformation.
Et maintenant que vous savez tout cela, passons au sujet principal de la leçon d'aujourd'hui : résoudre les inégalités rationnelles fractionnaires. De plus, après une telle préparation, vous briserez les inégalités elles-mêmes comme des noix. :)
Le principal moyen de résoudre les inégalités rationnelles
Il existe au moins deux approches pour résoudre les inégalités rationnelles. Nous allons maintenant examiner l'un d'entre eux - celui qui est généralement accepté dans le cours de mathématiques à l'école.
Mais notons d'abord détail important. Toutes les inégalités sont divisées en deux types :
- Strict : $f\left(x \right) \gt 0$ ou $f\left(x \right) \lt 0$ ;
- Laxiste : $f\left(x \right)\ge 0$ ou $f\left(x \right)\le 0$.
Les inégalités du deuxième type peuvent facilement être réduites au premier, ainsi que l'équation :
Ce petit "ajout" $f\left(x \right)=0$ conduit à une chose aussi désagréable que des points remplis - nous nous sommes familiarisés avec eux dans la méthode des intervalles. Sinon, il n'y a pas de différence entre les inégalités strictes et non strictes, regardons donc l'algorithme universel :
- Collectez tous les éléments non nuls d’un côté du signe d’inégalité. Par exemple, à gauche ;
- Réduisez toutes les fractions à un dénominateur commun (s'il existe plusieurs de ces fractions), apportez-en des similaires. Ensuite, si possible, factorisez le numérateur et le dénominateur. D'une manière ou d'une autre, nous obtiendrons une inégalité de la forme $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, où la « coche » est le signe de l'inégalité. .
- Nous assimilons le numérateur à zéro : $P\left(x \right)=0$. Nous résolvons cette équation et obtenons les racines $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Ensuite, nous avons besoin que le dénominateur n'était pas égal à zéro : $Q\left(x \right)\ne 0$. Bien sûr, nous devons essentiellement résoudre l'équation $Q\left(x \right)=0$, et nous obtenons les racines $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (dans les problèmes réels, il n'y aura guère plus de trois racines de ce type).
- Nous marquons toutes ces racines (avec et sans astérisques) sur une seule droite numérique, et les racines sans étoiles sont peintes et celles avec des étoiles sont perforées.
- Nous plaçons les signes « plus » et « moins », sélectionnons les intervalles dont nous avons besoin. Si l'inégalité a la forme $f\left(x \right) \gt 0$, alors la réponse sera les intervalles marqués d'un « plus ». Si $f\left(x \right) \lt 0$, alors nous regardons les intervalles avec des « moins ».
La pratique montre que les plus grandes difficultés sont causées par les points 2 et 4 - les transformations compétentes et la disposition correcte des nombres par ordre croissant. Eh bien, à la dernière étape, soyez extrêmement prudent : nous plaçons toujours des panneaux en fonction de la toute dernière inégalité écrite avant de passer aux équations. Ce règle universelle, hérité de la méthode des intervalles.
Il y a donc un schéma. Entraînons-nous.
Tâche. Résoudre l'inégalité :
\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]
Solution. On a une inégalité stricte de la forme $f\left(x \right) \lt 0$. Evidemment, les points 1 et 2 de notre schéma sont déjà remplis : tous les éléments d'inégalité sont rassemblés à gauche, il n'est pas nécessaire de ramener quoi que ce soit à un dénominateur commun. Passons donc directement au troisième point.
Nous assimilons le numérateur à zéro :
\[\begin(aligner) & x-3=0; \\ &x=3. \fin(aligner)\]
Et le dénominateur :
\[\begin(aligner) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \fin(aligner)\]
C'est là que beaucoup de gens restent bloqués, car en théorie il faut écrire $x+7\ne 0$, comme l'exige l'ODZ (on ne peut pas diviser par zéro, c'est tout). Mais à l'avenir, nous éliminerons les points issus du dénominateur, il n'est donc pas nécessaire de compliquer à nouveau vos calculs - écrivez un signe égal partout et ne vous inquiétez pas. Personne ne déduira de points pour cela. :)
Quatrième point. Nous marquons les racines résultantes sur la droite numérique :
Tous les points sont épinglés, puisque l'inégalité est stricte
Note: tous les points sont épinglés, puisque l'inégalité originelle est stricte. Et ici, peu importe que ces points proviennent du numérateur ou du dénominateur.
Eh bien, regardons les signes. Prenons n'importe quel nombre $((x)_(0)) \gt 3$. Par exemple, $((x)_(0))=100$ (mais avec le même succès on pourrait prendre $((x)_(0))=3,1$ ou $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000$). On a:
Ainsi, à droite de toutes les racines, nous avons une région positive. Et en passant par chaque racine, le signe change (ce ne sera pas toujours le cas, mais nous y reviendrons plus tard). Passons donc au cinquième point : disposez les panneaux et sélectionnez celui dont vous avez besoin :
Revenons à la dernière inégalité qui existait avant la résolution des équations. En fait, cela coïncide avec l'original, car nous n'avons effectué aucune transformation dans cette tâche.
Puisque nous devons résoudre une inégalité de la forme $f\left(x \right) \lt 0$, j'ai ombré l'intervalle $x\in \left(-7;3 \right)$ - c'est le seul marqué avec un signe moins. C'est la réponse.
Réponse : $x\in \left(-7;3 \right)$
C'est tout! C'est difficile? Non, ce n'est pas difficile. Il est vrai que la tâche était facile. Compliquons maintenant un peu la mission et considérons une inégalité plus « sophistiquée ». Lors de sa résolution, je ne donnerai plus de calculs aussi détaillés - j'indiquerai simplement points clés. En général, nous le formaterons de la même manière que nous le formaterions sur travail indépendant ou examen. :)
Tâche. Résoudre l'inégalité :
\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]
Solution. Il s'agit d'une inégalité non stricte de la forme $f\left(x \right)\ge 0$. Tous les éléments non nuls sont rassemblés à gauche, différents dénominateurs Non. Passons aux équations.
Numérateur:
\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \fin(aligner)\]
Dénominateur:
\[\begin(aligner) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \fin(aligner)\]
Je ne sais pas quel genre de pervers a créé ce problème, mais les racines ne se sont pas très bien révélées : il serait difficile de les placer sur la droite numérique. Et si avec la racine $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ tout est plus ou moins clair (c'est le seul nombre positif- ce sera à droite), alors $((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ et $((x)_(2))=-(2)/( 11)\ ;$ nécessitent des recherches plus approfondies : laquelle est la plus grande ?
Vous pouvez le découvrir, par exemple, comme ceci :
\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]
J'espère qu'il n'est pas nécessaire d'expliquer pourquoi la fraction numérique $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Si nécessaire, je recommande de rappeler comment effectuer des opérations avec des fractions.
Et nous marquons les trois racines sur la droite numérique :
Les points du numérateur sont remplis, les points du dénominateur sont perforés
Nous mettons des panneaux. Par exemple, vous pouvez prendre $((x)_(0))=1$ et connaître le signe à ce stade :
\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]
La dernière inégalité avant les équations était $f\left(x \right)\ge 0$, nous nous intéressons donc au signe plus.
Nous avons deux ensembles : l’un est un segment ordinaire et l’autre est un rayon ouvert sur la droite numérique.
Réponse : $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$
Une remarque importante sur les nombres que nous substituons pour connaître le signe sur l'intervalle le plus à droite. Il n’est absolument pas nécessaire de substituer le nombre le plus proche de la racine la plus à droite. Vous pouvez prendre des milliards ou même « plus-infini » - dans ce cas, le signe du polynôme entre parenthèses, numérateur ou dénominateur, est déterminé uniquement par le signe du coefficient dominant.
Regardons à nouveau la fonction $f\left(x \right)$ de la dernière inégalité :
Sa notation contient trois polynômes :
\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\gauche(x \droite)=13x-4. \fin(aligner)\]
Tous sont des binômes linéaires et tous leurs coefficients principaux (numéros 7, 11 et 13) sont positifs. Par conséquent, en remplaçant très grands nombres Les polynômes eux-mêmes seront également positifs. :)
Cette règle peut paraître trop compliquée, mais seulement au début, lorsque l’on analyse des problèmes très simples. Dans les inégalités graves, remplacer « plus-infini » nous permettra de comprendre les signes beaucoup plus rapidement que la norme $((x)_(0))=100$.
Nous serons très bientôt confrontés à de tels défis. Mais d’abord, examinons une autre façon de résoudre les inégalités rationnelles fractionnaires.
Manière alternative
Cette technique m'a été suggérée par un de mes élèves. Je ne l'ai moi-même jamais utilisé, mais la pratique a montré que de nombreux étudiants trouvent vraiment plus pratique de résoudre les inégalités de cette façon.
Les données initiales sont donc les mêmes. Nous devons résoudre l’inégalité rationnelle fractionnaire :
\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]
Réfléchissons : pourquoi le polynôme $Q\left(x \right)$ est-il « pire » que le polynôme $P\left(x \right)$ ? Pourquoi faut-il considérer des groupes de racines séparés (avec et sans astérisque), penser aux points perforés, etc. ? C'est simple : une fraction a un domaine de définition, selon lequel la fraction n'a de sens que lorsque son dénominateur est différent de zéro.
Sinon, il n'y a pas de différence entre le numérateur et le dénominateur : on l'assimile également à zéro, on cherche les racines, puis on les marque sur la droite numérique. Alors pourquoi ne pas remplacer la ligne fractionnaire (en fait, le signe de division) par une multiplication ordinaire et écrire toutes les exigences de l'ODZ sous la forme d'une inégalité distincte ? Par exemple, comme ceci :
\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]
Attention : cette approche réduira le problème à la méthode des intervalles, mais ne compliquera pas du tout la solution. Après tout, nous assimilerons toujours le polynôme $Q\left(x \right)$ à zéro.
Voyons comment cela fonctionne sur des problèmes réels.
Tâche. Résoudre l'inégalité :
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]
Solution. Passons donc à la méthode des intervalles :
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]
La première inégalité peut être résolue de manière élémentaire. Nous assimilons simplement chaque parenthèse à zéro :
\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \fin(aligner)\]
La deuxième inégalité est également simple :
Marquez les points $((x)_(1))$ et $((x)_(2))$ sur la droite numérique. Tous sont éliminés, puisque l'inégalité est stricte :
Le bon point a été arraché deux fois. C'est bon.Faites attention au point $x=11$. Il s'avère qu'il est « doublement perforé » : d'une part, on le pique en raison de la gravité des inégalités, d'autre part, en raison de l'exigence supplémentaire de DL.
Dans tous les cas, ce ne sera qu’un point crevé. Par conséquent, nous organisons les signes de l'inégalité $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - la dernière que nous avons vue avant de commencer à résoudre les équations :
Nous nous intéressons aux régions positives, puisque nous résolvons une inégalité de la forme $f\left(x \right) \gt 0$ - nous les ombrerons. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse.
Répondre. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$
En utilisant cette solution comme exemple, je voudrais vous mettre en garde contre une erreur courante chez les étudiants débutants. A savoir : ne jamais ouvrir de parenthèses dans les inégalités ! Au contraire, essayez de tout prendre en compte - cela simplifiera la solution et vous évitera de nombreux problèmes.
Essayons maintenant quelque chose de plus compliqué.
Tâche. Résoudre l'inégalité :
\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]
Solution. Il s'agit d'une inégalité non stricte de la forme $f\left(x \right)\le 0$, vous devez donc ici prêter une attention particulière aux points ombrés.
Passons à la méthode des intervalles :
\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]
Passons à l'équation :
\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2.2. \\ \fin(aligner)\]
Nous prenons en compte l'exigence supplémentaire :
Nous marquons toutes les racines résultantes sur la droite numérique :
Si un point est à la fois perforé et comblé, il est considéré comme perforéEncore une fois, deux points se « chevauchent » - c'est normal, ce sera toujours comme ça. Il est seulement important de comprendre qu'un point marqué à la fois comme perforé et repeint est en réalité un point perforé. Ceux. « piquer » est une action plus forte que « peindre ».
C'est tout à fait logique, car en pinçant on marque des points qui affectent le signe de la fonction, mais ne participent pas eux-mêmes à la réponse. Et si à un moment donné le numéro ne nous convient plus (par exemple, il ne rentre pas dans l'ODZ), nous le rayons de la considération jusqu'à la toute fin de la tâche.
En général, arrêtez de philosopher. Nous plaçons des panneaux et peignons sur les intervalles marqués d'un signe moins :
Répondre. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.
Et encore une fois je voulais attirer votre attention sur cette équation :
\[\gauche(2x-13 \droite)\gauche(12x-9 \droite)\gauche(15x+33 \droite)=0\]
Encore une fois : n’ouvrez jamais les parenthèses dans de telles équations ! Vous ne ferez que rendre les choses plus difficiles pour vous-même. Rappel : le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro. Par conséquent, cette équation « se désagrège » simplement en plusieurs équations plus petites, que nous avons résolues dans le problème précédent.
Prendre en compte la multiplicité des racines
D'après les problèmes précédents, il est facile de voir que ce sont les inégalités non strictes qui sont les plus difficiles, car dans celles-ci, il faut garder une trace des points ombrés.
Mais il existe un mal encore plus grand dans le monde : ce sont les multiples racines des inégalités. Ici, vous n'avez plus besoin de suivre certains points ombrés - ici, le signe d'inégalité ne peut pas changer soudainement en passant par ces mêmes points.
Nous n'avons pas encore envisagé quoi que ce soit de tel dans cette leçon (bien qu'un problème similaire ait souvent été rencontré dans la méthode des intervalles). Nous introduisons donc une nouvelle définition :
Définition. La racine de l'équation $((\left(x-a \right))^(n))=0$ est égale à $x=a$ et est appelée la racine de la $n$ième multiplicité.
En fait, cela ne nous intéresse pas particulièrement valeur exacte multiplicité. La seule chose qui compte est de savoir si ce même nombre $n$ est pair ou impair. Parce que:
- Si $x=a$ est une racine de multiplicité paire, alors le signe de la fonction ne change pas en la traversant ;
- Et vice versa, si $x=a$ est une racine de multiplicité impaire, alors le signe de la fonction changera.
Tous les problèmes précédents abordés dans cette leçon sont un cas particulier de racine de multiplicité impaire : partout la multiplicité est égale à un.
Et plus loin. Avant de commencer à résoudre des problèmes, je voudrais attirer votre attention sur une subtilité qui semble évidente pour un étudiant expérimenté, mais qui plonge de nombreux débutants dans la stupeur. À savoir:
La racine de multiplicité $n$ n'apparaît que dans le cas où l'expression entière est élevée à cette puissance : $((\left(x-a \right))^(n))$, et non $\left(((x) ^( n))-a \right)$.
Encore une fois : la parenthèse $((\left(x-a \right))^(n))$ nous donne la racine $x=a$ de multiplicité $n$, mais la parenthèse $\left(((x)^( n)) -a \right)$ ou, comme cela arrive souvent, $(a-((x)^(n)))$ nous donne une racine (ou deux racines, si $n$ est pair) de la première multiplicité , peu importe ce qui est égal à $n$.
Comparer:
\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]
Tout est clair ici : la tranche entière a été élevée à la puissance cinquième, donc le résultat que nous avons obtenu était la racine de la puissance cinquième. Et maintenant:
\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]
Nous avons deux racines, mais toutes deux ont une première multiplicité. Ou en voici un autre :
\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]
Et ne laissez pas le dixième degré vous déranger. L'essentiel est que 10 est un nombre pair, donc à la sortie nous avons deux racines, et toutes deux ont à nouveau le premier multiple.
En général, soyez prudent : la multiplicité n'apparaît que lorsque le degré fait référence à la parenthèse entière, pas seulement à la variable.
Tâche. Résoudre l'inégalité :
\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]
Solution. Essayons de le résoudre d'une manière alternative - en passant du quotient au produit :
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\droite.\]
Traitons la première inégalité en utilisant la méthode des intervalles :
\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \fin(aligner)\]
De plus, nous résolvons la deuxième inéquation. En fait, nous l'avons déjà résolu, mais pour que les évaluateurs ne trouvent pas à redire à la solution, il vaut mieux la résoudre à nouveau :
\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]
Attention : il n'y a pas de multiplicités dans la dernière inégalité. En fait : quelle différence cela fait-il de biffer le point $x=-7$ sur la droite numérique ? Au moins une fois, au moins cinq fois, le résultat sera le même : un point crevé.
Marquons tout ce que nous avons sur la droite numérique :
Comme je l'ai dit, le point $x=-7$ finira par être perforé. Les multiplicités sont organisées en fonction de la résolution de l'inégalité à l'aide de la méthode des intervalles.
Il ne reste plus qu'à placer les panneaux :
Puisque le point $x=0$ est une racine de multiplicité paire, le signe ne change pas en le traversant. Les points restants ont une étrange multiplicité, et tout est simple avec eux.
Répondre. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$
Encore une fois, faites attention à $x=0$. En raison de la multiplicité même, un effet intéressant apparaît : tout à gauche est peint, tout à droite est également peint et le point lui-même est complètement peint.
De ce fait, il n’est pas nécessaire de l’isoler lors de l’enregistrement de la réponse. Ceux. il n'est pas nécessaire d'écrire quelque chose comme $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (bien que formellement une telle réponse serait également correcte). Au lieu de cela, nous écrivons immédiatement $x\in \left[ -4;6 \right]$.
De tels effets ne sont possibles qu’avec des racines de multiplicité égale. Et dans le problème suivant, nous rencontrerons la « manifestation » inverse de cet effet. Prêt?
Tâche. Résoudre l'inégalité :
\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \gauche(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]
Solution. Cette fois, nous suivrons le schéma standard. Nous assimilons le numérateur à zéro :
\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \fin(aligner)\]
Et le dénominateur :
\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \fin(aligner)\]
Puisque nous résolvons une inégalité non stricte de la forme $f\left(x \right)\ge 0$, les racines du dénominateur (qui ont des astérisques) seront supprimées et celles du numérateur seront ombrées.
Nous plaçons des panneaux et ombrons les zones marquées d'un « plus » :
Le point $x=3$ est isolé. Cela fait partie de la réponse
Avant d'écrire la réponse finale, regardons de près l'image :
- Le point $x=1$ a une multiplicité paire, mais est lui-même perforé. Il faudra donc l'isoler dans la réponse : il faut écrire $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, et non $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
- Le point $x=3$ a également une multiplicité paire et est ombré. La disposition des panneaux indique que le point lui-même nous convient, mais un pas à gauche ou à droite - et nous nous retrouvons dans une zone qui ne nous convient définitivement pas. De tels points sont appelés isolés et s'écrivent sous la forme $x\in \left\( 3 \right\)$.
Nous combinons toutes les pièces reçues dans un ensemble commun et notons la réponse.
Réponse : $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $
Définition. Résoudre les inégalités signifie trouver l'ensemble de toutes ses solutions, ou prouver que cet ensemble est vide.
Il semblerait : qu'est-ce qui pourrait être incompréhensible ici ? Oui, le fait est que les ensembles peuvent être définis de différentes manières. Écrivons à nouveau la réponse au dernier problème :
Nous lisons littéralement ce qui est écrit. La variable « x » appartient à un certain ensemble, qui est obtenu en combinant (le signe « U ») quatre ensembles distincts :
- Intervalle $\left(-\infty ;1 \right)$, qui signifie littéralement « tous les nombres inférieurs à un, mais pas l'unité elle-même » ;
- Intervalle $\left(1;2 \right)$, c'est-à-dire « tous les nombres compris entre 1 et 2, mais pas les nombres 1 et 2 eux-mêmes » ;
- L'ensemble $\left\( 3 \right\)$, composé d'un seul nombre - trois ;
- L'intervalle $\left[ 4;5 \right)$ contenant tous les nombres compris entre 4 et 5, ainsi que le quatre lui-même, mais pas le cinq.
Le troisième point est ici intéressant. Contrairement aux intervalles, qui définissent des ensembles infinis de nombres et n'indiquent que les limites de ces ensembles, l'ensemble $\left\( 3 \right\)$ spécifie strictement un nombre par énumération.
Pour comprendre que nous répertorions des nombres spécifiques inclus dans l'ensemble (et ne fixons pas de limites ou quoi que ce soit d'autre), des accolades sont utilisées. Par exemple, la notation $\left\( 1;2 \right\)$ signifie exactement « un ensemble composé de deux nombres : 1 et 2 », mais pas un segment de 1 à 2. Ne confondez en aucun cas ces concepts .
Règle d'ajout de multiples
Eh bien, à la fin de la leçon d'aujourd'hui, une petite boîte de conserve de Pavel Berdov. :)
Les étudiants attentifs se sont probablement déjà demandés : que se passera-t-il si le numérateur et le dénominateur ont les mêmes racines ? Ainsi, la règle suivante fonctionne :
Les multiplicités de racines identiques s'ajoutent. Toujours. Même si cette racine apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur.
Parfois, il vaut mieux décider que parler. Nous résolvons donc le problème suivant :
Tâche. Résoudre l'inégalité :
\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]
\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \fin(aligner)\]
Rien de spécial pour l'instant. Nous assimilons le dénominateur à zéro :
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Flèche droite x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \fin(aligner)\]
Deux racines identiques ont été découvertes : $((x)_(1))=-2$ et $x_(4)^(*)=-2$. Les deux ont la première multiplicité. Par conséquent, nous les remplaçons par une racine $x_(4)^(*)=-2$, mais avec une multiplicité de 1+1=2.
De plus, il existe également des racines identiques : $((x)_(2))=-4$ et $x_(2)^(*)=-4$. Ils sont également de la première multiplicité, donc il ne restera que $x_(2)^(*)=-4$ de multiplicité 1+1=2.
Attention : dans les deux cas, nous avons laissé exactement la racine « perforée » et exclu celle « peinte ». Car au début de la leçon nous étions d'accord : si un point est à la fois perforé et repeint, alors nous le considérons toujours comme perforé.
En conséquence, nous avons quatre racines, et elles ont toutes été coupées :
\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\gauche(2k \droite). \\ \fin(aligner)\]
On les marque sur la droite numérique, en tenant compte de la multiplicité :
Nous plaçons des panneaux et peignons sur les zones qui nous intéressent :
Tous. Pas de points isolés ou autres perversions. Vous pouvez écrire la réponse.
Répondre. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.
Règle pour multiplier les multiples
Parfois, une situation encore plus désagréable se produit : une équation qui a plusieurs racines est elle-même élevée à une certaine puissance. Dans ce cas, les multiplicités de toutes les racines originales changent.
C'est rare, c'est pourquoi la plupart des étudiants n'ont aucune expérience dans la résolution de tels problèmes. Et la règle ici est la suivante :
Lorsqu'une équation est élevée à la puissance $n$, les multiplicités de toutes ses racines augmentent également de $n$ fois.
Autrement dit, élever à une puissance conduit à multiplier les multiples par la même puissance. Examinons cette règle à l'aide d'un exemple :
Tâche. Résoudre l'inégalité :
\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]
Solution. Nous assimilons le numérateur à zéro :
Le produit est nul lorsqu’au moins un des facteurs est nul. Tout est clair avec le premier facteur : $x=0$. Mais alors les problèmes commencent :
\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]
Comme on le voit, l'équation $((x)^(2))-6x+9=0$ a une racine unique de la deuxième multiplicité : $x=3$. Toute cette équation est ensuite mise au carré. Par conséquent, la multiplicité de la racine sera $2\cdot 2=4$, ce que nous avons finalement écrit.
\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]
Il n'y a pas non plus de problèmes avec le dénominateur :
\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \fin(aligner)\]
Au total, nous avons obtenu cinq points : deux perforés et trois peints. Il n'y a pas de racines coïncidentes au numérateur et au dénominateur, nous les marquons donc simplement sur la droite numérique :
Nous disposons les panneaux en tenant compte des multiplicités et peignons sur les intervalles qui nous intéressent :
Encore un point isolé et un crevé
En raison des racines même de la multiplicité, nous avons encore une fois obtenu quelques éléments « non standard ». Il s'agit de $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, et non de $x\in \left[ 0;2 \right)$, et aussi d'un point isolé $ x\in \left\( 3 \right\)$.
Répondre. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$
Comme vous pouvez le constater, tout n'est pas si compliqué. L'essentiel est l'attention. La dernière section de cette leçon est consacrée aux transformations - les mêmes dont nous avons parlé au tout début.
Pré-conversions
Les inégalités que nous examinerons dans cette section ne peuvent pas être qualifiées de complexes. Cependant, contrairement aux tâches précédentes, vous devrez ici appliquer les compétences de la théorie des fractions rationnelles - factorisation et réduction à un dénominateur commun.
Nous avons discuté de cette question en détail au tout début de la leçon d'aujourd'hui. Si vous n'êtes pas sûr de comprendre de quoi je parle, je vous recommande fortement de revenir en arrière et de le répéter. Parce que cela ne sert à rien de bourrer les méthodes de résolution des inégalités si vous « flottez » dans la conversion de fractions.
DANS devoirsÀ propos, il y aura également de nombreuses tâches similaires. Ils sont placés dans une sous-section distincte. Et vous y trouverez des exemples très non triviaux. Mais cela fera partie de nos devoirs, et examinons maintenant quelques-unes de ces inégalités.
Tâche. Résoudre l'inégalité :
\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]
Solution. Déplacez tout vers la gauche :
\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]
Nous réduisons à un dénominateur commun, ouvrons les parenthèses et apportons des termes similaires au numérateur :
\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]
Nous avons maintenant devant nous une inégalité fractionnaire-rationnelle classique, dont la solution n'est plus difficile. Je propose de le résoudre en utilisant une méthode alternative - par la méthode des intervalles :
\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \fin(aligner)\]
N'oubliez pas la contrainte qui vient du dénominateur :
Nous marquons tous les nombres et restrictions sur la droite numérique :
Toutes les racines ont une multiplicité première. Aucun problème. Nous plaçons simplement des panneaux et peignons sur les zones dont nous avons besoin :
C'est tout. Vous pouvez écrire la réponse.
Répondre. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.
Bien sûr, c’était un exemple très simple. Alors maintenant, regardons le problème plus sérieusement. Et d'ailleurs, le niveau de cette tâche est tout à fait cohérent avec les indépendants et essais sur ce sujet en 8e année.
Tâche. Résoudre l'inégalité :
\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]
Solution. Déplacez tout vers la gauche :
\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]
Avant de ramener les deux fractions à un dénominateur commun, factorisons ces dénominateurs. Et si les mêmes parenthèses sortaient ? Avec le premier dénominateur c'est simple :
\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]
Le second est un peu plus difficile. N'hésitez pas à ajouter un facteur constant dans la parenthèse où apparaît la fraction. Rappelez-vous : le polynôme d'origine avait des coefficients entiers, il y a donc de fortes chances que la factorisation ait des coefficients entiers (en fait, ce sera toujours le cas, à moins que le discriminant ne soit irrationnel).
\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]
Comme vous pouvez le voir, il existe une parenthèse commune : $\left(x-1 \right)$. Nous revenons à l'inégalité et ramenons les deux fractions à un dénominateur commun :
\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ gauche(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\gauche(3x-2 \droite))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \fin(aligner)\]
Nous assimilons le dénominateur à zéro :
\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( aligner)\]
Pas de racines multiples ou coïncidentes. Nous marquons quatre nombres sur la ligne :
Nous plaçons des panneaux :
Nous écrivons la réponse.
Réponse : $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.
