Enfant, j'étais tourmenté par la question de savoir ce qui était le plus grand nombre, et j'ai tourmenté presque tout le monde avec cette question stupide. Ayant appris le nombre un million, j'ai demandé s'il y avait un nombre supérieur à un million. Milliard? Que diriez-vous de plus d’un milliard ? Mille milliards? Que diriez-vous de plus d’un billion ? Finalement, il y a eu quelqu'un d'intelligent qui m'a expliqué que la question était stupide, puisqu'il suffit d'ajouter un au plus grand nombre, et il s'avère que ce n'est jamais le plus grand, puisqu'il y a des nombres encore plus grands.
Et ainsi, plusieurs années plus tard, j’ai décidé de me poser une autre question, à savoir : Quel est le plus grand nombre qui ait son propre nom ? Heureusement, il existe désormais Internet et vous pouvez l'utiliser pour intriguer les moteurs de recherche patients, ce qui ne qualifiera pas mes questions d'idiotes ;-). En fait, c’est ce que j’ai fait, et c’est ce que j’ai découvert grâce à cela.
| Nombre | Nom latin | Préfixe russe |
| 1 | inhabituel | un- |
| 2 | duo | duo- |
| 3 | très | trois- |
| 4 | quatuor | quadri- |
| 5 | quinque | quinti- |
| 6 | sexe | sexty |
| 7 | septembre | septi- |
| 8 | octobre | octi- |
| 9 | novembre | noni- |
| 10 | décembre | déci- |
Il existe deux systèmes de dénomination des nombres : américain et anglais.
Le système américain est construit de manière assez simple. Tous les noms de grands nombres sont construits ainsi : dans le début arrive Numéro ordinal latin, et à la fin le suffixe -illion y est ajouté. Une exception est le nom « million » qui est le nom du nombre mille (lat. mille) et le suffixe grossissant -illion (voir tableau). C’est ainsi que nous obtenons les nombres billions, quadrillions, quintillions, sextillions, septillions, octillions, nonillions et décillions. Le système américain est utilisé aux États-Unis, au Canada, en France et en Russie. Vous pouvez connaître le nombre de zéros dans un nombre écrit selon le système américain en utilisant la formule simple 3 x + 3 (où x est un chiffre latin).
Le système de dénomination anglais est le plus répandu au monde. Il est utilisé par exemple en Grande-Bretagne et en Espagne, ainsi que dans la plupart des anciennes colonies anglaises et espagnoles. Les noms des nombres dans ce système sont construits comme ceci : comme ceci : le suffixe -million est ajouté au chiffre latin, le nombre suivant (1000 fois plus grand) est construit selon le principe - le même chiffre latin, mais le suffixe - milliard. Autrement dit, après un billion dans le système anglais, il y a un billion, et ensuite seulement un quadrillion, suivi d'un quadrillion, etc. Ainsi, un quadrillion selon les systèmes anglais et américain sont des nombres complètement différents ! Vous pouvez connaître le nombre de zéros dans un nombre écrit selon le système anglais et se terminant par le suffixe -million, en utilisant la formule 6 x + 3 (où x est un chiffre latin) et en utilisant la formule 6 x + 6 pour les nombres. se terminant par - milliard.
Seul le nombre milliard (10 9) est passé du système anglais à la langue russe, qu'il serait encore plus correct de l'appeler comme l'appellent les Américains - milliard, puisque nous avons adopté le système américain. Mais qui dans notre pays fait quoi que ce soit selon les règles ! ;-) D'ailleurs, le mot trillion est parfois utilisé en russe (vous pouvez le constater par vous-même en effectuant une recherche dans Google ou Yandex) et cela signifie, apparemment, 1 000 000 milliards, c'est-à-dire quadrillion.
Outre les nombres écrits à l'aide de préfixes latins selon le système américain ou anglais, on connaît également des nombres dits non système, c'est-à-dire des numéros qui ont leur propre nom sans aucun préfixe latin. Il existe plusieurs numéros de ce type, mais je vous en parlerai plus en détail un peu plus tard.
Revenons à l'écriture en chiffres latins. Il semblerait qu'ils puissent écrire des nombres à l'infini, mais ce n'est pas tout à fait vrai. Maintenant, je vais vous expliquer pourquoi. Voyons d'abord comment s'appellent les nombres de 1 à 10 33 :
| Nom | Nombre |
| Unité | 10 0 |
| Dix | 10 1 |
| Cent | 10 2 |
| Mille | 10 3 |
| Million | 10 6 |
| Milliard | 10 9 |
| Mille milliards | 10 12 |
| Quadrillion | 10 15 |
| Quintillion | 10 18 |
| Sextillion | 10 21 |
| Septillion | 10 24 |
| Octillion | 10 27 |
| Quintillion | 10 30 |
| Décillion | 10 33 |
Et maintenant la question se pose : quelle est la prochaine étape ? Qu'y a-t-il derrière le décillion ? En principe, il est bien sûr possible, en combinant des préfixes, de générer des monstres tels que : andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion et novemdecillion, mais ce seront déjà des noms composés, et nous étions intéressé par nos propres numéros de noms. Par conséquent, selon ce système, en plus de ceux indiqués ci-dessus, vous ne pouvez toujours obtenir que trois noms propres - vigintillion (de Lat. viginti- vingt), centillion (de lat. centum- cent) et millions (de lat. mille- mille). Les Romains n’avaient pas plus de mille noms propres pour les nombres (tous les nombres au-delà de mille étaient composés). Par exemple, les Romains appelaient un million (1 000 000) décies centena milia, c'est-à-dire « dix cent mille ». Et maintenant, en fait, le tableau :
Ainsi, selon système similaire les nombres supérieurs à 10 3003, qui auraient son propre nom non composé, sont impossibles à obtenir ! Mais néanmoins, des nombres supérieurs à un million sont connus - ce sont les mêmes nombres non systémiques. Parlons enfin d'eux.
| Nom | Nombre |
| Myriade | 10 4 |
| 10 100 | |
| Asankheya | 10 140 |
| Googolplex | 10 10 100 |
| Deuxième numéro Skewes | 10 10 10 1000 |
| Méga | 2 (en notation Moser) |
| Mégiston | 10 (en notation Moser) |
| Moser | 2 (en notation Moser) |
| Numéro de Graham | G 63 (en notation Graham) |
| Staplex | G 100 (en notation Graham) |
Le plus petit de ces nombres est myriade(c'est même dans le dictionnaire de Dahl), ce qui signifie cent centaines, soit 10 000. Ce mot est cependant dépassé et pratiquement inutilisé, mais il est curieux que le mot « myriades » soit largement utilisé, ce qui ne veut pas dire un nombre spécifique, mais des multitudes innombrables, innombrables de quelque chose. On pense que le mot myriade est venu dans les langues européennes depuis l'Égypte ancienne.
Google(de l'anglais googol) est le nombre dix à la puissance centième, c'est-à-dire un suivi de cent zéros. Le « googol » a été évoqué pour la première fois en 1938 dans l’article « New Names in Mathematics » du numéro de janvier de la revue Scripta Mathematica par le mathématicien américain Edward Kasner. Selon lui, c'est son neveu Milton Sirotta, neuf ans, qui a suggéré de qualifier ce grand nombre de « googol ». Ce numéro est devenu largement connu grâce au moteur de recherche qui porte son nom. Google. Veuillez noter que « Google » est marque déposée, et googol est un nombre.
Dans le célèbre traité bouddhiste Jaina Sutra, datant de 100 avant JC, le nombre apparaît asankheya(de Chine asenzi- indénombrable), égal à 10 140. On pense que ce nombre est égal au nombre de cycles cosmiques nécessaires pour atteindre le nirvana.
Googolplex(Anglais) googolplex) - un nombre également inventé par Kasner et son neveu et signifiant un avec un googol de zéros, soit 10 10 100. Voici comment Kasner lui-même décrit cette « découverte » :
Les enfants prononcent des paroles de sagesse au moins aussi souvent que les scientifiques. Le nom "googol" a été inventé par un enfant (le neveu du Dr Kasner, âgé de neuf ans) à qui on a demandé d'inventer un nom pour un très grand nombre, à savoir 1 suivi de cent zéros. Il était très certain que ce nombre n'était pas infini, et le avant tout aussi certain qu’il devait avoir un nom. En même temps qu'il suggérait « googol », il donnait un nom à un nombre encore plus grand : « Googolplex ». Un googolplex est beaucoup plus grand qu’un googol, mais il reste néanmoins fini, comme l’inventeur du nom n’a pas tardé à le souligner.
Mathématiques et imagination(1940) de Kasner et James R. Newman.
Un nombre encore plus grand que le googolplex, le nombre Skewes, a été proposé par Skewes en 1933. J. Londres Maths. Soc. 8 , 277-283, 1933.) pour prouver l'hypothèse de Riemann concernant les nombres premiers. Ça veut dire eà un degré eà un degré eà la puissance 79, soit ee e 79. Plus tard, te Riele, H. J. J. "Sur le signe de la différence P.(x)-Li(x)." Mathématiques. Calculer. 48 , 323-328, 1987) a réduit le nombre de Skuse à e e 27/4, ce qui est approximativement égal à 8,185 10 370. Il est clair que puisque la valeur du nombre Skuse dépend du nombre e, alors ce n'est pas un entier, nous ne le considérerons donc pas, sinon nous devrions nous souvenir d'autres nombres non naturels - pi, e, le nombre d'Avogadro, etc.
Mais il convient de noter qu'il existe un deuxième nombre de Skuse, qui en mathématiques est noté Sk 2, qui est encore plus grand que le premier nombre de Skuse (Sk 1). Deuxième numéro Skewes, a été introduit par J. Skuse dans le même article pour désigner le nombre jusqu'à lequel l'hypothèse de Riemann est valable. Sk 2 est égal à 10 10 10 10 3, soit 10 10 10 1000.
Comme vous le comprenez, plus il y a de degrés, plus il est difficile de comprendre quel nombre est le plus grand. Par exemple, en regardant les nombres Skewes, sans calculs spéciaux, il est presque impossible de comprendre lequel de ces deux nombres est le plus grand. Ainsi, pour de très grands nombres, il devient peu pratique d’utiliser des puissances. De plus, vous pouvez proposer de tels nombres (et ils ont déjà été inventés) lorsque les degrés ne tiennent tout simplement pas sur la page. Oui, c'est sur la page ! Ils ne rentreront même pas dans un livre de la taille de l’Univers entier ! Dans ce cas, la question se pose de savoir comment les noter. Comme vous le comprenez, le problème peut être résolu et les mathématiciens ont développé plusieurs principes pour écrire de tels nombres. Certes, chaque mathématicien qui s'est interrogé sur ce problème a proposé sa propre façon d'écrire, ce qui a conduit à l'existence de plusieurs méthodes d'écriture des nombres, sans rapport les unes avec les autres, - ce sont les notations de Knuth, Conway, Steinhouse, etc.
Considérons la notation de Hugo Stenhouse (H. Steinhaus. Instantanés mathématiques, 3e éd. 1983), ce qui est assez simple. Stein House a suggéré d'écrire de grands nombres à l'intérieur de formes géométriques - triangle, carré et cercle :
Steinhouse a proposé deux nouveaux très grands nombres. Il a nommé le numéro - Méga, et le numéro est Mégiston.
Le mathématicien Leo Moser a affiné la notation de Stenhouse, qui était limitée par le fait que s'il était nécessaire d'écrire des nombres beaucoup plus grands qu'un mégiston, des difficultés et des inconvénients surgissaient, car de nombreux cercles devaient être dessinés les uns dans les autres. Moser a suggéré qu'après les carrés, on ne dessine pas des cercles, mais des pentagones, puis des hexagones, et ainsi de suite. Il a également proposé une notation formelle pour ces polygones afin que les nombres puissent être écrits sans dessiner d'images complexes. La notation Moser ressemble à ceci :
Ainsi, selon la notation de Moser, le méga de Steinhouse s'écrit 2 et le mégiston 10. De plus, Leo Moser a proposé d'appeler un polygone dont le nombre de côtés est égal à méga - mégagone. Et il proposa le nombre « 2 dans Megagon », c'est-à-dire 2. Ce nombre est devenu connu sous le nom de nombre de Moser ou simplement sous le nom de « 2 dans Megagon ». Moser.
Mais Moser n’est pas le plus grand nombre. Le plus grand nombre jamais utilisé dans la preuve mathématique est la limite connue sous le nom de Numéro de Graham(Nombre de Graham), utilisé pour la première fois en 1977 dans la preuve d'une estimation de la théorie de Ramsey. Il est associé aux hypercubes bichromatiques et ne peut être exprimé sans un système spécial à 64 niveaux de symboles mathématiques spéciaux introduit par Knuth en 1976.
Malheureusement, un nombre écrit dans la notation de Knuth ne peut pas être converti en notation dans le système Moser. Par conséquent, nous devrons également expliquer ce système. En principe, cela n’a rien de compliqué non plus. Donald Knuth (oui, oui, c'est le même Knuth qui a écrit « The Art of Programming » et créé l'éditeur TeX) a proposé le concept de superpuissance, qu'il a proposé d'écrire avec des flèches pointant vers le haut :
DANS vue généraleça ressemble à ça :
Je pense que tout est clair, revenons donc au numéro de Graham. Graham a proposé ce qu'on appelle les nombres G :
Le numéro G 63 a commencé à être appelé Numéro de Graham(il est souvent désigné simplement par G). Ce nombre est le plus grand nombre connu au monde et figure même dans le Livre Guinness des Records. Oh, c'est le numéro de Graham plus de numéro Moser.
P.S. Afin d'apporter un grand bénéfice à toute l'humanité et de devenir célèbre au fil des siècles, j'ai décidé de proposer et de nommer moi-même le plus grand nombre. Ce numéro sera appelé staplex et il est égal au nombre G 100. Souvenez-vous-en, et lorsque vos enfants vous demanderont quel est le plus grand nombre au monde, dites-leur que ce nombre s'appelle staplex.
Mise à jour (4.09.2003) : Merci à tous pour vos commentaires. Il s'est avéré que j'avais commis plusieurs erreurs lors de la rédaction du texte. Je vais essayer de le réparer maintenant.
- J'ai fait plusieurs erreurs rien qu'en mentionnant le numéro d'Avogadro. Premièrement, plusieurs personnes m'ont fait remarquer qu'en fait 6.022 10 23 est le meilleur entier naturel. Et deuxièmement, il existe une opinion, qui me semble correcte, selon laquelle le nombre d’Avogadro n’est pas du tout un nombre au sens mathématique propre du terme, puisqu’il dépend du système d’unités. Maintenant, il est exprimé en "mol -1", mais s'il est exprimé, par exemple, en moles ou autre chose, alors il sera exprimé comme un nombre complètement différent, mais cela ne cessera pas du tout d'être le nombre d'Avogadro.
- 10 000 - obscurité
100 000 - légion
1 000 000 - dollars
10 000 000 - corbeau ou corvidé
100 000 000 - pont
Fait intéressant, les anciens Slaves aimaient également les grands nombres et étaient capables de compter jusqu'à un milliard. De plus, ils appelaient un tel compte un « petit compte ». Dans certains manuscrits, les auteurs considéraient également « super score", atteignant le nombre 10 50. À propos des nombres supérieurs à 10 50, il a été dit : « Et plus que cela ne peut être compris par l'esprit humain. » Les noms utilisés dans le « petit compte » ont été transférés au « grand compte », mais avec un sens différent. Ainsi, les ténèbres ne signifiaient pas 10 000, mais un million, légion - les ténèbres de ceux-ci (un million de millions) ; leodr - une légion de légions (10 à la puissance 24), puis il était dit - dix leodres, un cent leodres, ..., et enfin cent mille ces légion leodrov (10 sur 47) ; leodr leodrov (10 sur 48) s'appelait un corbeau et, enfin, un deck (10 sur 49). - Le sujet des noms nationaux des nombres peut être élargi si l'on se souvient du système japonais de dénomination des nombres que j'avais oublié, qui est très différent des systèmes anglais et américain (je ne dessinerai pas de hiéroglyphes, si quelqu'un est intéressé, ils le sont ) :
10 0 - ichi
10 1 - Yuuu
10 2 - hyaku
10 3 - sens
10 4 - homme
10 8 - bien
10 12 - chou
10 16 - kei
10 20 - gai
10 24 - jyo
10 28 - toi
10 32 - kou
10 36 - kan
10 40 - sei
10 44 - sai
10 48 - Goku
10 52 - gougassia
10 56 - asougi
10 60 - Naouta
10 64 - fukashigi
10 68 - muryoutaisuu - Concernant les numéros d'Hugo Steinhaus (en Russie, pour une raison quelconque, son nom a été traduit par Hugo Steinhaus). Botev assure que l'idée d'écrire de très grands nombres sous forme de nombres en cercles n'appartient pas à Steinhouse, mais à Daniil Kharms, qui bien avant lui a publié cette idée dans l'article « Raising a Number ». Je tiens également à remercier Evgeniy Sklyarevsky, l'auteur du site le plus intéressant sur les mathématiques divertissantes sur Internet en langue russe - Arbuza, pour l'information selon laquelle Steinhouse a non seulement proposé les nombres méga et mégiston, mais a également suggéré un autre nombre zone médicale, égal (dans sa notation) à "3 dans un cercle".
- Maintenant à propos du numéro myriade ou mirioi. Il existe différentes opinions sur l’origine de ce numéro. Certains pensent qu’il est originaire d’Égypte, tandis que d’autres pensent qu’il est né uniquement dans la Grèce antique. Quoi qu'il en soit, la myriade est devenue célèbre précisément grâce aux Grecs. Myriade était le nom de 10 000, mais il n'y avait pas de nom pour les nombres supérieurs à dix mille. Cependant, dans sa note « Psammit » (c'est-à-dire le calcul du sable), Archimède a montré comment construire et nommer systématiquement des nombres arbitrairement grands. En particulier, en plaçant 10 000 (myriades) grains de sable dans une graine de pavot, il découvre que dans l'Univers (une boule d'un diamètre équivalent à une myriade de diamètres de la Terre), pas plus de 10 63 grains de sable ne pourraient contenir (dans notre notation). Il est curieux que les calculs modernes du nombre d'atomes dans l'Univers visible conduisent au nombre 10 67 (au total une myriade de fois plus). Archimède a suggéré les noms suivants pour les nombres :
1 myriade = 10 4 .
1 di-myriade = myriade de myriades = 10 8 .
1 tri-myriade = di-myriade di-myriade = 10 16 .
1 tétra-myriade = trois-myriades trois-myriades = 10 32 .
etc.
Si vous avez des commentaires -
Pour répondre à une question aussi difficile de savoir ce qu'est le plus grand nombre au monde, il convient d'abord de noter qu'il existe aujourd'hui 2 manières acceptées de nommer les nombres - l'anglais et l'américain. Selon le système anglais, les suffixes -milliard ou -million sont ajoutés à chaque grand nombre dans l'ordre, ce qui donne les nombres million, milliard, billion, billion, et ainsi de suite. Basé sur système américain, alors selon lui, le suffixe –million doit être ajouté à chaque grand nombre, ce qui entraîne la formation des nombres billions, quadrillions et grands. Il convient également de noter ici que le système de numérotation anglais est plus courant dans monde moderne, et les chiffres qu'il contient sont tout à fait suffisants pour le fonctionnement normal de tous les systèmes de notre monde.
Bien entendu, la réponse à la question du plus grand nombre d'un point de vue logique ne peut pas être sans ambiguïté, car si vous ajoutez simplement un à chaque chiffre suivant, vous obtenez un nouveau nombre plus grand. Par conséquent, ce processus n'a pas de limite. Cependant, curieusement, il en existe toujours le plus grand nombre au monde et il est répertorié dans le Livre Guinness des Records.
Le nombre de Graham est le plus grand nombre au monde
C'est ce nombre qui est reconnu dans le monde comme le plus grand dans le Livre des Records, mais il est très difficile d'expliquer de quoi il s'agit et quelle est sa taille. D'une manière générale, il s'agit de triplets multipliés entre eux, ce qui donne un nombre 64 ordres de grandeur supérieur au point de compréhension de chaque personne. En conséquence, nous ne pouvons donner que les 50 derniers chiffres du numéro de Graham. – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.
Numéro Google 
L’histoire de ce numéro n’est pas aussi complexe que celle évoquée ci-dessus. Ainsi, le mathématicien américain Edward Kasner, discutant avec ses neveux des grands nombres, n'a pas pu répondre à la question de savoir comment nommer les nombres comportant 100 zéros ou plus. Un neveu ingénieux a suggéré son propre nom pour ces numéros - googol. Il convient de noter que de grandes importance pratique ce nombre n'existe cependant pas, il est parfois utilisé en mathématiques pour exprimer l'infini.
Googleplex 
Ce nombre a également été inventé par le mathématicien Edward Kasner et son neveu Milton Sirotta. D'une manière générale, il représente un nombre à la puissance dixième d'un googol. Répondant à la question de nombreux curieux, combien de zéros il y a dans le Googleplex, il convient de noter que dans la version classique, il n'y a aucun moyen de représenter ce nombre, même si vous couvrez tout le papier de la planète avec des zéros classiques.
Numéro d'inclinaison 
Un autre prétendant au titre du plus grand nombre est le nombre Skewes, prouvé par John Littwood en 1914. Selon les éléments de preuve présentés, ce nombre est d'environ 8,185 10370.
Numéro Moser 
Cette méthode pour nommer les très grands nombres a été inventée par Hugo Steinhaus, qui a proposé de les désigner par des polygones. À la suite de trois opérations mathématiques effectuées, le chiffre 2 naît dans un mégagone (un polygone à méga côtés).
Comme vous pouvez déjà le constater, un très grand nombre de mathématiciens ont fait des efforts pour le trouver – le plus grand nombre au monde. Bien entendu, il ne nous appartient pas de juger dans quelle mesure ces tentatives ont été couronnées de succès, mais il convient de noter que la réelle applicabilité de ces chiffres est douteuse, car ils ne se prêtent même pas à la compréhension humaine. De plus, il y aura toujours un nombre qui sera plus grand si vous effectuez une opération mathématique très simple +1.
La question « Quel est le plus grand nombre au monde ? » est pour le moins incorrecte. Il existe différents systèmes de nombres - décimal, binaire et hexadécimal, ainsi que diverses catégories de nombres - semi-premiers et simples, ces derniers étant divisés en légaux et illégaux. À cela s'ajoutent les nombres de Skewes, Steinhouse et d'autres mathématiciens qui, soit pour plaisanter, soit sérieusement, inventent et présentent au public des espèces exotiques telles que « Megiston » ou « Moser ».
Quel est le plus grand nombre au monde en système décimal
Du système décimal, la plupart des « non-mathématiciens » connaissent les millions, les milliards et les billions. De plus, si les Russes associent généralement un million à un pot-de-vin en dollars pouvant être emporté dans une valise, alors où mettre un milliard (sans parler d'un billion) de billets de banque nord-américains - la plupart des gens manquent d'imagination. Cependant, dans la théorie des grands nombres, il existe des concepts tels que le quadrillion (dix à la puissance quinzième - 1015), le sextillion (1021) et l'octillion (1027).
En anglais, le plus parlé au monde système décimal Le nombre maximum est considéré comme un décillion - 1033.
En 1938, à propos du développement des mathématiques appliquées et de l'expansion du micro et du macrocosme, professeur à l'Université de Columbia (États-Unis), Edward Kasner publie dans les pages de la revue Scripta Mathematica la proposition de son neveu de neuf ans d'utiliser le système décimal est le plus grand nombre "googol" - représentant dix à la puissance centième (10100), qui sur papier est exprimé comme un suivi de cent zéros. Cependant, ils ne se sont pas arrêtés là et ont proposé quelques années plus tard d'introduire un nouveau plus grand nombre au monde - le « googolplex », qui représente dix élevé à la puissance dixième puis élevé à nouveau à la puissance centième - (1010)100, exprimé par une unité à laquelle un googol de zéros est attribué à droite. Cependant, pour la majorité des mathématiciens, même professionnels, « googol » et « googolplex » ont tous deux un intérêt purement spéculatif, et il est peu probable qu'ils puissent être appliqués à quoi que ce soit dans la pratique quotidienne.
Numéros exotiques
Quel est le plus grand nombre au monde parmi les nombres premiers - ceux qui ne peuvent être divisés que par eux-mêmes et par un. L'un des premiers à avoir enregistré le plus grand nombre premier, égal à 2 147 483 647, fut le grand mathématicien Leonhard Euler. Depuis janvier 2016, ce nombre est reconnu comme l’expression calculée comme suit : 274 207 281 – 1.
Il y a des nombres qui sont tellement incroyablement grands qu’il faudrait même l’univers entier pour les écrire. Mais voici ce qui est vraiment fou… certains de ces nombres insondables sont cruciaux pour comprendre le monde.
Quand je dis « le plus grand nombre de l’univers », je parle en réalité du plus grand nombre significatif nombre, le nombre maximum possible qui est utile d'une manière ou d'une autre. Les prétendants à ce titre sont nombreux, mais je vous préviens tout de suite : il y a vraiment un risque qu'en essayant de tout comprendre, vous époustoufliez. Et en plus, avec trop de maths, on ne s'amusera pas beaucoup.
Googol et googolplex
Edouard Kasner
Nous pourrions commencer par ce qui est probablement les deux plus grands nombres dont vous ayez jamais entendu parler, et ce sont en effet les deux plus grands nombres qui ont des définitions généralement acceptées dans le monde. langue anglaise. (Il existe une nomenclature assez précise utilisée pour désigner des nombres aussi grands que vous le souhaiteriez, mais ces deux nombres que vous ne trouverez pas dans les dictionnaires de nos jours.) Googol, depuis qu'il est devenu mondialement connu (quoique avec des erreurs, notez. en fait c'est googol ) sous la forme de Google, né en 1920 pour intéresser les enfants aux grands nombres.
À cette fin, Edward Kasner (photo) a emmené ses deux neveux, Milton et Edwin Sirott, se promener dans les palissades du New Jersey. Il les a invités à proposer des idées, puis Milton, neuf ans, a suggéré « googol ». On ne sait pas d'où il tient ce mot, mais Kasner a décidé que 
ou un nombre dont cent zéros suivent l'unité sera désormais appelé un googol.
Mais le jeune Milton ne s'arrête pas là : il en propose un nombre encore plus grand, le googolplex. Il s'agit d'un nombre, selon Milton, dans lequel la première place est 1, puis autant de zéros que vous pourriez écrire avant de vous fatiguer. Bien que l’idée soit fascinante, Kasner a décidé qu’une définition plus formelle était nécessaire. Comme il l'explique dans son livre de 1940 Mathématiques et imagination, la définition de Milton laisse ouverte la possibilité risquée qu'un bouffon accidentel puisse devenir un mathématicien supérieur à Albert Einstein simplement parce qu'il a une plus grande endurance.
Kasner a donc décidé qu'un googolplex serait , ou 1, puis un googol de zéros. Sinon, et dans une notation similaire à celle que nous traiterons pour les autres nombres, nous dirons qu'un googolplex est . Pour montrer à quel point cela est fascinant, Carl Sagan a un jour noté qu'il est physiquement impossible d'écrire tous les zéros d'un googolplex parce qu'il n'y a tout simplement pas assez d'espace dans l'univers. Si l'on remplit tout le volume de l'Univers observable petites particules poussière d'environ 1,5 microns, puis le nombre de diverses façons l'emplacement de ces particules sera approximativement égal à un googolplex.
Linguistiquement parlant, googol et googolplex sont probablement les deux nombres significatifs les plus importants (du moins en anglais), mais, comme nous allons maintenant le démontrer, il existe une infinité de façons de définir la « signification ».
Monde réel
Si nous parlons du plus grand nombre significatif, il existe un argument raisonnable selon lequel cela signifie en réalité que nous devons trouver le plus grand nombre ayant une valeur qui existe réellement dans le monde. Nous pouvons commencer par la population humaine actuelle, qui s’élève actuellement à environ 6 920 millions. Le PIB mondial en 2010 était estimé à environ 61 960 milliards de dollars, mais ces deux chiffres sont insignifiants comparés aux quelque 100 000 milliards de cellules qui composent le corps humain. Bien entendu, aucun de ces nombres ne peut être comparé au nombre total de particules dans l’Univers, qui est généralement considéré comme étant d’environ , et ce nombre est si grand que notre langage n’a pas de mot pour le décrire.
On peut jouer un peu avec les systèmes de mesures, en rendant les chiffres de plus en plus grands. Ainsi, la masse du Soleil en tonnes sera inférieure à celle en livres. Un excellent moyen d'y parvenir est d'utiliser le système d'unités de Planck, qui sont les plus petites mesures possibles pour lesquelles les lois de la physique s'appliquent toujours. Par exemple, l’âge de l’Univers au temps de Planck est d’environ . Si l'on remonte à la première unité de temps de Planck après le Big Bang, on verra que la densité de l'Univers était alors de . Nous en recevons de plus en plus, mais nous n'avons même pas encore atteint Google.
Le plus grand nombre ayant une application dans le monde réel – ou dans ce cas-ci une application dans le monde réel – est probablement l’une des dernières estimations du nombre d’univers dans le multivers. Ce nombre est si grand que le cerveau humain ne sera littéralement pas capable de percevoir tous ces différents univers, puisque le cerveau n'est capable que de configurations approximatives. En fait, ce nombre est probablement le plus grand nombre qui ait un sens pratique, à moins que vous ne preniez en compte l’idée du multivers dans son ensemble. Cependant, il y en a encore beaucoup plus qui s’y cachent. Mais pour les trouver, nous devons entrer dans le domaine des mathématiques pures, et il n’y a pas de meilleur point de départ que les nombres premiers.
Mersenne prime
Une partie du défi consiste à trouver une bonne définition de ce qu’est un nombre « significatif ». Une solution consiste à penser en termes de nombres premiers et composés. Un nombre premier, comme vous vous en souvenez probablement en mathématiques à l'école, est tout nombre naturel (notez qu'il n'est pas égal à un) qui n'est divisible que par et lui-même. Ainsi, et sont des nombres premiers, et et sont des nombres composés. Cela signifie que tout nombre composé peut finalement être représenté par ses facteurs premiers. D’une certaine manière, le nombre est plus important que, disons, parce qu’il n’existe aucun moyen de l’exprimer en termes de produit de nombres plus petits.
On peut évidemment aller un peu plus loin. , par exemple, est en réalité juste , ce qui signifie que dans un monde hypothétique où notre connaissance des nombres est limitée à , un mathématicien peut toujours exprimer le nombre . Mais déjà prochain numéro simple, ce qui veut dire que Le seul moyen l’exprimer, c’est connaître directement son existence. Cela signifie que les plus grands nombres premiers connus jouent rôle important, mais, disons, un googol - qui n'est en fin de compte qu'un ensemble de nombres et , multipliés ensemble - en réalité non. Et comme les nombres premiers sont fondamentalement aléatoires, il n’existe aucun moyen connu de prédire qu’un nombre incroyablement grand sera réellement premier. Aujourd’hui encore, découvrir de nouveaux nombres premiers est une entreprise difficile.
Mathématiciens La Grèce ancienne avaient un concept de nombres premiers au moins dès 500 av. en pratique. Ces nombres sont connus sous le nom de nombres de Mersenne, du nom du scientifique français Marin Mersenne du XVIIe siècle. L'idée est assez simple : un nombre de Mersenne est n'importe quel nombre de la forme . Ainsi, par exemple, et ce nombre est premier, il en va de même pour .
Il est beaucoup plus rapide et plus facile de déterminer les nombres premiers de Mersenne que tout autre type de nombre premier, et les ordinateurs ont travaillé dur pour les rechercher au cours des six dernières décennies. Jusqu’en 1952, le plus grand nombre premier connu était un nombre, un nombre avec des chiffres. La même année, l'ordinateur a calculé que le nombre est premier et que ce nombre est composé de chiffres, ce qui le rend beaucoup plus grand qu'un google.
Depuis lors, les ordinateurs sont en chasse et le nombre de Mersenne est actuellement le plus grand nombre premier connu de l'humanité. Découvert en 2008, il s’agit d’un nombre comportant près de millions de chiffres. Il s'agit du plus grand nombre connu qui ne peut pas être exprimé en termes de nombres plus petits, et si vous souhaitez obtenir de l'aide pour trouver un nombre de Mersenne encore plus grand, vous (et votre ordinateur) pouvez toujours participer à la recherche sur http://www.mersenne.org /.
Numéro d'inclinaison
Stanley biaise
Regardons à nouveau les nombres premiers. Comme je l’ai dit, ils se comportent fondamentalement mal, ce qui signifie qu’il n’y a aucun moyen de prédire quel sera le prochain nombre premier. Les mathématiciens ont été contraints de recourir à des mesures assez fantastiques pour trouver un moyen de prédire les futurs nombres premiers, même de manière nébuleuse. La plus réussie de ces tentatives est probablement la fonction de comptage des nombres premiers, inventée à la fin du XVIIIe siècle par le légendaire mathématicien Carl Friedrich Gauss.
Je vous épargnerai les calculs plus compliqués - nous en avons beaucoup plus à venir de toute façon - mais l'essentiel de la fonction est le suivant : pour tout nombre entier, vous pouvez estimer combien de nombres premiers sont plus petits que . Par exemple, si , la fonction prédit qu'il devrait y avoir des nombres premiers, s'il doit y avoir des nombres premiers inférieurs à , et si , alors il devrait y avoir des nombres premiers plus petits.
La disposition des nombres premiers est en effet irrégulière et n’est qu’une approximation du nombre réel de nombres premiers. En fait, nous savons qu’il existe des nombres premiers inférieurs à , des nombres premiers inférieurs à et des nombres premiers inférieurs à . C'est une excellente estimation, certes, mais ce n'est toujours qu'une estimation... et plus précisément une estimation d'en haut.
Dans tout cas connusà , la fonction qui trouve le nombre de nombres premiers surestime légèrement le nombre réel de nombres premiers inférieur à . Les mathématiciens pensaient autrefois que cela serait toujours le cas, à l'infini, et que cela s'appliquerait certainement à des nombres inimaginables, mais en 1914, John Edensor Littlewood a prouvé que pour un nombre inconnu, inimaginablement énorme, cette fonction commencerait à produire moins de nombres premiers. , puis il basculera entre l'estimation supérieure et l'estimation inférieure un nombre infini de fois.
La chasse était le point de départ des courses, puis Stanley Skewes est apparu (voir photo). En 1933, il prouva que la limite supérieure à laquelle une fonction se rapprochant du nombre de nombres premiers produit pour la première fois une valeur plus petite est le nombre . Il est difficile de vraiment comprendre, même dans le sens le plus abstrait, ce que représente réellement ce nombre, et de ce point de vue, il s'agit du plus grand nombre jamais utilisé dans une preuve mathématique sérieuse. Les mathématiciens ont depuis réussi à réduire la limite supérieure à un nombre relativement petit, mais le nombre original reste connu sous le nom de nombre Skewes.
Alors, quelle est la taille du nombre qui éclipse même le puissant googolplex ? Dans The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells raconte une manière dont le mathématicien Hardy a pu conceptualiser la taille du nombre de Skuse :
"Hardy pensait qu'il s'agissait du "plus grand nombre jamais utilisé dans un but particulier en mathématiques" et suggérait que si une partie d'échecs était jouée avec toutes les particules de l'Univers comme pièces, un mouvement consisterait à échanger deux particules, et le le jeu s'arrêterait lorsque la même position serait répétée une troisième fois, alors le nombre de tous les jeux possibles serait approximativement égal au nombre de Skuse.
Une dernière chose avant de continuer : nous avons parlé du plus petit des deux nombres Skewes. Il existe un autre nombre de Skuse, découvert par le mathématicien en 1955. Le premier chiffre vient du fait que l'hypothèse dite de Riemann est vraie - il s'agit d'une hypothèse particulièrement difficile en mathématiques qui reste non prouvée, très utile lorsque nous parlons de sur les nombres premiers. Cependant, si l'hypothèse de Riemann est fausse, Skuse a constaté que le point de départ des sauts augmente jusqu'à .
Problème d'ampleur
Avant d'arriver au chiffre qui fait paraître minuscule le nombre de Skewes, nous devons parler un peu d'échelle, car sinon nous n'avons aucun moyen d'évaluer où nous allons aller. Prenons d’abord un nombre – c’est un petit nombre, si petit que les gens peuvent réellement comprendre intuitivement ce qu’il signifie. Il y a très peu de nombres qui correspondent à cette description, puisque les nombres supérieurs à six cessent d'être des nombres séparés et deviennent « plusieurs », « plusieurs », etc.
Prenons maintenant, c'est-à-dire . Bien que nous ne puissions pas comprendre intuitivement, comme nous l’avons fait pour le nombre, de quoi il s’agit, il est très facile d’imaginer de quoi il s’agit. Jusqu'ici, tout va bien. Mais que se passe-t-il si nous déménageons ? Ceci est égal à , ou . Nous sommes très loin de pouvoir imaginer cette quantité, comme n'importe quelle autre très grande quantité - nous perdons la capacité de comprendre des pièces individuelles autour d'un million. (Vraiment, c'est fou un grand nombre de Il faudrait un certain temps pour compter jusqu'à un million de n'importe quoi, mais le fait est que nous sommes toujours capables de percevoir ce nombre.)
Cependant, même si nous ne pouvons pas imaginer, nous sommes au moins capables de comprendre Plan général, ce qui représente 7 600 milliards, peut-être en le comparant à quelque chose comme le PIB américain. Nous sommes passés de l’intuition à la représentation puis à la simple compréhension, mais au moins nous avons encore quelques lacunes dans notre compréhension de ce qu’est un nombre. Cela est sur le point de changer à mesure que nous gravissons un autre échelon dans l’échelle.
Pour ce faire, il faut passer à une notation introduite par Donald Knuth, connue sous le nom de notation fléchée. Cette notation peut s'écrire . Lorsque nous irons ensuite à , le nombre que nous obtiendrons sera . Ceci est égal au total de trois. Nous avons désormais largement dépassé tous les autres chiffres dont nous avons déjà parlé. Après tout, même les plus grands d’entre eux ne comptaient que trois ou quatre termes dans la série d’indicateurs. Par exemple, même le nombre super-Skuse est "seulement" - même en tenant compte du fait que la base et les exposants sont beaucoup plus grands que , ce n'est toujours absolument rien comparé à la taille d'une tour numérique avec un milliard de membres. .
Évidemment, il n’existe aucun moyen de comprendre des nombres aussi énormes… et pourtant, le processus par lequel ils sont créés peut encore être compris. Nous ne pouvons pas comprendre la quantité réelle donnée par une tour de puissances avec un milliard de triplets, mais nous pouvons fondamentalement imaginer une telle tour avec de nombreux termes, et un superordinateur vraiment décent serait capable de stocker de telles tours en mémoire même s'il Je n'ai pas pu calculer leurs valeurs réelles.
Cela devient de plus en plus abstrait, mais cela ne fera qu’empirer. Vous pourriez penser qu’il s’agit d’une tour de degrés dont la longueur des exposants est égale (en effet, dans la version précédente de cet article, j’ai fait exactement cette erreur), mais c’est simple. En d’autres termes, imaginez que vous ayez la capacité de calculer valeur exacte tour de puissance de triplets, qui est composée d'éléments, puis vous avez pris cette valeur et créé une nouvelle tour avec autant de choses... que cela donne.
Répétez ce processus avec chaque numéro suivant ( note en commençant par la droite) jusqu'à ce que vous le fassiez plusieurs fois, et puis finalement vous obtenez . C'est un nombre tout simplement incroyablement grand, mais au moins les étapes pour l'obtenir semblent compréhensibles si vous faites tout très lentement. Nous ne pouvons plus comprendre les nombres ni imaginer la procédure par laquelle ils sont obtenus, mais au moins nous pouvons comprendre l'algorithme de base, seulement dans un temps suffisamment long.
Maintenant, préparons l'esprit à vraiment le faire exploser.
Numéro de Graham (Graham)
Ronald Graham
C'est ainsi que l'on obtient le nombre de Graham, qui figure dans le Livre Guinness des records comme le plus grand nombre jamais utilisé dans une preuve mathématique. Il est absolument impossible d’imaginer son ampleur, et tout aussi difficile d’expliquer de quoi il s’agit exactement. Fondamentalement, le nombre de Graham apparaît lorsqu'il s'agit d'hypercubes, qui sont théoriques. formes géométriques avec plus de trois dimensions. Le mathématicien Ronald Graham (voir photo) a voulu savoir à quel plus petit nombre de dimensions certaines propriétés d'un hypercube resteraient stables. (Désolé pour une explication aussi vague, mais je suis sûr que nous devons tous obtenir au moins deux diplômes en mathématiques pour que ce soit plus précis.)
Quoi qu'il en soit, le nombre de Graham est une estimation supérieure de ce nombre minimum de dimensions. Alors, quelle est la taille de cette limite supérieure ? Revenons au nombre, si grand qu'on ne comprend que vaguement l'algorithme permettant de l'obtenir. Maintenant, au lieu de simplement sauter d'un niveau supplémentaire jusqu'à , nous compterons le nombre qui a des flèches entre le premier et les trois derniers. Nous sommes désormais bien au-delà de la moindre compréhension de ce qu’est ce nombre ou même de ce que nous devons faire pour le calculer.
Maintenant, répétons ce processus une fois ( noteà chaque étape suivante, nous écrivons le nombre de flèches, égal au nombre obtenu à l’étape précédente).
Ceci, mesdames et messieurs, est le chiffre de Graham, qui est d'un ordre de grandeur supérieur au point de compréhension humaine. C’est un nombre tellement plus grand que n’importe quel nombre que vous pouvez imaginer – il est tellement plus grand que n’importe quel infini que vous pourriez espérer imaginer – il défie tout simplement même la description la plus abstraite.
Mais voici une chose étrange. Puisque le nombre de Graham est essentiellement constitué de triplets multipliés ensemble, nous connaissons certaines de ses propriétés sans réellement les calculer. Nous ne pouvons pas représenter le nombre de Graham en utilisant une notation familière, même si nous avons utilisé l'univers entier pour l'écrire, mais je peux vous donner les douze derniers chiffres du nombre de Graham dès maintenant : . Et ce n'est pas tout : on connaît au moins les derniers chiffres du numéro de Graham.
Bien entendu, il convient de rappeler que ce nombre n’est qu’une limite supérieure du problème initial de Graham. Il est possible que le nombre réel de mesures nécessaires pour effectuer le bien recherché beaucoup, beaucoup moins. En fait, depuis les années 1980, selon la plupart des experts en la matière, on croit qu’il n’existe en réalité que six dimensions, un nombre si petit que nous pouvons le comprendre intuitivement. Depuis lors résultat net a été augmenté à , mais il y a encore de très bonnes chances que la solution au problème de Graham ne se situe pas à proximité d'un nombre aussi grand que celui de Graham.
Vers l'infini
Alors, existe-t-il des nombres supérieurs à celui de Graham ? Il y a bien sûr, pour commencer, le numéro de Graham. Concernant nombre significatif... d'accord, il existe des domaines extrêmement complexes des mathématiques (en particulier le domaine connu sous le nom de combinatoire) et de l'informatique dans lesquels des nombres encore plus grands que celui de Graham apparaissent. Mais nous avons presque atteint la limite de ce que je peux espérer être un jour expliqué rationnellement. Pour ceux qui sont assez téméraires pour aller encore plus loin, des lectures plus approfondies sont suggérées à vos propres risques.
Eh bien, maintenant une citation étonnante attribuée à Douglas Ray ( note Honnêtement, ça a l'air plutôt drôle :
«Je vois des amas de nombres vagues qui sont cachés là dans l'obscurité, derrière le petit point de lumière que donne la bougie de la raison. Ils se chuchotent ; conspirer pour qui sait quoi. Peut-être qu'ils ne nous aiment pas beaucoup parce que nous avons capturé leurs petits frères dans nos esprits. Ou peut-être qu’ils mènent simplement une vie à un chiffre, là-bas, au-delà de notre compréhension.
Il était une fois dans l’enfance, nous apprenions à compter jusqu’à dix, puis jusqu’à cent, puis jusqu’à mille. Alors, quel est le plus grand nombre que vous connaissez ? Mille, un million, un milliard, un billion... Et puis ? Pétale, dira quelqu'un, et il aura tort, car il confond le préfixe SI avec un concept complètement différent.
En fait, la question n’est pas aussi simple qu’il y paraît à première vue. Premièrement, nous parlons de nommer les noms de puissances de mille. Et ici, la première nuance que beaucoup connaissent des films américains est qu'ils appellent notre milliard un milliard.
De plus, il existe deux types d'échelles : longues et courtes. Dans notre pays, une échelle courte est utilisée. Dans cette échelle, à chaque étape, la mantisse augmente de trois ordres de grandeur, c'est-à-dire multiplier par mille - mille 10 3, millions 10 6, milliards/milliards 10 9, billions (10 12). À longue échelle, après un milliard 10 9, il y a un milliard 10 12, puis la mantisse augmente de six ordres de grandeur, et le nombre suivant, appelé billion, signifie déjà 10 18.
Mais revenons à notre échelle native. Vous voulez savoir ce qui se passe après un billion ? S'il te plaît:
10 3 mille
10 6 millions
10 9 milliards
10 12 mille milliards
10 15 quadrillions
10 18 quintillions
10 21 sextillions
10 24 septillions
10 27 octillions
10 30 millions
10 33 décillion
10 36 undécillion
10 39 dodécillions
10 42 tredécillions
10 45 quattoordécillion
10 48 quindécillions
10 51 cédécillion
10 54 septdécillions
10 57 duodévigintillion
10 60 undevigintillion
10 63 vigintillions
10 66 milliards d'années
10 69 duovigintillion
10 72 trevigintillions
10 75 quattorvigintillion
10 78 quinvigintillions
10 81 sexevigintillion
10 84 septemvigintillion
10 87 octovigintillions
10 90 novembrevigintillion
10 93 trigintillions
10 96 antigintillions
A ce chiffre, notre petite échelle ne peut pas le supporter, et par la suite la mante augmente progressivement.
10 100 google
10 123 quadragintillions
10 153 quinquagintillions
10 183 sexagintillions
10 213 septuagintillions
10 243 octogintillions
10 273 nonagintillions
10 303 centillions
10 306 centunillions
10 309 centulions
10 312 centbillions
10 315 centquadrillions
10 402 trigintillions centraux
10 603 décillions
10 903 billions de milliards
10 1203 quadriringentillions
10 1503 quingentillions
10 1803 centillions
10 2103 septingentillions
10 2403 oxtingentillions
10 2703 non-gentillions
10 3003 millions
10 6003 duo-millions
10 9003 trois millions
10 3000003 millions de milliards
10 6000003 duomimiliaillion
10 10 100 googleplex
10 3×n+3 zillions
Google(de l'anglais googol) - un nombre représenté dans le système numérique décimal par une unité suivie de 100 zéros :
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
En 1938, le mathématicien américain Edward Kasner (1878-1955) se promenait dans le parc avec ses deux neveux et discutait avec eux de grands nombres. Au cours de la conversation, nous avons parlé d'un nombre avec cent zéros, qui n'avait pas de nom propre. L’un des neveux, Milton Sirotta, neuf ans, a suggéré d’appeler ce numéro « googol ». En 1940, Edward Kasner et James Newman ont écrit le livre de vulgarisation scientifique « Mathematics and Imagination » (« Nouveaux noms en mathématiques »), dans lequel il parlait aux amateurs de mathématiques du nombre googol.
Le terme « googol » n’a aucune signification théorique ou pratique sérieuse. Kasner l'a proposé pour illustrer la différence entre un nombre inimaginable et l'infini, et le terme est parfois utilisé dans l'enseignement des mathématiques à cette fin.
Googolplex(de l'anglais googolplex) - un nombre représenté par une unité avec un googol de zéros. Comme le googol, le terme « googolplex » a été inventé par le mathématicien américain Edward Kasner et son neveu Milton Sirotta.
Le nombre de googols est supérieur au nombre de toutes les particules de la partie de l'univers que nous connaissons, qui va de 1079 à 1081. Ainsi, le nombre googolplex, composé de (googol + 1) chiffres, ne peut pas être écrit dans le forme « décimale » classique, même si toute la matière dans les parties connues de l’univers se transformait en papier et en encre ou en espace disque informatique.
Zillion(Anglais zillion) - un nom général pour de très grands nombres.
Ce terme n'a pas de définition mathématique stricte. En 1996, Conway (ing. J. H. Conway) et Guy (ing. R. K. Guy) dans leur livre English. Le livre of Numbers a défini la nième puissance zillion comme 10 3×n+3 pour le système de dénomination des nombres à courte échelle.