Il sera utile aux lycéens d'apprendre à résoudre les problèmes de l'examen d'État unifié pour trouver le volume et d'autres paramètres inconnus d'un parallélépipède rectangle. L'expérience des années précédentes confirme le fait que de telles tâches sont assez difficiles pour de nombreux diplômés.
Dans le même temps, les lycéens, quel que soit leur niveau de formation, doivent comprendre comment trouver le volume ou l'aire d'un parallélépipède rectangle. Ce n'est que dans ce cas qu'ils pourront compter sur des scores compétitifs basés sur les résultats de l'examen d'État unifié en mathématiques.
Points clés à retenir
- Les parallélogrammes qui composent un parallélépipède sont ses faces, leurs côtés sont ses arêtes. Les sommets de ces figures sont considérés comme les sommets du polyèdre lui-même.
- Toutes les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales. Puisqu’il s’agit d’un polyèdre droit, les faces latérales sont des rectangles.
- Puisqu’un parallélépipède est un prisme avec un parallélogramme à sa base, cette figure possède toutes les propriétés d’un prisme.
- Les bords latéraux d'un parallélépipède rectangle sont perpendiculaires à la base. Ce sont donc ses hauteurs.
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Vous trouverez les informations de base nécessaires dans la rubrique « Informations théoriques ». Vous pouvez également commencer immédiatement à résoudre des problèmes sur le thème « Parallélépipède rectangle » en ligne. La rubrique « Catalogue » présente une large sélection d'exercices de différents degrés de difficulté. La base de données des tâches est régulièrement mise à jour.
Voyez si vous pouvez facilement trouver le volume d’un parallélépipède rectangle dès maintenant. Analysez n’importe quelle tâche. Si l’exercice est facile pour vous, passez à des tâches plus difficiles. Et si certaines difficultés surviennent, nous vous recommandons de planifier votre journée de manière à ce que votre emploi du temps comprenne des cours avec le portail distant Shkolkovo.
CHAPITRE TROIS
POLYèdres
1. PARALLÉLÉPIPÈDE ET PYRAMIDE
Propriétés des faces et diagonales d'un parallélépipède
72. Théorème. Dans un parallélépipède :
1)les côtés opposés sont égaux et parallèles ;
2) les quatre diagonales se coupent en un point et se coupent en deux à cet endroit.
1) Les faces (Fig. 80) BB 1 C 1 C et AA 1 D 1 D sont parallèles, car deux droites sécantes BB 1 et B 1 C 1 d'une face sont parallèles à deux droites sécantes AA 1 et A 1 D 1 de l'autre (§ 15 ) ; ces faces sont égales, puisque B 1 C 1 = A 1 D 1, B 1 B = A 1 A (comme les côtés opposés des parallélogrammes) et / BB 1 C 1 = / AA1D1.
2) Prenez (Fig. 81) quelques deux diagonales, par exemple AC 1 et ВD 1, et tracez des lignes auxiliaires AD 1 et ВС 1.
Puisque les bords AB et D 1 C 1 sont respectivement égaux et parallèles au bord DC, ils sont égaux et parallèles entre eux ; En conséquence, la figure AD 1 C 1 B est un parallélogramme dans lequel les droites C 1 A et BD 1 sont des diagonales, et dans un parallélogramme les diagonales sont divisées en deux au point d'intersection.
Prenons maintenant une de ces diagonales, par exemple AC 1, avec une troisième diagonale, disons, avec B 1 D. Exactement de la même manière, nous pouvons prouver qu'elles sont divisées en deux au point d'intersection. Par conséquent, les diagonales B 1 D et AC 1 et les diagonales AC 1 et BD 1 (que nous avons prises plus tôt) se coupent au même point, précisément au milieu de la diagonale
CA 1. Enfin, en prenant la même diagonale AC 1 avec la quatrième diagonale A 1 C, on prouve aussi qu'elles sont bissectrices. Cela signifie que le point d'intersection de cette paire de diagonales se situe au milieu de la diagonale AC 1. Ainsi, les quatre diagonales du parallélépipède se coupent en un même point et sont divisées en deux par ce point.
73. Théorème. Dans un parallélépipède rectangle, le carré de toute diagonale (AS 1, dessin 82) égal à la somme des carrés de ses trois dimensions .
En traçant la diagonale de la base AC, on obtient les triangles AC 1 C et ACB. Tous deux sont rectangulaires : le premier parce que le parallélépipède est droit et donc le bord CC 1 est perpendiculaire à la base ; la seconde parce que le parallélépipède est rectangulaire et qu’il y a donc un rectangle à sa base. De ces triangles on trouve :
AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 et AC 2 = AB 2 + BC 2
Ainsi,
AC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2.
Conséquence.Dans un parallélépipède rectangle, toutes les diagonales sont égales.
Dans cette leçon, tout le monde pourra étudier le thème « Parallélépipède rectangle ». Au début de la leçon, nous répéterons ce que sont les parallélépipèdes arbitraires et droits, rappelons les propriétés de leurs faces opposées et des diagonales du parallélépipède. Ensuite, nous verrons ce qu'est un cuboïde et discuterons de ses propriétés de base.
Sujet : Perpendiculaire des lignes et des plans
Leçon : Cuboïde
Une surface composée de deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 et de quatre parallélogrammes ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 est appelée parallélépipède(Fig. 1).
Riz. 1 parallélépipède
C'est-à-dire : nous avons deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 (bases), ils se trouvent dans des plans parallèles de sorte que les bords latéraux AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sont parallèles. Ainsi, une surface composée de parallélogrammes est appelée parallélépipède.
Ainsi, la surface d’un parallélépipède est la somme de tous les parallélogrammes qui composent le parallélépipède.
1. Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et égales.
(les formes sont égales, c'est-à-dire qu'elles peuvent être combinées en se chevauchant)
Par exemple:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (parallélogrammes égaux par définition),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (puisque AA 1 B 1 B et DD 1 C 1 C sont des faces opposées du parallélépipède),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (puisque AA 1 D 1 D et BB 1 C 1 C sont des faces opposées du parallélépipède).
2. Les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point et sont divisées en deux par ce point.
Les diagonales du parallélépipède AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se coupent en un point O, et chaque diagonale est divisée en deux par ce point (Fig. 2).
Riz. 2 Les diagonales d'un parallélépipède se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection.
3. Il existe trois quadruples d'arêtes égales et parallèles d'un parallélépipède: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.
Définition. Un parallélépipède est dit droit si ses bords latéraux sont perpendiculaires aux bases.
Laissez le bord latéral AA 1 être perpendiculaire à la base (Fig. 3). Cela signifie que la droite AA 1 est perpendiculaire aux droites AD et AB, qui se situent dans le plan de la base. Cela signifie que les faces latérales contiennent des rectangles. Et les bases contiennent des parallélogrammes arbitraires. Notons ∠BAD = φ, l'angle φ peut être quelconque.
Riz. 3 Parallélépipède droit
Ainsi, un parallélépipède droit est un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases du parallélépipède.
Définition. Le parallélépipède est appelé rectangulaire, si ses bords latéraux sont perpendiculaires à la base. Les bases sont des rectangles.
Le parallélépipède ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est rectangulaire (Fig. 4), si :
1. AA 1 ⊥ ABCD (bord latéral perpendiculaire au plan de la base, c'est-à-dire un parallélépipède droit).
2. ∠BAD = 90°, c'est à dire que la base est un rectangle.
Riz. 4 Parallélépipède rectangle
Un parallélépipède rectangle possède toutes les propriétés d’un parallélépipède arbitraire. Mais il existe des propriétés supplémentaires dérivées de la définition d’un cuboïde.
Donc, cuboïde est un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires à la base. La base d'un cuboïde est un rectangle.
1. Dans un parallélépipède rectangle, les six faces sont des rectangles.
ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 sont des rectangles par définition.
2. Les nervures latérales sont perpendiculaires à la base. Cela signifie que toutes les faces latérales d’un parallélépipède rectangle sont des rectangles.
3. Tous les angles dièdres d’un parallélépipède rectangle sont droits.
Considérons, par exemple, l'angle dièdre d'un parallélépipède rectangle d'arête AB, c'est-à-dire l'angle dièdre entre les plans ABC 1 et ABC.
AB est une arête, le point A 1 se trouve dans un plan - dans le plan ABB 1, et le point D dans l'autre - dans le plan A 1 B 1 C 1 D 1. Alors l'angle dièdre considéré peut également être noté comme suit : ∠A 1 ABD.
Prenons le point A sur l'arête AB. AA 1 est perpendiculaire à l'arête AB dans le plan АВВ-1, AD est perpendiculaire à l'arête AB dans le plan ABC. Cela signifie que ∠A 1 AD est l'angle linéaire d'un angle dièdre donné. ∠A 1 AD = 90°, ce qui signifie que l'angle dièdre au bord AB est de 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
De même, il est prouvé que tous les angles dièdres d’un parallélépipède rectangle sont droits.
Le carré de la diagonale d'un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.
Note. Les longueurs des trois arêtes partant d'un sommet d'un cuboïde sont les mesures du cuboïde. On les appelle parfois longueur, largeur, hauteur.
Donné : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallélépipède rectangle (Fig. 5).
Prouver: .
Riz. 5 Parallélépipède rectangle
Preuve:
La droite CC 1 est perpendiculaire au plan ABC, donc à la droite AC. Cela signifie que le triangle CC 1 A est rectangle. D'après le théorème de Pythagore :
Considérons le triangle rectangle ABC. D'après le théorème de Pythagore :
Mais BC et AD sont des côtés opposés du rectangle. Donc BC = AD. Alors:
Parce que , UN , Que. Puisque CC 1 = AA 1, c'est ce qu'il fallait prouver.
Les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales.
Notons les dimensions du parallélépipède ABC comme a, b, c (voir Fig. 6), alors AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Dans cette leçon, tout le monde pourra étudier le thème « Parallélépipède rectangle ». Au début de la leçon, nous répéterons ce que sont les parallélépipèdes arbitraires et droits, rappelons les propriétés de leurs faces opposées et des diagonales du parallélépipède. Ensuite, nous verrons ce qu'est un cuboïde et discuterons de ses propriétés de base.
Sujet : Perpendiculaire des lignes et des plans
Leçon : Cuboïde
Une surface composée de deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 et de quatre parallélogrammes ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 est appelée parallélépipède(Fig. 1).
Riz. 1 parallélépipède
C'est-à-dire : nous avons deux parallélogrammes égaux ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 (bases), ils se trouvent dans des plans parallèles de sorte que les bords latéraux AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sont parallèles. Ainsi, une surface composée de parallélogrammes est appelée parallélépipède.
Ainsi, la surface d’un parallélépipède est la somme de tous les parallélogrammes qui composent le parallélépipède.
1. Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et égales.
(les formes sont égales, c'est-à-dire qu'elles peuvent être combinées en se chevauchant)
Par exemple:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (parallélogrammes égaux par définition),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (puisque AA 1 B 1 B et DD 1 C 1 C sont des faces opposées du parallélépipède),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (puisque AA 1 D 1 D et BB 1 C 1 C sont des faces opposées du parallélépipède).
2. Les diagonales d'un parallélépipède se coupent en un point et sont divisées en deux par ce point.
Les diagonales du parallélépipède AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se coupent en un point O, et chaque diagonale est divisée en deux par ce point (Fig. 2).
Riz. 2 Les diagonales d'un parallélépipède se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection.
3. Il existe trois quadruples d'arêtes égales et parallèles d'un parallélépipède: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.
Définition. Un parallélépipède est dit droit si ses bords latéraux sont perpendiculaires aux bases.
Laissez le bord latéral AA 1 être perpendiculaire à la base (Fig. 3). Cela signifie que la droite AA 1 est perpendiculaire aux droites AD et AB, qui se situent dans le plan de la base. Cela signifie que les faces latérales contiennent des rectangles. Et les bases contiennent des parallélogrammes arbitraires. Notons ∠BAD = φ, l'angle φ peut être quelconque.
Riz. 3 Parallélépipède droit
Ainsi, un parallélépipède droit est un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases du parallélépipède.
Définition. Le parallélépipède est appelé rectangulaire, si ses bords latéraux sont perpendiculaires à la base. Les bases sont des rectangles.
Le parallélépipède ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est rectangulaire (Fig. 4), si :
1. AA 1 ⊥ ABCD (bord latéral perpendiculaire au plan de la base, c'est-à-dire un parallélépipède droit).
2. ∠BAD = 90°, c'est à dire que la base est un rectangle.
Riz. 4 Parallélépipède rectangle
Un parallélépipède rectangle possède toutes les propriétés d’un parallélépipède arbitraire. Mais il existe des propriétés supplémentaires dérivées de la définition d’un cuboïde.
Donc, cuboïde est un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires à la base. La base d'un cuboïde est un rectangle.
1. Dans un parallélépipède rectangle, les six faces sont des rectangles.
ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 sont des rectangles par définition.
2. Les nervures latérales sont perpendiculaires à la base. Cela signifie que toutes les faces latérales d’un parallélépipède rectangle sont des rectangles.
3. Tous les angles dièdres d’un parallélépipède rectangle sont droits.
Considérons, par exemple, l'angle dièdre d'un parallélépipède rectangle d'arête AB, c'est-à-dire l'angle dièdre entre les plans ABC 1 et ABC.
AB est une arête, le point A 1 se trouve dans un plan - dans le plan ABB 1, et le point D dans l'autre - dans le plan A 1 B 1 C 1 D 1. Alors l'angle dièdre considéré peut également être noté comme suit : ∠A 1 ABD.
Prenons le point A sur l'arête AB. AA 1 est perpendiculaire à l'arête AB dans le plan АВВ-1, AD est perpendiculaire à l'arête AB dans le plan ABC. Cela signifie que ∠A 1 AD est l'angle linéaire d'un angle dièdre donné. ∠A 1 AD = 90°, ce qui signifie que l'angle dièdre au bord AB est de 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
De même, il est prouvé que tous les angles dièdres d’un parallélépipède rectangle sont droits.
Le carré de la diagonale d'un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.
Note. Les longueurs des trois arêtes partant d'un sommet d'un cuboïde sont les mesures du cuboïde. On les appelle parfois longueur, largeur, hauteur.
Donné : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallélépipède rectangle (Fig. 5).
Prouver: .
Riz. 5 Parallélépipède rectangle
Preuve:
La droite CC 1 est perpendiculaire au plan ABC, donc à la droite AC. Cela signifie que le triangle CC 1 A est rectangle. D'après le théorème de Pythagore :
Considérons le triangle rectangle ABC. D'après le théorème de Pythagore :
Mais BC et AD sont des côtés opposés du rectangle. Donc BC = AD. Alors:
Parce que , UN , Que. Puisque CC 1 = AA 1, c'est ce qu'il fallait prouver.
Les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales.
Notons les dimensions du parallélépipède ABC comme a, b, c (voir Fig. 6), alors AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
a, vers la base du PP ;
avec sa hauteur.
- que devons-nous savoir, de quelles données disposons-nous ?
- Quelles propriétés possède un parallélépipède rectangle ?
- le théorème de Pythagore s'applique-t-il ici ? Comment?
- Existe-t-il suffisamment de données pour appliquer le théorème de Pythagore, ou d'autres calculs sont-ils nécessaires ?
Carré diagonal, d'un parallélépipède carré (voir propriétés d'un parallélépipède carré) est égal à la somme des carrés de ses trois côtés différents (largeur, hauteur, épaisseur), et, par conséquent, les diagonales d'un parallélépipède carré sont égales à la racine de cette somme.
Je me souviens du programme scolaire en géométrie, on peut dire ceci : la diagonale d'un parallélépipède est égale à la racine carrée obtenue à partir de la somme de ses trois côtés (ils sont désignés par des lettres minuscules a, b, c).
La longueur de la diagonale d'un parallélépipède rectangle est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses côtés.
D'après ce que je sais du programme scolaire, 9e année, si je ne me trompe pas, et si ma mémoire est bonne, la diagonale d'un parallélépipède rectangle est égale à la racine carrée de la somme des carrés des trois côtés.
le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés de largeur, hauteur et longueur, sur la base de cette formule nous obtenons la réponse, la diagonale est égale à la racine carrée de la somme de ses trois dimensions différentes, avec les lettres elles désigne ncz abc
Un parallélépipède rectangle (PP) n'est rien d'autre qu'un prisme dont la base est un rectangle. Pour un PP, toutes les diagonales sont égales, ce qui signifie que chacune de ses diagonales est calculée à l'aide de la formule :
Une autre définition peut être donnée en considérant le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes :
La diagonale PP est le rayon vecteur de tout point de l'espace spécifié par les coordonnées x, y et z dans le système de coordonnées cartésiennes. Ce rayon vecteur jusqu'au point est tiré de l'origine. Et les coordonnées du point seront les projections du rayon vecteur (diagonales du PP) sur les axes de coordonnées. Les projections coïncident avec les sommets de ce parallélépipède.
Un parallélépipède rectangle est un type de polyèdre composé de 6 faces, à la base duquel se trouve un rectangle. Une diagonale est un segment de droite qui relie les sommets opposés d’un parallélogramme.
La formule pour trouver la longueur d’une diagonale est que le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des trois dimensions du parallélogramme.
J'ai trouvé un bon schéma-tableau sur Internet avec une liste complète de tout ce qui se trouve dans le parallélépipède. Il existe une formule pour trouver la diagonale, notée d.
Il y a une image du bord, du sommet et d'autres éléments importants pour le parallélépipède.
Si la longueur, la hauteur et la largeur (a,b,c) d'un parallélépipède rectangle sont connues, alors la formule de calcul de la diagonale ressemblera à ceci :
En règle générale, les enseignants ne proposent pas à leurs élèves une simple formule, mais s'efforcent de les amener à la dériver eux-mêmes en posant des questions suggestives :
Habituellement, après avoir répondu aux questions posées, les étudiants peuvent facilement dériver eux-mêmes cette formule.
Les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales. Ainsi que les diagonales de ses faces opposées. La longueur de la diagonale peut être calculée en connaissant la longueur des arêtes du parallélogramme émanant d'un sommet. Cette longueur est égale à la racine carrée de la somme des carrés des longueurs de ses arêtes.
Un cuboïde est l'un des soi-disant polyèdres, composé de 6 faces, chacune étant un rectangle. Une diagonale est un segment qui relie les sommets opposés d'un parallélogramme. Si la longueur, la largeur et la hauteur d'un parallélépipède rectangle sont respectivement a, b, c, alors la formule de sa diagonale (D) ressemblera à ceci : D^2=a^2+b^2+c ^2.
Diagonale d'un parallélépipède rectangle est un segment reliant ses sommets opposés. Donc nous avons cuboïde de diagonale d et de côtés a, b, c. L'une des propriétés d'un parallélépipède est que le carré longueur diagonale d est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions a, b, c. La conclusion est donc que longueur diagonale peut être facilement calculé à l’aide de la formule suivante :
