Le triangle est peut-être la figure la plus fondamentale, la plus simple et la plus intéressante de la géométrie. Dans un cours de lycée, ses propriétés de base sont étudiées, mais parfois les connaissances sur ce sujet sont incomplètes. Les types de triangles déterminent initialement leurs propriétés. Mais ce point de vue reste mitigé. Par conséquent, examinons maintenant ce sujet un peu plus en détail.
Les types de triangles dépendent de la mesure en degrés des angles. Ces figures sont aiguës, rectangulaires et obtuses. Si tous les angles ne dépassent pas 90 degrés, le chiffre peut alors être qualifié de aigu en toute sécurité. Si au moins un angle du triangle est de 90 degrés, alors vous avez affaire à une sous-espèce rectangulaire. En conséquence, dans tous les autres cas, celui en question est appelé à angle obtus.
Les sous-types à angle aigu posent de nombreux problèmes. Particularité est l'emplacement interne des points d'intersection des bissectrices, des médianes et des altitudes. Dans d'autres cas, cette condition peut ne pas être remplie. Il n'est pas difficile de déterminer le type de figure triangulaire. Il suffit de connaître, par exemple, le cosinus de chaque angle. Si des valeurs moins que zéro, ce qui signifie que le triangle est obtus de toute façon. Dans le cas d'un indicateur zéro, la figure a un angle droit. Tous valeurs positives sont garantis de vous dire que vous regardez une vue angulaire.
On ne peut s'empêcher de mentionner le triangle régulier. C'est le plus vue parfaite, où tous les points d'intersection des médianes, des bissectrices et des hauteurs coïncident. Le centre du cercle inscrit et circonscrit se trouve également au même endroit. Pour résoudre des problèmes, vous n'avez besoin de connaître qu'un seul côté, puisque les angles vous sont initialement donnés et que les deux autres côtés sont connus. C'est-à-dire que le chiffre n'est spécifié que par un seul paramètre. Ils existent caractéristique principale- égalité de deux côtés et angles à la base.
Parfois, la question se pose de savoir s’il existe un triangle ayant des côtés donnés. Ce que vous demandez en réalité, c'est si la description donnée correspond à l'espèce principale. Par exemple, si la somme de deux côtés est inférieure au troisième, alors en réalité un tel chiffre n'existe pas du tout. Si la tâche vous demande de trouver les cosinus des angles d'un triangle dont les côtés sont 3,5,9, alors l'évidence peut être expliquée sans techniques mathématiques complexes. Supposons que vous souhaitiez vous rendre du point A au point B. La distance en ligne droite est de 9 kilomètres. Cependant, vous vous souvenez qu'il faut vous rendre au point C du magasin. La distance de A à C est de 3 kilomètres et de C à B est de 5. Ainsi, il s'avère qu'en vous déplaçant dans le magasin, vous marcherez un kilomètre de moins. Mais comme le point C n'est pas situé sur la droite AB, vous devrez parcourir une distance supplémentaire. Il y a ici une contradiction. Il s’agit bien entendu d’une explication conditionnelle. Les mathématiques connaissent plus d’une manière de prouver que tous les types de triangles obéissent à l’identité fondamentale. Il stipule que la somme de deux côtés est supérieure à la longueur du troisième.
Tout type possède les propriétés suivantes :
1) La somme de tous les angles est de 180 degrés.
2) Il y a toujours un orthocentre - le point d'intersection des trois hauteurs.
3) Les trois médianes tirées des sommets des angles intérieurs se coupent en un seul endroit.
4) Un cercle peut être tracé autour de n’importe quel triangle. Vous pouvez également inscrire un cercle de manière à ce qu'il n'ait que trois points de contact et ne s'étende pas au-delà des côtés extérieurs.
Vous connaissez maintenant les propriétés de base des différents types de triangles. À l’avenir, il est important de comprendre à quoi vous faites face lorsque vous résolvez un problème.
Triangle - définition et concepts généraux
Un triangle est un polygone simple composé de trois côtés et ayant le même nombre d'angles. Ses plans sont limités par 3 points et 3 segments reliant ces points deux à deux.
Tous les sommets de tout triangle, quel que soit son type, sont désignés par des lettres latines majuscules, et ses côtés sont représentés par les désignations correspondantes des sommets opposés, non seulement en lettres majuscules, mais en petites. Ainsi, par exemple, un triangle dont les sommets sont étiquetés A, B et C a des côtés a, b, c.
Si l’on considère un triangle dans l’espace euclidien, il s’agit alors d’une figure géométrique formée de trois segments reliant trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite.
Regardez attentivement l'image ci-dessus. Sur celui-ci, les points A, B et C sont les sommets de ce triangle, et ses segments sont appelés les côtés du triangle. Chaque sommet de ce polygone forme des angles à l'intérieur.
Types de triangles
Selon la taille des angles des triangles, ils sont divisés en variétés telles que : Rectangulaire ;
Angulaire aigu ;
Obtus.
Les triangles rectangulaires comprennent ceux qui ont un angle droit et les deux autres ont des angles aigus.
Les triangles aigus sont ceux dont tous les angles sont aigus.
Et si un triangle en a un angle obtus, et les deux autres angles sont aigus, alors un tel triangle est classé comme obtus.
Chacun de vous comprend parfaitement que tous les triangles n’ont pas des côtés égaux. Et selon la longueur de ses côtés, les triangles peuvent être divisés en :
Isocèle;
Équilatéral;
Polyvalent.
Tâche : Dessiner différents types Triangles. Définissez-les. Quelle différence voyez-vous entre eux ?
Propriétés de base des triangles
Bien que ces polygones simples puissent différer les uns des autres par la taille de leurs angles ou de leurs côtés, chaque triangle possède les propriétés fondamentales caractéristiques de cette figure.
Dans n'importe quel triangle :
La somme totale de tous ses angles est de 180º.
S'il appartient aux équilatéraux, alors chacun de ses angles mesure 60º.
Un triangle équilatéral a des angles égaux et égaux.
Comment petit côté polygone, le plus petit angle est situé en face de lui et, inversement, le plus grand angle est en face du plus grand côté.
Si les côtés sont égaux, alors en face d'eux se trouvent des angles égaux, et vice versa.
Si nous prenons un triangle et étendons son côté, nous nous retrouvons avec un angle externe. Il égal à la somme coins intérieurs.
Dans tout triangle, son côté, quel que soit celui que vous choisissez, sera toujours inférieur à la somme des 2 autres côtés, mais supérieur à leur différence :
1. un< b + c, a >avant JC;
2.b< a + c, b >a–c ;
3.c< a + b, c >un B.
Exercice
Le tableau montre les deux angles déjà connus du triangle. Connaissance montant total de tous les angles, trouvez à quoi est égal le troisième angle du triangle et mettez-le dans le tableau :
1. Combien de degrés a le troisième angle ?
2. À quel type de triangle appartient-il ?
Tests d'équivalence des triangles
je signe
signe II
signe III
Hauteur, bissectrice et médiane d'un triangle
L'altitude d'un triangle - la perpendiculaire tracée depuis le sommet de la figure jusqu'à son côté opposé est appelée l'altitude du triangle. Toutes les altitudes d'un triangle se coupent en un point. Le point d'intersection des 3 altitudes d'un triangle est son orthocentre.
Un segment tiré d'un sommet donné et le reliant au milieu du côté opposé est la médiane. Les médianes, ainsi que les altitudes d'un triangle, ont un point d'intersection commun, appelé centre de gravité du triangle ou centroïde.
La bissectrice d'un triangle est un segment reliant le sommet d'un angle et un point du côté opposé, et divisant également cet angle en deux. Toutes les bissectrices d'un triangle se coupent en un point, appelé centre du cercle inscrit dans le triangle.
Le segment qui relie les milieux des 2 côtés d’un triangle s’appelle la ligne médiane.
Référence historique
Une figure telle qu'un triangle était connue dans l'Antiquité. Cette figure et ses propriétés ont été mentionnées sur des papyrus égyptiens il y a quatre mille ans. Un peu plus tard, grâce au théorème de Pythagore et à la formule de Héron, l'étude des propriétés d'un triangle s'oriente vers plus haut niveau, mais quand même, cela s'est produit il y a plus de deux mille ans.
Au XVe – 16ème siècles Ils ont commencé à mener de nombreuses recherches sur les propriétés d'un triangle, ce qui a donné naissance à une science telle que la planimétrie, appelée « Nouvelle géométrie du triangle ».
Le scientifique russe N.I. Lobatchevski a apporté une énorme contribution à la connaissance des propriétés des triangles. Ses travaux trouvèrent plus tard des applications en mathématiques, en physique et en cybernétique.
Grâce à la connaissance des propriétés des triangles, une science telle que la trigonométrie est née. Il s'est avéré nécessaire pour une personne dans ses besoins pratiques, puisque son utilisation est simplement nécessaire lors de l'élaboration de cartes, de la mesure de zones et même lors de la conception de divers mécanismes.
Quel est le triangle le plus célèbre que vous connaissez ? Il s'agit bien sûr du Triangle des Bermudes ! Il a reçu ce nom dans les années 50 en raison de la situation géographique des points (sommets du triangle), à l'intérieur desquels, selon la théorie existante, sont apparues les anomalies qui lui sont associées. Les sommets du Triangle des Bermudes sont les Bermudes, la Floride et Porto Rico.
Devoir : Quelles sont les théories sur Triangle des Bermudes as tu entendu?
Saviez-vous que dans la théorie de Lobatchevski, lors de l’addition des angles d’un triangle, leur somme donne toujours un résultat inférieur à 180º. Dans la géométrie de Riemann, la somme de tous les angles d'un triangle est supérieure à 180º, et dans les travaux d'Euclide, elle est égale à 180 degrés.
Devoirs
Résoudre des mots croisés sur un sujet donné
Questions pour les mots croisés :
1. Quel est le nom de la perpendiculaire qui est tracée du sommet du triangle à la droite située du côté opposé ?
2. Comment, en un mot, peut-on appeler la somme des longueurs des côtés d'un triangle ?
3. Nommez un triangle dont les deux côtés sont égaux ?
4. Nommez un triangle qui a un angle égal à 90° ?
5. Quel est le nom du plus grand côté du triangle ?
6. Quel est le nom du côté d’un triangle isocèle ?
7. Il y en a toujours trois dans un triangle.
8. Quel est le nom d'un triangle dont l'un des angles dépasse 90° ?
9. Le nom du segment reliant le haut de notre figure au milieu du côté opposé ?
10. Dans un polygone simple ABC, la lettre majuscule A est... ?
11. Quel est le nom du segment qui divise l'angle d'un triangle en deux ?
Questions sur le thème des triangles :
1. Définissez-le.
2. Combien de hauteurs a-t-il ?
3. Combien de bissectrices possède un triangle ?
4. Quelle est sa somme d’angles ?
5. Quels types de ce polygone simple connaissez-vous ?
6. Nommez les points des triangles dits remarquables.
7. Quel appareil pouvez-vous utiliser pour mesurer l’angle ?
8. Si les aiguilles de l'horloge indiquent 21 heures. Quel angle font les aiguilles des heures ?
9. Sous quel angle une personne se tourne-t-elle si on lui donne le commandement « à gauche », « cercle » ?
10. Connaissez-vous d'autres définitions associées à une figure qui a trois angles et trois côtés ?
Aujourd'hui, nous allons au pays de la géométrie, où nous nous familiariserons avec différents types de triangles.
Considérez les formes géométriques et trouvez celle « supplémentaire » parmi elles (Fig. 1).
Riz. 1. Illustration par exemple
On voit que les figures n°1, 2, 3, 5 sont des quadrilatères. Chacun d'eux a son propre nom (Fig. 2).
Riz. 2. Quadrilatères
Cela signifie que le chiffre « supplémentaire » est un triangle (Fig. 3).
Riz. 3. Illustration par exemple
Un triangle est une figure composée de trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne et de trois segments reliant ces points par paires.
Les points sont appelés sommets du triangle, segments - son des soirées. Les côtés du triangle forment Il y a trois angles aux sommets d'un triangle.
Les principales caractéristiques d'un triangle sont trois côtés et trois coins. Selon la taille de l'angle, les triangles sont aigu, rectangulaire et obtus.
Un triangle est dit à angle aigu si ses trois angles sont aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90° (Fig. 4).
Riz. 4. Triangle aigu
Un triangle est dit rectangulaire si l'un de ses angles est de 90° (Fig. 5).
Riz. 5. Triangle rectangle
Un triangle est dit obtus si l’un de ses angles est obtus, c’est-à-dire supérieur à 90° (Fig. 6).
Riz. 6. Triangle obtus
Par numéro côtés égaux Les triangles peuvent être équilatéraux, isocèles, scalènes.
Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont égaux (Fig. 7).
Riz. 7. Triangle isocèle
Ces côtés sont appelés latéral, Troisième côté - base. Dans un triangle isocèle, les angles de base sont égaux.
Il existe des triangles isocèles aigu et obtus(Fig.8) .
Riz. 8. Triangles isocèles aigus et obtus
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux (Fig. 9).
Riz. 9. Triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral tous les angles sont égaux. Triangles équilatéraux Toujours à angle aigu.
Un triangle scalène est un triangle dont les trois côtés ont des longueurs différentes (Fig. 10).
Riz. 10. Triangle scalène
Finissez la tâche. Répartissez ces triangles en trois groupes (Fig. 11).
Riz. 11. Illustration pour la tâche
Tout d'abord, répartissons en fonction de la taille des angles.
Triangles aigus : n°1, n°3.
Triangles rectangles : n°2, n°6.
Triangles obtus : n°4, n°5.
Nous répartirons les mêmes triangles en groupes selon le nombre de côtés égaux.
Triangles scalènes : n°4, n°6.
Triangles isocèles : n°2, n°3, n°5.
Triangle équilatéral : n°1.
Regarde les photos.
Pensez au morceau de fil à partir duquel chaque triangle a été fabriqué (Fig. 12).
Riz. 12. Illustration pour la tâche
Vous pouvez penser comme ça.
Le premier morceau de fil est divisé en trois parties égales, vous pouvez donc en faire un triangle équilatéral. Il est représenté en troisième position sur la photo.
Le deuxième morceau de fil est divisé en trois parties différentes, il peut donc être utilisé pour réaliser un triangle scalène. Il est montré en premier sur l'image.
Le troisième morceau de fil est divisé en trois parties, dont deux parties ont la même longueur, ce qui signifie qu'il peut être utilisé pour fabriquer triangle isocèle. Sur la photo, il est montré en deuxième position.
Aujourd'hui, en classe, nous avons découvert différents types de triangles.
Bibliographie
- MI. Moreau, M.A. Bantova et autres Mathématiques : manuel. 3e année : en 2 parties, partie 1. - M. : « Lumières », 2012.
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- MI. Moro. Cours de mathématiques : Des lignes directrices pour le professeur. 3ème année. - M. : Éducation, 2012.
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- "École de Russie": programmes pour école primaire. - M. : « Lumières », 2011.
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- V.N. Rudnitskaïa. Essais. - M. : « Examen », 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Devoirs
1. Complétez les phrases.
a) Un triangle est une figure composée de... qui ne se trouvent pas sur la même droite, et... qui relient ces points deux à deux.
b) Les points sont appelés … , segments - son … . Les côtés du triangle se forment aux sommets du triangle ….
c) Selon la taille de l'angle, les triangles sont ... , ... , ... .
d) En fonction du nombre de côtés égaux, les triangles sont ... , ... , ... .
2. Dessiner
UN) triangle rectangle;
b) triangle aigu ;
c) triangle obtus ;
d) triangle équilatéral ;
e) triangle scalène ;
e) triangle isocèle.
3. Créez un devoir sur le sujet de la leçon pour vos amis.
Triangle est un polygone à 3 côtés (ou 3 angles). Les côtés d'un triangle sont souvent indiqués par des petites lettres qui correspondent aux grandes lettres indiquant les sommets inversés.
Triangle aigu s’appelle un triangle dont les trois angles sont aigus.
Triangle obtus s'appelle un triangle dont l'un des angles est obtus.
Triangle rectangle s'appelle un triangle dont l'un des angles est un angle droit, c'est-à-dire égal à 90° ; les côtés a, b formant un angle droit sont appelés jambes; le côté c, opposé à l’angle droit, est appelé hypoténuse.
Triangle isocèle s'appelle un triangle dont les deux côtés sont égaux (a = c) ; ces côtés égaux sont appelés latéral, le tiers est appelé base du triangle.
Triangle équilatéral s'appelle un triangle dont tous les côtés sont égaux (a = b = c). Dans ce cas, dans un triangle aucun de ses côtés (abc) n’est égal, alors ceci triangle équilatéral.
Principales caractéristiques des triangles
Dans n'importe quel triangle :
Signes d'égalité des triangles
Les triangles sont congrus, auquel cas ils sont respectivement égaux :
Signes d'égalité des triangles rectangles
Deux triangles rectangles sont égaux, auquel cas l'un des critères suivants est rempli :
HauteurTriangle- il s'agit d'une perpendiculaire tombant de n'importe quel sommet vers le côté opposé (ou son prolongement). Ce côté s'appelle base du triangle. Les trois altitudes d'un triangle se coupent toujours en un point appelé orthocentre du triangle.
L'orthocentre d'un triangle aigu est situé à l'intérieur du triangle et l'orthocentre d'un triangle obtus est situé à l'extérieur ; L'orthocentre d'un triangle rectangle coïncide avec le sommet de l'angle droit.
Médian- il s'agit d'un segment reliant chaque sommet du triangle au milieu du revers. Les trois médianes d'un triangle se coupent en un point, qui se trouve toujours à l'intérieur du triangle et constitue son centre de masse. Ce point divise chaque médiane dans un rapport de 2 : 1, à partir du sommet.
Bissecteur- c'est le segment bissecteur de l'angle allant du sommet au point d'intersection avec verso. Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point, qui se trouve toujours à l'intérieur du triangle et est le centre du cercle inscrit. La bissectrice divise le revers en parties proportionnelles aux côtés adjacents.
Perpendiculaire médiane- il s'agit d'une perpendiculaire tracée à partir du milieu d'un segment (côté). Les trois perpendiculaires médianes d’un triangle se coupent en un point, qui est le centre du cercle circonscrit.
DANS Triangle aigu ce point se situe à l'intérieur du triangle, dans un triangle obtus - à l'extérieur, dans un triangle rectangulaire - au milieu de l'hypoténuse. L'orthocentre, le centre de masse, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit coïncident exclusivement dans un triangle équilatéral.
Axiome de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des jambes.
Confirmation de l'axiome de Pythagore
Construisons un carré AKMB en utilisant l'hypoténuse AB comme côté. On continue ensuite les côtés du triangle rectangle ABC de manière à obtenir un carré CDEF dont le côté est égal à a + b. Or il est clair que l'aire du carré CDEF est égale à (a + b) 2. Par contre, cette aire est égale à la somme des aires des quatre triangles rectangles et du carré AKMB, en d'autres termes mots,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
et nous avons:
c 2 = une 2 + b 2 .
Rapport hauteur/largeur dans un triangle aléatoire
Dans le cas général (pour un triangle aléatoire) on a :
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
où C est l'angle entre les côtés a et b.
En plus sur le site :
En étudiant les mathématiques, les élèves commencent à se familiariser avec différents types de formes géométriques. Aujourd'hui, nous parlerons de divers types Triangles.
Définition
Les figures géométriques constituées de trois points qui ne sont pas sur la même ligne sont appelées triangles.
Les segments reliant les points sont appelés côtés et les points sont appelés sommets. Les sommets sont désignés en majuscules, par exemple : A, B, C.
Les côtés sont désignés par les noms des deux points qui les composent - AB, BC, AC. En se croisant, les côtés forment des angles. La face inférieure est considérée comme la base de la figure.
Riz. 1. Triangle ABC.
Types de triangles
Les triangles sont classés par angles et côtés. Chaque type de triangle possède ses propres propriétés.
Il existe trois types de triangles aux coins :
- à angle aigu;
- rectangulaire;
- à angle obtus.
Sous tous les angles à angle aigu les triangles sont aigus, c'est-à-dire que la mesure en degré de chacun ne dépasse pas 90 0.
Rectangulaire un triangle contient un angle droit. Les deux autres angles seront toujours aigus, sinon la somme des angles du triangle dépassera 180 degrés, ce qui est impossible. Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse et les deux autres s’appellent les jambes. L'hypoténuse est toujours plus grande que la jambe.
Obtus le triangle contient un angle obtus. C'est-à-dire un angle supérieur à 90 degrés. Les deux autres angles d’un tel triangle seront aigus.
Riz. 2. Types de triangles aux coins.
Un triangle de Pythagore est un rectangle dont les côtés sont 3, 4, 5.
De plus, le plus grand côté est l’hypoténuse.
De tels triangles sont souvent utilisés pour construire des problèmes simples de géométrie. N'oubliez donc pas : si deux côtés d'un triangle sont égaux à 3, alors le troisième sera certainement 5. Cela simplifiera les calculs.
Types de triangles sur les côtés :
- équilatéral;
- isocèle;
- polyvalent.
Équilatéral un triangle est un triangle dont tous les côtés sont égaux. Tous les angles d'un tel triangle sont égaux à 60 0, c'est-à-dire qu'il est toujours aigu.
Isocèle triangle - un triangle dont seulement deux côtés sont égaux. Ces côtés sont appelés latéraux et le troisième est appelé base. De plus, les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux et toujours aigus.
Polyvalent ou un triangle arbitraire est un triangle dans lequel toutes les longueurs et tous les angles ne sont pas égaux les uns aux autres.
S'il n'y a pas de précisions sur le chiffre du problème, il est généralement admis que nous parlons deà propos d'un triangle arbitraire.
Riz. 3. Types de triangles sur les côtés.
La somme de tous les angles d’un triangle, quel que soit son type, est de 1 800.
En face du plus grand angle se trouve le plus grand côté. Et aussi la longueur d’un côté est toujours inférieure à la somme de ses deux autres côtés. Ces propriétés sont confirmées par le théorème d'inégalité triangulaire.
Il existe un concept de triangle d'or. C'est un triangle isocèle dont les deux côtés sont proportionnels à la base et égaux un certain nombre. Dans une telle figure, les angles sont proportionnels au rapport 2:2:1.
Tâche:
Existe-t-il un triangle dont les côtés mesurent 6 cm, 3 cm, 4 cm ?
Solution:
Pour résoudre cette tâche, vous devez utiliser l'inégalité a
Qu'avons-nous appris ?
Depuis de ce matériel Dès le cours de mathématiques de 5e, nous avons appris que les triangles sont classés selon leurs côtés et la taille de leurs angles. Les triangles possèdent certaines propriétés qui peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes.