En mathématiques et statistiques moyenne arithmétique (ou facilement moyenne) d'un ensemble de nombres est la somme de tous les nombres de cet ensemble divisée par leur nombre. La moyenne arithmétique est une représentation particulièrement générale et la plus courante de la moyenne.
Tu auras besoin de
- Connaissances en mathématiques.
Instruction
1. Donnons un ensemble de quatre nombres. Besoin de découvrir moyenne signification cette trousse. Pour ce faire, on trouve d'abord la somme de tous ces nombres. Ces nombres sont possibles 1, 3, 8, 7. Leur somme est égale à S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. L'ensemble des nombres doit être composé de nombres de même signe, sinon le sens dans le calcul de la valeur moyenne est perdu.
2. Moyenne signification ensemble de nombres est égal à la somme des nombres S divisée par le nombre de ces nombres. C'est-à-dire qu'il s'avère que moyenne signification est égal à : 19/4 = 4,75.
3. Pour un ensemble de nombres, il est également possible de détecter non seulement moyenne arithmétique, mais moyenne géométrique. La moyenne géométrique de plusieurs nombres réels réguliers est un nombre autorisé à remplacer n'importe lequel de ces nombres afin que leur produit ne change pas. La moyenne géométrique G est recherchée par la formule : la racine du Nième degré du produit d'un ensemble de nombres, où N est le numéro du nombre dans l'ensemble. Regardons le même ensemble de nombres : 1, 3, 8, 7. Trouvons-les moyenne géométrique. Pour ce faire, nous calculons le produit : 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Maintenant, à partir du nombre 168, vous devez extraire la racine du 4ème degré : G = (168) ^ 1/4 = 3,61. Ainsi moyenne l'ensemble géométrique des nombres est 3,61.
Moyenne la moyenne géométrique est moins utilisée que la moyenne arithmétique, mais elle peut être utile pour calculer la moyenne d'indicateurs qui évoluent dans le temps (salaire travailleur individuel, dynamique des indicateurs de performance, etc.).
Tu auras besoin de
- Calculatrice d'ingénierie
Instruction
1. Pour trouver la moyenne géométrique d'une série de nombres, vous devez d'abord multiplier tous ces nombres. Disons qu'on vous donne un ensemble de cinq indicateurs : 12, 3, 6, 9 et 4. Multiplions tous ces nombres : 12x3x6x9x4 = 7776.
2. Maintenant, à partir du nombre résultant, il faut extraire la racine du degré égal au nombre d'éléments de la série. Dans notre cas, à partir du nombre 7776, il faudra extraire la cinquième racine à l'aide d'une calculatrice d'ingénierie. Le nombre obtenu après cette opération - dans ce cas, le nombre 6 - sera la moyenne géométrique du groupe de nombres initial.
3. Si vous n'avez pas de calculatrice d'ingénierie à portée de main, vous pouvez calculer la moyenne géométrique d'une série de nombres avec prise en charge de la fonction CPGEOM dans Excel ou en utilisant l'une des calculatrices en ligne délibérément préparées pour calculer des valeurs moyennes géométriques.
Note!
Si vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique de chacun pour 2 nombres, alors vous n'avez pas besoin d'une calculatrice d'ingénierie : extrayez la racine du 2e degré ( Racine carrée) à partir de n'importe quel nombre est autorisé à l'aide de la calculatrice la plus ordinaire.
Conseil utile
Contrairement à la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique n'est pas aussi fortement influencée par d'énormes écarts et fluctuations entre les valeurs individuelles de l'ensemble d'indicateurs étudié.
Moyenne value est l'un des classements d'un ensemble de nombres. Représente un nombre qui ne peut pas être en dehors de la plage définie par le plus grand et le les plus petites valeurs dans cet ensemble de nombres. Moyenne une valeur arithmétique est une variété de moyennes particulièrement couramment utilisée.
Instruction
1. Additionnez tous les nombres de l'ensemble et divisez-les par le nombre de termes pour obtenir la moyenne arithmétique. Selon certaines conditions de calcul, il est parfois plus simple de diviser n'importe lequel des nombres par le nombre de valeurs de l'ensemble et d'additionner le total.
2. Utilisez, par exemple, la calculatrice fournie avec le système d'exploitation Windows, s'il n'est pas possible de calculer la moyenne arithmétique dans votre tête. Il peut être ouvert à l'aide de la boîte de dialogue de lancement du programme. Pour ce faire, appuyez sur les "touches de gravure" WIN + R ou cliquez sur le bouton "Démarrer" et sélectionnez la commande "Exécuter" dans le menu principal. Après cela, tapez dans le champ de saisie calc et appuyez sur Entrée sur le clavier ou cliquez sur le bouton "OK". La même chose peut être faite via le menu principal - ouvrez-le, allez dans la section "Tous les programmes" et dans les segments "Typiques" et sélectionnez la ligne "Calculatrice".
3. Entrez tous les nombres de l'ensemble par étapes en appuyant sur la touche Plus du clavier après tous (sauf le dernier) ou en cliquant sur le bouton correspondant dans l'interface de la calculatrice. La saisie de chiffres est également autorisée à la fois à partir du clavier et en cliquant sur les boutons d'interface correspondants.
4. Appuyez sur la touche barre oblique ou cliquez sur cette icône dans l'interface de la calculatrice après avoir entré la dernière valeur définie et tapez le nombre de nombres dans la séquence. Appuyez ensuite sur le signe égal et la calculatrice calculera et affichera la moyenne arithmétique.
5. Il est permis d'utiliser l'éditeur de tableur Microsoft Excel dans le même but. Dans ce cas, démarrez l'éditeur et entrez toutes les valeurs de la séquence de nombres dans les cellules adjacentes. Si, après avoir entré le nombre entier, vous appuyez sur Entrée ou sur la touche fléchée vers le bas ou vers la droite, l'éditeur lui-même déplacera le focus d'entrée vers la cellule adjacente.
6. Sélectionnez toutes les valeurs saisies et dans le coin inférieur gauche de la fenêtre de l'éditeur (dans la barre d'état), vous verrez la moyenne arithmétique des cellules sélectionnées.
7. Cliquez sur la cellule à côté du dernier nombre que vous avez saisi si vous préférez simplement voir la moyenne arithmétique. Développez la liste déroulante avec l'image de la lettre grecque sigma (Σ) dans le groupe de commandes "Edition" de l'onglet "Basique". Sélectionnez la ligne " Moyenne' et l'éditeur collera formule nécessaire calculer la moyenne valeur arithmétiqueà la cellule en surbrillance. Appuyez sur la touche Entrée et la valeur sera calculée.
La moyenne arithmétique est l'une des mesures de la propension centrale largement utilisée en mathématiques et dans les calculs statistiques. Trouver la moyenne arithmétique de plusieurs valeurs est très facile, mais chaque tâche a ses propres nuances, que vous devez connaître pour effectuer des calculs corrects.
Quelle est la moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique détermine la valeur moyenne pour chaque tableau initial de nombres. En d'autres termes, à partir d'un certain ensemble de nombres, une valeur universelle pour tous les éléments est sélectionnée, dont la comparaison mathématique avec tous les éléments est approximativement égale. La moyenne arithmétique est de préférence utilisée lors de la compilation de rapports financiers et statistiques ou pour calculer les résultats quantitatifs de compétences similaires réalisées.
Comment trouver la moyenne arithmétique
Trouver une moyenne nombre arithmétique pour un tableau de nombres, vous devez commencer par déterminer la somme algébrique de ces valeurs. Par exemple, si le tableau contient les nombres 23, 43, 10, 74 et 34, alors leur somme algébrique sera 184. Lors de l'écriture, la moyenne arithmétique est désignée par la lettre ? (mu) ou x (x avec un tiret). Ensuite, la somme algébrique doit être divisée par le nombre de nombres dans le tableau. Dans cet exemple, il y avait cinq nombres, donc la moyenne arithmétique sera 184/5 et sera 36,8.
Caractéristiques du travail avec des nombres négatifs
Si le tableau contient des nombres négatifs, la moyenne arithmétique est trouvée à l'aide d'un algorithme similaire. Il n'y a une différence que lors du calcul dans l'environnement de programmation, ou s'il y a des données supplémentaires dans la tâche. Dans ces cas, trouver la moyenne arithmétique des nombres avec signes divers se résume en trois étapes : 1. Trouver la moyenne arithmétique générale de la manière standard ; 2. Trouver la moyenne arithmétique des nombres négatifs.3. Calcul de la moyenne arithmétique des nombres positifs. Les résultats de chacune des actions sont écrits séparés par des virgules.
Fractions naturelles et décimales
Si un tableau de nombres est présenté décimales, la solution se produit selon la méthode de calcul de la moyenne arithmétique des nombres entiers, mais le total est réduit en fonction des exigences du problème pour la précision du résultat.Lorsque vous travaillez avec des fractions naturelles, elles doivent être réduites à un dénominateur commun, celui qui est multiplié par le nombre de nombres dans le tableau. Le numérateur du résultat sera la somme des numérateurs réduits des éléments fractionnaires initiaux.
La moyenne géométrique des nombres dépend non seulement de la valeur absolue des nombres eux-mêmes, mais aussi de leur nombre. Il est impossible de confondre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique des nombres, car on les trouve selon des méthodologies différentes. La moyenne géométrique est invariablement inférieure ou égale à la moyenne arithmétique.
Tu auras besoin de
- Calculatrice d'ingénierie.
Instruction
1. Considérez que dans le cas général la moyenne géométrique des nombres se trouve en multipliant ces nombres et en en extrayant la racine du degré qui correspond au nombre de nombres. Dites, si vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique de cinq nombres, alors à partir du produit, il sera nécessaire d'extraire la racine du cinquième degré.
2. Pour trouver la moyenne géométrique de 2 nombres, utilisez la règle de base. Trouver leur produit, puis en extraire la racine carrée, du fait que le nombre est deux, ce qui correspond au degré de la racine. Disons que pour trouver la moyenne géométrique des nombres 16 et 4, trouver leur produit 16 4=64. À partir du nombre obtenu, extrayez la racine carrée 64 = 8. Ce sera la valeur souhaitée. Veuillez noter que la moyenne arithmétique de ces 2 nombres est plus grande et égale 10. Si la racine n'est pas prise complètement, arrondissez le total à l'ordre désiré.
3. Pour trouver la moyenne géométrique de plus de 2 nombres, utilisez également la règle de base. Pour ce faire, trouvez le produit de tous les nombres dont vous devez trouver la moyenne géométrique. À partir du produit résultant, extrayez la racine du degré égal au nombre de nombres. Disons que pour trouver la moyenne géométrique des nombres 2, 4 et 64, trouvez leur produit. 2 4 64=512. Du fait qu'il faut trouver le total de la moyenne géométrique de 3 nombres, cela extrait la racine du troisième degré du produit. Il est difficile de le faire verbalement, alors utilisez une calculatrice technique. Pour ce faire, il dispose d'un bouton « x^y ». Composez le numéro 512, appuyez sur la touche « x^y », puis composez le chiffre 3 et appuyez sur la touche « 1/x », pour trouver la valeur 1/3, appuyez sur la touche « = ». On obtient le résultat en élevant 512 à la puissance 1/3, ce qui correspond à la racine du troisième degré. Obtenez 512^1/3=8. C'est la moyenne géométrique des nombres 2,4 et 64.
4. Avec le support d'une calculatrice d'ingénierie, il est possible de détecter la moyenne géométrique en utilisant une méthode différente. Trouvez le bouton de journal sur le clavier. Après cela, prenez le logarithme de tous les nombres, trouvez leur somme et divisez-la par le nombre de nombres. À partir du nombre résultant, prenez l'antilogarithme. Ce sera la moyenne géométrique des nombres. Disons que pour trouver la moyenne géométrique des mêmes nombres 2, 4 et 64, effectuez un ensemble d'opérations sur la calculatrice. Composez le numéro 2, puis appuyez sur le bouton log, appuyez sur le bouton « + », composez le numéro 4 et appuyez à nouveau sur log et « + », composez le 64, appuyez sur log et « = ». Le résultat sera un nombre égal à la somme logarithmes décimaux des nombres 2, 4 et 64. Divisez le nombre résultant par 3, du fait que c'est le nombre de nombres par lequel la moyenne géométrique est recherchée. À partir du total, prenez l'antilogarithme en basculant le bouton d'enregistrement et utilisez la même clé de journal. Le résultat sera le nombre 8, c'est la moyenne géométrique souhaitée.
Note!
La valeur moyenne ne peut pas être supérieure au plus grand nombre de l'ensemble et inférieure au plus petit.
Conseil utile
En statistique mathématique, la valeur moyenne d'une quantité est appelée l'espérance mathématique.
Surtout en éq. En pratique, il faut utiliser la moyenne arithmétique, qui peut être calculée comme la moyenne arithmétique simple et pondérée.
Moyenne arithmétique (CA)-n le type de support le plus courant. Il est utilisé dans les cas où le volume d'un attribut variable pour l'ensemble de la population est la somme des valeurs des attributs de ses unités individuelles. Les phénomènes sociaux sont caractérisés par l'additivité (sommation) des volumes de l'attribut variable, cela détermine la portée du SA et explique sa prévalence comme indicateur généralisant, par exemple : le fonds général des salaires est la somme des salaires de tous les salariés.
Pour calculer SA, vous devez diviser la somme de toutes les valeurs de caractéristiques par leur nombre. SA est utilisé sous 2 formes.
Considérons d'abord la moyenne arithmétique simple.
1-CA simple (initiale, forme de définition) est égal à la simple somme des valeurs individuelles de la caractéristique moyennée, divisée par nombre total ces valeurs (utilisées lorsqu'il existe des valeurs d'index non groupées d'une caractéristique) :
Les calculs effectués peuvent être résumés dans la formule suivante :
(1)
Où 
- la valeur moyenne de l'attribut variable, c'est-à-dire la moyenne arithmétique simple ;
désigne la sommation, c'est-à-dire l'addition de caractéristiques individuelles ;
X- les valeurs individuelles d'un attribut variable, appelées variantes ;
n - nombre d'unités de population
Exemple 1, il est nécessaire de trouver la production moyenne d'un ouvrier (serrurier), si l'on sait combien de pièces chacun des 15 ouvriers a produites, c'est-à-dire étant donné un certain nombre d'ind. valeurs de trait, pièces : 21 ; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
SA simple est calculé par la formule (1), pcs. :
Exemple2. Calculons SA sur la base de données conditionnelles pour 20 magasins faisant partie d'une société commerciale (tableau 1). Tableau 1
Répartition des magasins de la société commerciale "Vesna" par zone commerciale, m². M
|
numéro de magasin |
numéro de magasin | ||
Pour calculer la superficie moyenne des magasins ( 
) il faut additionner les surfaces de tous les magasins et diviser le résultat par le nombre de magasins :
Ainsi, la surface commerciale moyenne de ce groupe d'entreprises commerciales est de 71 m².
Par conséquent, afin de déterminer la SA est simple, il est nécessaire de diviser la somme de toutes les valeurs d'un attribut donné par le nombre d'unités qui ont cet attribut.
2
Où F 1
,
F 2
,
… ,F n
–
poids (fréquence de répétition des mêmes caractéristiques); est la somme des produits de l'amplitude des caractéristiques et de leurs fréquences ; est le nombre total d'unités de population.
(2)
Où X- option ;
F- fréquence (poids).
SA pondéré est le quotient de la division de la somme des produits des variantes et de leurs fréquences correspondantes par la somme de toutes les fréquences. Fréquences ( F) apparaissant dans la formule SA sont généralement appelés Balance, en conséquence de quoi la SA calculée en tenant compte des poids est appelée SA pondérée.
Nous allons illustrer la technique de calcul de SA pondérée à l'aide de l'exemple 1 considéré ci-dessus.Pour ce faire, nous regroupons les données initiales et les plaçons dans le tableau.
La moyenne des données groupées est déterminée comme suit : d'abord, les variantes sont multipliées par les fréquences, puis les produits sont additionnés et la somme résultante est divisée par la somme des fréquences.
Selon la formule (2), le SA pondéré est, pcs. : 
P
Répartition des magasins Vesna par surface commerciale, m² m
Ainsi, le résultat est le même. Cependant, ce sera déjà la moyenne pondérée arithmétique.
Dans l'exemple précédent, nous avons calculé la moyenne arithmétique, à condition que les fréquences absolues (nombre de magasins) soient connues. Cependant, dans certains cas, les fréquences absolues sont absentes et sont connues fréquences relatives, ou, comme on les appelle habituellement, fréquences qui montrent la proportion ou la proportion de fréquences dans l'ensemble de la population.
Lors du calcul de l'utilisation pondérée SA fréquences vous permet de simplifier les calculs lorsque la fréquence est exprimée en grands nombres à plusieurs chiffres. Le calcul est effectué de la même manière, cependant, puisque la valeur moyenne est augmentée de 100 fois, le résultat doit être divisé par 100.
Ensuite, la formule de la moyenne pondérée arithmétique ressemblera à :
Où d- fréquence, c'est à dire. la part de chaque fréquence dans la somme totale de toutes les fréquences.
(3)Dans notre exemple, 2 est d'abord défini gravité spécifique magasins par groupes dans le nombre total de magasins de l'entreprise "Vesna". Ainsi, pour le premier groupe, la gravité spécifique correspond à 10% 
. On obtient les données suivantes Tableau 3
Lors de divers calculs et travaux avec des données, il est souvent nécessaire de calculer leur valeur moyenne. Il est calculé en additionnant des nombres et en divisant montant total pour leur nombre. Découvrons comment calculer la moyenne d'un ensemble de nombres à l'aide de Microsoft Excel de différentes manières.
Le plus simple et manière connue pour trouver la moyenne arithmétique d'un ensemble de nombres, il faut utiliser un bouton spécial sur le ruban Microsoft Excel. Nous sélectionnons une plage de nombres situés dans une colonne ou une ligne d'un document. Étant dans l'onglet "Accueil", cliquez sur le bouton "Somme automatique", qui se trouve sur le ruban dans le bloc d'outils "Édition". Sélectionnez "Moyenne" dans la liste déroulante.
Après cela, en utilisant la fonction "MOYENNE", le calcul est effectué. Dans la cellule sous la colonne sélectionnée, ou à droite de la ligne sélectionnée, la moyenne arithmétique de l'ensemble de nombres donné est affichée.
Cette méthode est bonne pour la simplicité et la commodité. Mais, il a aussi des inconvénients importants. En utilisant cette méthode, vous pouvez calculer la valeur moyenne uniquement des nombres disposés sur une ligne dans une colonne ou sur une ligne. Mais, avec un tableau de cellules ou avec des cellules dispersées sur une feuille, vous ne pouvez pas utiliser cette méthode.
Par exemple, si vous sélectionnez deux colonnes et calculez la moyenne arithmétique à l'aide de la méthode ci-dessus, la réponse sera donnée pour chaque colonne séparément, et non pour l'ensemble du tableau de cellules.
Calcul avec l'assistant de fonction
Dans les cas où vous devez calculer la moyenne arithmétique d'un tableau de cellules ou de cellules dispersées, vous pouvez utiliser l'assistant de fonction. Il utilise toujours la même fonction MOYENNE que nous connaissons de la première méthode de calcul, mais il le fait d'une manière légèrement différente.
Nous cliquons sur la cellule où nous voulons afficher le résultat du calcul de la valeur moyenne. Cliquez sur le bouton "Insérer une fonction", qui se trouve à gauche de la barre de formule. Ou, nous tapons la combinaison Maj + F3 sur le clavier.
L'assistant de fonction démarre. Dans la liste des fonctions présentées, nous recherchons "MOYENNE". Sélectionnez-le et cliquez sur le bouton "OK".
La fenêtre des arguments de cette fonction s'ouvre. Les arguments de la fonction sont saisis dans les champs "Numéro". Il peut s'agir à la fois de numéros ordinaires et d'adresses cellulaires où se trouvent ces numéros. S'il n'est pas pratique pour vous de saisir manuellement les adresses de cellules, vous devez cliquer sur le bouton situé à droite du champ de saisie des données.
Après cela, la fenêtre des arguments de la fonction se réduira et vous pourrez sélectionner le groupe de cellules sur la feuille que vous prenez pour le calcul. Ensuite, cliquez à nouveau sur le bouton à gauche du champ de saisie des données pour revenir à la fenêtre des arguments de la fonction.
Si vous souhaitez calculer la moyenne arithmétique entre les nombres dans des groupes de cellules disparates, suivez les mêmes étapes que celles mentionnées ci-dessus dans le champ "Numéro 2". Et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les groupes de cellules souhaités soient sélectionnés.
Après cela, cliquez sur le bouton "OK".
Le résultat du calcul de la moyenne arithmétique sera mis en surbrillance dans la cellule que vous avez sélectionnée avant de démarrer l'assistant de fonction.
Barre de formule
Il existe une troisième manière d'exécuter la fonction "MOYENNE". Pour cela, rendez-vous dans l'onglet Formules. Sélectionnez la cellule dans laquelle le résultat sera affiché. Après cela, dans le groupe d'outils "Bibliothèque de fonctions" sur le ruban, cliquez sur le bouton "Autres fonctions". Une liste apparaît dans laquelle vous devez parcourir séquentiellement les éléments "Statistique" et "MOYENNE".
Ensuite, exactement la même fenêtre d'arguments de fonction est lancée, comme lors de l'utilisation de l'assistant de fonction, le travail dans lequel nous avons décrit en détail ci-dessus.
Les étapes suivantes sont exactement les mêmes.
Saisie manuelle des fonctions
Mais n'oubliez pas que vous pouvez toujours entrer manuellement la fonction "MOYENNE" si vous le souhaitez. Il aura le modèle suivant : "=AVERAGE(cell_range_address(number); cell_range_address(number)).
Bien sûr, cette méthode n'est pas aussi pratique que les précédentes, et nécessite de garder certaines formules dans la tête de l'utilisateur, mais elle est plus souple.
Calcul de la valeur moyenne par condition
En plus du calcul habituel de la valeur moyenne, il est possible de calculer la valeur moyenne par condition. Dans ce cas, seuls les nombres de la plage sélectionnée qui remplissent une certaine condition seront pris en compte. Par exemple, si ces nombres sont supérieurs ou inférieurs à une valeur spécifique.
À ces fins, la fonction AVERAGEIF est utilisée. Comme la fonction MOYENNE, vous pouvez l'exécuter via l'assistant de fonction, à partir de la barre de formule ou en la saisissant manuellement dans une cellule. Une fois la fenêtre des arguments de la fonction ouverte, vous devez entrer ses paramètres. Dans le champ "Plage", entrez la plage de cellules dont les valeurs seront utilisées pour déterminer la moyenne arithmétique. Nous procédons de la même manière qu'avec la fonction MOYENNE.
Et ici, dans le champ "Condition", nous devons spécifier une valeur spécifique, des nombres supérieurs ou inférieurs à ceux qui seront impliqués dans le calcul. Cela peut être fait en utilisant des signes de comparaison. Par exemple, nous avons pris l'expression ">=15000". Autrement dit, seules les cellules de la plage contenant des nombres supérieurs ou égaux à 15 000 seront prises en compte pour le calcul.Si nécessaire, au lieu d'un nombre spécifique, vous pouvez spécifier l'adresse de la cellule dans laquelle se trouve le nombre correspondant.
Le champ "Plage de moyenne" est facultatif. La saisie de données n'est requise que lors de l'utilisation de cellules contenant du texte.
Lorsque toutes les données sont saisies, cliquez sur le bouton "OK".
Après cela, le résultat du calcul de la moyenne arithmétique pour la plage sélectionnée est affiché dans la cellule présélectionnée, à l'exception des cellules dont les données ne remplissent pas les conditions.
Comme vous pouvez le voir, Microsoft Excel a toute la ligne outils qui peuvent être utilisés pour calculer la valeur moyenne d'une série de nombres sélectionnés. De plus, il existe une fonction qui sélectionne automatiquement les numéros d'une plage qui ne répondent pas à des critères définis par l'utilisateur. Cela rend les calculs dans Microsoft Excel encore plus conviviaux.
valeur moyenne- il s'agit d'un indicateur généralisant qui caractérise une population qualitativement homogène selon un certain attribut quantitatif. Par exemple, âge moyen personnes condamnées pour vol.
Dans les statistiques judiciaires, les moyennes sont utilisées pour caractériser :
Délais moyens d'examen des affaires de cette catégorie ;
Réclamation de taille moyenne ;
Le nombre moyen d'accusés par affaire ;
Montant moyen des dommages ;
Charge de travail moyenne des juges, etc.
La valeur moyenne est toujours nommée et a la même dimension que l'attribut d'une unité distincte de la population. Chaque valeur moyenne caractérise la population étudiée selon un attribut variable quelconque, donc, derrière toute moyenne, il y a une série de distribution d'unités de cette population selon l'attribut étudié. Le choix du type de moyenne est déterminé par le contenu de l'indicateur et les données initiales pour le calcul de la moyenne.
Tous les types valeurs moyennes utilisées dans les études statistiques se divisent en deux catégories :
1) moyennes de puissance ;
2) moyennes structurelles.
La première catégorie de moyennes comprend : moyenne arithmétique, moyenne harmonique, moyenne géométrique Et racine carrée moyenne . La deuxième catégorie est mode Et médian. De plus, chacun des types de moyennes de puissance répertoriés peut avoir deux formes : simple Et pondéré . forme simple la valeur moyenne permet d'obtenir la valeur moyenne du trait étudié lorsque le calcul est effectué sur des données statistiques non groupées, ou lorsque chaque variant dans la population n'apparaît qu'une seule fois. Les moyennes pondérées sont appelées valeurs qui tiennent compte du fait que les options pour les valeurs d'une caractéristique peuvent avoir des nombres différents, et donc chaque option doit être multipliée par la fréquence correspondante. En d'autres termes, chaque option est "pesée" par sa fréquence. La fréquence est appelée poids statistique.
moyenne arithmétique simple- le type de support le plus courant. Il est égal à la somme des valeurs caractéristiques individuelles divisée par le nombre total de ces valeurs :
Où x 1 ,x 2 , … ,x N- valeurs individuelles de l'attribut variable (options) et N - le nombre d'unités de population.
Moyenne pondérée arithmétique utilisé lorsque les données sont présentées sous forme de séries de distribution ou de regroupements. Il est calculé comme la somme des produits des options et de leurs fréquences correspondantes, divisée par la somme des fréquences de toutes les options :
Où x je- signification je-ièmes variantes de la fonctionnalité ; Fi- fréquence jeème options.
Ainsi, chaque valeur de variante est pondérée par sa fréquence, c'est pourquoi les fréquences sont parfois appelées poids statistiques.
Commentaire. Quand nous parlonsà propos de la moyenne arithmétique sans préciser son type, on entend la moyenne arithmétique simple.
Tableau 12
Solution. Pour le calcul, nous utilisons la formule de la moyenne pondérée arithmétique :
Ainsi, en moyenne, il y a deux prévenus par affaire pénale.
Si le calcul de la valeur moyenne est effectué sur des données regroupées sous la forme série d'intervalles distribution, alors vous devez d'abord déterminer les valeurs médianes de chaque intervalle x "i, puis calculer la valeur moyenne à l'aide de la formule moyenne arithmétique pondérée, dans laquelle x" i est remplacé par x i.
Exemple. Les données sur l'âge des criminels reconnus coupables de vol sont présentées dans le tableau :
Tableau 13
Déterminer l'âge moyen des criminels reconnus coupables de vol.
Solution. Afin de déterminer l'âge moyen des criminels en fonction de la série de variation d'intervalle, vous devez d'abord trouver les valeurs médianes des intervalles. Comme on nous donne une série d'intervalles avec ouvrir d'abord et les derniers intervalles, alors les valeurs de ces intervalles sont prises égales aux valeurs des intervalles fermés adjacents. Dans notre cas, la valeur du premier et du dernier intervalle est 10.
Maintenant, nous trouvons l'âge moyen des criminels en utilisant la formule moyenne arithmétique pondérée :
Ainsi, l'âge moyen des contrevenants reconnus coupables de vol est d'environ 27 ans.
Moyenne harmonique simple est l'inverse de la moyenne arithmétique des valeurs réciproques de la caractéristique :
où 1/ x je sont les inverses des options, et N est le nombre d'unités de population.
Exemple. Afin de déterminer la charge de travail annuelle moyenne des juges d'un tribunal de district lors de l'examen d'affaires pénales, une enquête a été menée sur la charge de travail de 5 juges de ce tribunal. Le temps moyen passé sur une affaire pénale pour chacun des juges interrogés s'est avéré être égal (en jours) : 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Trouvez les coûts moyens pour un affaire pénale et la charge de travail annuelle moyenne des juges de ce tribunal de district lors de l'examen d'affaires pénales.
Solution. Pour déterminer le temps moyen passé sur une affaire pénale, nous utilisons la formule simple harmonique :
Pour simplifier les calculs dans l'exemple, prenons le nombre de jours dans une année égal à 365, y compris les week-ends (cela n'affecte pas la méthode de calcul, et lors du calcul d'un indicateur similaire dans la pratique, il est nécessaire de substituer le nombre de jours de travail jours d'une année donnée au lieu de 365 jours). Ensuite, la charge de travail annuelle moyenne des juges de ce tribunal de district lors de l'examen des affaires pénales sera de : 365 (jours) : 5,56 ≈ 65,6 (affaires).
Si nous utilisions la formule de la moyenne arithmétique simple pour déterminer le temps moyen consacré à une affaire pénale, nous obtiendrions :
365 (jours) : 5,64 ≈ 64,7 (cas), soit la charge de travail moyenne des juges était moindre.
Vérifions la validité de cette approche. Pour ce faire, nous utilisons des données sur le temps passé sur une affaire pénale pour chaque juge et calculons le nombre d'affaires pénales examinées par chacun d'eux par an.
Nous obtenons en conséquence:
365(jours) : 6 ≈ 61 (cas), 365(jours) : 5,6 ≈ 65,2 (cas), 365(jours) : 6,3 ≈ 58 (cas),
365(jours) : 4,9 ≈ 74,5 (cas), 365(jours) : 5,4 ≈ 68 (cas).
Nous calculons maintenant la charge de travail annuelle moyenne des juges de ce tribunal de district lors de l'examen des affaires pénales :
Ceux. la charge annuelle moyenne est la même que lors de l'utilisation de la moyenne harmonique.
Ainsi, l'utilisation de la moyenne arithmétique dans ce cas est illégale.
Dans les cas où les variantes d'une caractéristique sont connues, leurs valeurs volumétriques (le produit des variantes par la fréquence), mais les fréquences elles-mêmes sont inconnues, la formule moyenne pondérée harmonique est appliquée :
,
Où x je sont les valeurs des options de trait, et w i sont les valeurs volumétriques des options ( w je = X je F je).
Exemple. Les données sur le prix d'une unité du même type de biens produits par diverses institutions du système pénitentiaire et sur le volume de sa mise en œuvre sont présentées dans le tableau 14.
Tableau 14
Trouver le prix de vente moyen du produit.
Solution. Lors du calcul du prix moyen, nous devons utiliser le rapport entre le montant vendu et le nombre d'unités vendues. Nous ne connaissons pas le nombre d'unités vendues, mais nous connaissons le montant des ventes de biens. Par conséquent, pour trouver le prix moyen des biens vendus, nous utilisons la formule moyenne pondérée harmonique. On a
Si vous utilisez ici la formule de la moyenne arithmétique, vous pouvez obtenir un prix moyen qui sera irréaliste :
Moyenne géométrique est calculé en extrayant la racine du degré N du produit de toutes les valeurs des options de fonctionnalité :
,
Où x 1 ,x 2 , … ,x N- valeurs individuelles du trait variable (options), et
N- nombre d'unités de population.
Ce type de moyenne est utilisé pour calculer les taux de croissance moyens des séries chronologiques.
racine carrée moyenne utilisé pour calculer la moyenne écart-type, qui est un indicateur de variation, et sera discuté ci-dessous.
Pour déterminer la structure de la population, des moyennes spéciales sont utilisées, qui comprennent médian Et mode , ou les moyennes dites structurelles. Si la moyenne arithmétique est calculée sur la base de l'utilisation de toutes les variantes des valeurs d'attribut, la médiane et le mode caractérisent la valeur de la variante qui occupe une certaine position moyenne dans la série classée (ordonnée). Le classement des unités de la population statistique peut être effectué dans l'ordre croissant ou décroissant des variants du trait étudié.
Médiane (Moi) est la valeur qui correspond à la variante au milieu de la série classée. Ainsi, la médiane est cette variante de la série classée, des deux côtés de laquelle dans cette série il devrait y avoir nombre égal unités agrégées.
Pour trouver la médiane, vous devez d'abord déterminer son numéro de série dans la série classée à l'aide de la formule :
où N est le volume de la série (le nombre d'unités de population).
Si la série est composée d'un nombre impair de membres, alors la médiane est égale à la variante avec le nombre N Me . Si la série se compose d'un nombre pair de membres, la médiane est définie comme la moyenne arithmétique de deux options adjacentes situées au milieu.
Exemple. Soit une série classée 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Le volume de la série est N = 9, ce qui signifie N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Par conséquent, Me = 6, soit . cinquième choix. Si une ligne est donnée 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, c'est-à-dire série à nombre pair de membres (N = 8), alors N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. La médiane est donc égale à la moitié de la somme des quatrième et cinquième options, c'est-à-dire Moi = (9 + 11) / 2 = 10.
Dans une série à variation discrète, la médiane est déterminée par les fréquences cumulées. Les fréquences des variantes, en commençant par la première, sont additionnées jusqu'à ce que le nombre médian soit dépassé. La valeur des dernières options additionnées sera la médiane.
Exemple. Trouvez le nombre médian d'accusés par affaire pénale à l'aide des données du tableau 12.
Solution. Dans ce cas, le volume de la série de variation est N = 154, donc N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. En additionnant les fréquences des première et deuxième options, nous obtenons : 75 + 43 = 118, c'est-à-dire nous avons dépassé le nombre médian. Donc Moi = 2.
Dans la série de variation d'intervalle de la distribution, indiquez d'abord l'intervalle dans lequel se situera la médiane. Il est appelé médian . Il s'agit du premier intervalle dont la fréquence cumulée dépasse la moitié du volume de la série de variation d'intervalle. Alors valeur numérique la médiane est déterminée par la formule :
Où x Moi - ligne de fond intervalle médian ; i - la valeur de l'intervalle médian ; S-moi-1- la fréquence cumulée de l'intervalle qui précède la médiane ; f Moi- fréquence de l'intervalle médian.
Exemple. Trouvez l'âge médian des contrevenants reconnus coupables de vol, d'après les statistiques présentées au tableau 13.
Solution. Les données statistiques sont représentées par une série de variation d'intervalle, ce qui signifie que nous déterminons d'abord l'intervalle médian. Le volume de la population N = 162, donc, l'intervalle médian est l'intervalle 18-28, car c'est le premier intervalle dont la fréquence cumulée (15 + 90 = 105) dépasse la moitié du volume (162 : 2 = 81) de la série de variation d'intervalle. Maintenant, la valeur numérique de la médiane est déterminée par la formule ci-dessus :
Ainsi, la moitié des personnes condamnées pour vol ont moins de 25 ans.
Mode (lundi) nommer la valeur de l'attribut, qui se trouve le plus souvent dans les unités de la population. La mode est utilisée pour identifier la valeur du trait qui a la plus grande distribution. Pour une série discrète, le mode sera la variante avec la fréquence la plus élevée. Par exemple, pour une série discrète présentée dans le tableau 3 mois= 1, puisque cette valeur des options correspond à la fréquence la plus élevée - 75. Pour déterminer le mode de la série d'intervalles, déterminez d'abord modal intervalle (intervalle ayant la fréquence la plus élevée). Ensuite, dans cet intervalle, la valeur de la caractéristique est trouvée, qui peut être un mode.
Sa valeur se trouve par la formule :
Où x mois- la borne inférieure de l'intervalle modal ; i - la valeur de l'intervalle modal ; f Mo- fréquence de l'intervalle modal ; f Mo-1- fréquence de l'intervalle précédant le modal ; f Mo+1- fréquence de l'intervalle suivant le modal.
Exemple. Trouvez le mode d'âge des criminels condamnés pour vol, dont les données sont présentées dans le tableau 13.
Solution. La fréquence la plus élevée correspond à l'intervalle 18-28, par conséquent, le mode doit être dans cet intervalle. Sa valeur est déterminée par la formule ci-dessus :
Ainsi, le plus grand nombre contrevenants reconnus coupables de vol est âgé de 24 ans.
La valeur moyenne donne une caractéristique généralisante de la totalité du phénomène étudié. Cependant, deux populations avec les mêmes valeurs moyennes peuvent différer significativement l'une de l'autre en termes de degré de fluctuation (variation) de la valeur du trait étudié. Par exemple, dans un tribunal, les peines d'emprisonnement suivantes ont été attribuées : 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 ans, et dans un autre - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 ans. Dans les deux cas, la moyenne arithmétique est de 6,7 ans. Cependant, ces agrégats diffèrent significativement les uns des autres dans la répartition des valeurs individuelles de la peine d'emprisonnement attribuée par rapport à la valeur moyenne.
Et pour le premier tribunal, où cet écart est assez important, la durée moyenne d'emprisonnement ne reflète pas bien l'ensemble de la population. Ainsi, si les valeurs individuelles de l'attribut diffèrent peu les unes des autres, alors la moyenne arithmétique sera une caractéristique assez indicative des propriétés de cette population. Sinon, la moyenne arithmétique sera une caractéristique peu fiable de cette population et son application en pratique est inefficace. Par conséquent, il est nécessaire de prendre en compte la variation des valeurs du trait étudié.
Variation- ce sont des différences dans les valeurs d'une caractéristique dans différentes unités d'une population donnée au cours de la même période ou à un moment donné. Le terme "variation" est d'origine latine - variatio, qui signifie différence, changement, fluctuation. Cela résulte du fait que les valeurs individuelles de l'attribut sont formées sous l'influence combinée de divers facteurs (conditions), qui sont combinés de différentes manières dans chaque cas individuel. Pour mesurer la variation d'un trait, divers indicateurs absolus et relatifs sont utilisés.
Les principaux indicateurs de variation sont les suivants :
1) plage de variation ;
2) écart linéaire moyen ;
3) dispersion ;
4) écart type ;
5) coefficient de variation.
Arrêtons-nous brièvement sur chacun d'eux.
Variation de portée R est l'indicateur absolu le plus accessible en termes de facilité de calcul, qui se définit comme la différence entre les valeurs les plus grandes et les plus petites de l'attribut pour les unités de cette population :
Plage de variation (plage de fluctuations) - indicateur important fluctuations du signe, mais il ne permet de voir que des déviations extrêmes, ce qui limite le champ de son application. Pour une caractérisation plus précise de la variation d'un trait en fonction de sa fluctuation, d'autres indicateurs sont utilisés.
Déviation linéaire moyenne représente la moyenne arithmétique des valeurs absolues des écarts des valeurs individuelles du trait par rapport à la moyenne et est déterminée par les formules :
1) Pour données non groupées
2) Pour série de variantes
Cependant, la mesure de variation la plus largement utilisée est dispersion . Il caractérise la mesure de l'étalement des valeurs du trait étudié par rapport à sa valeur moyenne. La variance est définie comme la moyenne des écarts au carré.
écart simple pour les données non groupées :
.
Écart pondéré pour la série de variations :
Commentaire. En pratique, il est préférable d'utiliser les formules suivantes pour calculer la variance :
Pour un simple écart
.
Pour la variance pondérée
Écart-type est la racine carrée de la variance :
L'écart type est une mesure de la fiabilité de la moyenne. Plus l'écart-type est petit, plus la population est homogène et mieux la moyenne arithmétique reflète l'ensemble de la population.
Les mesures de dispersion considérées ci-dessus (gamme de variation, variance, écart-type) sont des indicateurs absolus, par lesquels il n'est pas toujours possible de juger du degré de fluctuation d'un trait. Dans certains problèmes, il est nécessaire d'utiliser des indices de diffusion relative, dont l'un est le coefficient de variation.
Le coefficient de variation- exprimé en pourcentage du rapport de l'écart type à la moyenne arithmétique :
Le coefficient de variation est utilisé non seulement pour évaluation comparative variations de traits différents ou du même trait dans différentes populations, mais aussi pour caractériser l'homogénéité de la population. La population statistique est considérée comme quantitativement homogène si le coefficient de variation ne dépasse pas 33 % (pour des distributions proches de la distribution normale).
Exemple. Il existe les données suivantes sur les peines d'emprisonnement de 50 condamnés remis pour purger la peine imposée par le tribunal dans un établissement correctionnel du système pénitentiaire: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.
1. Construire une série de distribution par durées d'emprisonnement.
2. Trouvez la moyenne, la variance et l'écart type.
3. Calculez le coefficient de variation et tirez une conclusion sur l'homogénéité ou l'hétérogénéité de la population étudiée.
Solution. Pour construire une série de distribution discrète, il est nécessaire de déterminer les variantes et les fréquences. La variante de ce problème est la durée d'emprisonnement, et la fréquence est le nombre de variantes individuelles. Après avoir calculé les fréquences, nous obtenons la série de distribution discrète suivante :
Trouvez la moyenne et la variance. Puisque les données statistiques sont représentées par une série variationnelle discrète, nous utiliserons les formules de la moyenne pondérée arithmétique et de la variance pour les calculer. On a:
= 
= 4,1;
= 
5,21.
Calculons maintenant l'écart type :
On trouve le coefficient de variation :
Par conséquent, la population statistique est quantitativement hétérogène.
Les valeurs moyennes sont largement utilisées dans les statistiques. Les valeurs moyennes caractérisent les indicateurs qualitatifs de l'activité commerciale : coûts de distribution, profit, rentabilité, etc.
Moyen C'est l'une des généralisations les plus courantes. Une compréhension correcte de l'essence de la moyenne détermine sa signification particulière dans une économie de marché, lorsque la moyenne, à travers une seule et aléatoire, permet d'identifier le général et nécessaire, d'identifier la tendance des modèles de développement économique.
valeur moyenne - ce sont des indicateurs généralisants dans lesquels ils trouvent l'expression de l'action conditions générales, régularités du phénomène étudié.
Les moyennes statistiques sont calculées sur la base des données de masse de l'observation de masse correctement organisée statistiquement (continue et sélective). Cependant, la moyenne statistique sera objective et typique si elle est calculée à partir de données de masse pour une population qualitativement homogène (phénomènes de masse). Par exemple, si on calcule les salaires moyens dans les coopératives et les entreprises publiques, et qu'on étend le résultat à l'ensemble de la population, alors la moyenne est fictive, puisqu'elle est calculée pour une population hétérogène, et une telle moyenne perd tout sens.
Avec l'aide de la moyenne, il y a, pour ainsi dire, un lissage des différences dans l'ampleur de la caractéristique qui surgissent pour une raison ou une autre dans les unités d'observation individuelles.
Par exemple, le rendement moyen d'un vendeur dépend de nombreux facteurs : qualifications, ancienneté, âge, forme de service, état de santé, etc.
La production moyenne reflète la propriété générale de l'ensemble de la population.
La valeur moyenne est le reflet des valeurs du trait étudié, elle est donc mesurée dans la même dimension que ce trait.
Chaque valeur moyenne caractérise la population étudiée selon un attribut quelconque. Afin d'obtenir une image complète et globale de la population étudiée en fonction d'un certain nombre de caractéristiques essentielles, il est généralement nécessaire de disposer d'un système de valeurs moyennes pouvant décrire le phénomène sous différents angles.
Il existe différentes moyennes :
moyenne arithmétique;
Moyenne géométrique;
harmonique moyenne ;
racine carrée moyenne ;
moyenne chronologique.
Considérez certains types de moyennes les plus couramment utilisées dans les statistiques.
Moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique simple (non pondérée) est égale à la somme des valeurs individuelles de la caractéristique, divisée par le nombre de ces valeurs.
Les valeurs individuelles de l'attribut sont appelées variantes et sont notées x (); le nombre d'unités de population est désigné par n, la valeur moyenne de la caractéristique - par 
. La moyenne arithmétique simple est donc :
Selon les données de la série de distribution discrète, on peut voir que les mêmes valeurs de l'attribut (options) sont répétées plusieurs fois. Ainsi, la variante x se produit dans l'ensemble 2 fois, et la variante x - 16 fois, etc.
Le nombre de valeurs de caractéristiques identiques dans la série de distribution est appelé la fréquence ou le poids et est désigné par le symbole n.
Calculer le salaire moyen par travailleur 
en roubles :
Fonds salaires pour chaque groupe de travailleurs est égal au produit des options et de la fréquence, et la somme de ces produits donne le fonds salarial total de tous les travailleurs.
Conformément à cela, les calculs peuvent être présentés sous une forme générale:
La formule résultante est appelée la moyenne arithmétique pondérée.
Le matériel statistique résultant du traitement peut être présenté non seulement sous la forme de séries de distribution discrètes, mais également sous la forme de séries de variation d'intervalle avec des intervalles fermés ou ouverts.
Le calcul de la moyenne des données groupées s'effectue selon la formule moyenne arithmétique pondérée :
Dans la pratique des statistiques économiques, il est parfois nécessaire de calculer la moyenne par des moyennes de groupe ou par des moyennes de parties individuelles de la population (moyennes partielles). Dans de tels cas, des moyennes de groupe ou partielles sont prises comme options (x), sur la base desquelles la moyenne totale est calculée comme la moyenne pondérée arithmétique habituelle.
Propriétés de base de la moyenne arithmétique .
La moyenne arithmétique a plusieurs propriétés :
1. À partir d'une diminution ou d'une augmentation des fréquences de chaque valeur de l'attribut x de n fois, la valeur de la moyenne arithmétique ne changera pas.
Si toutes les fréquences sont divisées ou multipliées par un certain nombre, la valeur de la moyenne ne changera pas.
2. Le multiplicateur total des valeurs individuelles de l'attribut peut être extrait du signe de la moyenne :
3. La somme moyenne (différence) de deux quantités ou plus est égale à la somme (différence) de leurs moyennes :
4. Si x \u003d c, où c est une valeur constante, alors 
.
5. La somme des écarts des valeurs de la caractéristique X par rapport à la moyenne arithmétique x est égale à zéro :
Harmonique moyenne.
Outre la moyenne arithmétique, les statistiques utilisent la moyenne harmonique, l'inverse de la moyenne arithmétique des valeurs réciproques de l'attribut. Comme la moyenne arithmétique, elle peut être simple et pondérée.
Outre les moyennes, les caractéristiques des séries de variation sont le mode et la médiane.
Mode - c'est la valeur du trait (variant), le plus fréquemment répété dans la population étudiée. Pour les séries de distribution discrètes, le mode sera la valeur de la variante avec la fréquence la plus élevée.
Pour les séries de distribution d'intervalles avec des intervalles égaux, le mode est déterminé par la formule :
Où 
- valeur initiale de l'intervalle contenant le mode ;
- la valeur de l'intervalle modal ;
- fréquence de l'intervalle modal ;
- fréquence de l'intervalle précédant le modal ;
- fréquence de l'intervalle suivant le modal.
Médian est la variante située au milieu de la rangée de variantes. Si la série de distribution est discrète et a un nombre impair de membres, alors la médiane sera la variante située au milieu de la série ordonnée (une série ordonnée est l'arrangement des unités de population en ordre croissant ou décroissant).