Y \u003d f (x) et si à ce stade une tangente peut être tracée au graphique de la fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des x, alors la pente de la tangente est f "(a). Nous l'avons déjà utilisé plusieurs fois Par exemple, au § 33, il a été établi que le graphique de la fonction y \u003d sin x (sinusoïde) à l'origine forme un angle de 45 ° avec l'axe des abscisses (plus précisément, la tangente au graphique au l'origine fait un angle de 45° avec la direction positive de l'axe des x), et dans l'exemple 5 points du § 33 ont été trouvés sur l'horaire donné les fonctions, dans laquelle la tangente est parallèle à l'axe des x. Dans l'exemple 2 § 33, une équation a été établie pour la tangente au graphique de la fonction y \u003d x 2 au point x \u003d 1 (plus précisément, au point (1; 1), mais le plus souvent uniquement le la valeur de l'abscisse est indiquée, en supposant que si la valeur de l'abscisse est connue, alors la valeur de l'ordonnée peut être trouvée à partir de l'équation y = f(x)). Dans cette section, nous allons développer un algorithme pour compiler l'équation de la tangente au graphe de n'importe quelle fonction.

Soit la fonction y \u003d f (x) et le point M (a; f (a)) étant donnés, et on sait aussi que f "(a) existe. Composons l'équation de la tangente au graphe de la fonction donnée dans point donné. Cette équation, comme l'équation de toute droite non parallèle à l'axe y, a la forme y = kx + m, donc le problème est de trouver les valeurs des coefficients k et m.

Il n'y a pas de problème avec la pente k: nous savons que k \u003d f "(a). Pour calculer la valeur de m, nous utilisons le fait que la ligne souhaitée passe par le point M (a; f (a)). Cela signifie que si nous substituons les points de coordonnées M dans l'équation d'une ligne droite, nous obtenons l'égalité correcte: f (a) \u003d ka + m, d'où nous trouvons que m \u003d f (a) - ka.
Il reste à substituer les valeurs trouvées des coefficients de baleine dans l'équation droit:

Nous avons obtenu l'équation de la tangente au graphique de la fonction y \u003d f (x) au point x \u003d a.
Si, disons,
En remplaçant dans l'équation (1) les valeurs trouvées a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, on obtient: y \u003d 1 + 2 (x-f), c'est-à-dire y \u003d 2x -1.
Comparez ce résultat avec celui obtenu dans l'exemple 2 du § 33. Naturellement, la même chose s'est produite.
Composons l'équation de la tangente au graphique de la fonction y \u003d tg x à l'origine. Nous avons: donc cos x f "(0) = 1. En remplaçant les valeurs trouvées a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 dans l'équation (1), on obtient: y \u003d x .
C'est pourquoi nous avons tracé la tangentoïde au § 15 (voir Fig. 62) passant par l'origine des coordonnées sous un angle de 45° par rapport à l'axe des abscisses.
Résoudre ces problèmes suffit exemples simples, nous avons en fait utilisé un certain algorithme, qui est intégré dans la formule (1). Rendons cet algorithme explicite.

ALGORITHME POUR COMPOSER L'ÉQUATION DE LA FONCTION TANGENTE AU GRAPHIQUE y \u003d f (x)

1) Désigner l'abscisse du point de contact par la lettre a.
2) Calculez 1 (a).
3) Trouvez f "(x) et calculez f" (a).
4) Remplacez les nombres trouvés a, f(a), (a) dans la formule (1).

Exemple 1Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction au point x = 1.
Utilisons l'algorithme, en tenant compte du fait que dans cet exemple

Sur la fig. 126 montre une hyperbole, une droite y \u003d 2x est construite.
Le dessin confirme les calculs ci-dessus: en effet, la ligne y \u003d 2-x touche l'hyperbole au point (1; 1).

Répondre: y \u003d 2-x.
Exemple 2 Dessinez une tangente au graphique de la fonction afin qu'elle soit parallèle à la droite y \u003d 4x - 5.
Affinons la formulation du problème. L'exigence de "dessiner une tangente" signifie généralement "faire une équation pour une tangente". C'est logique, car si une personne était capable d'établir une équation pour une tangente, il est peu probable qu'elle ait du mal à s'appuyer sur avion coordonné droite selon son équation.
Utilisons l'algorithme de compilation de l'équation tangente, considérant que dans cet exemple, Mais, contrairement à l'exemple précédent, il y a là ambiguïté : l'abscisse du point tangent n'est pas indiquée explicitement.
Commençons à parler comme ça. La tangente souhaitée doit être parallèle à la droite y \u003d 4x-5. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs pentes sont égales. Cela signifie que la pente de la tangente doit être égale à la pente de la droite donnée : Ainsi, nous pouvons trouver la valeur de a à partir de l'équation f "(a) \u003d 4.
Nous avons:
D'après l'équation So, il existe deux tangentes qui satisfont aux conditions du problème : l'une au point d'abscisse 2, l'autre au point d'abscisse -2.
Maintenant, vous pouvez agir selon l'algorithme.

Exemple 3 A partir du point (0; 1) tracer une tangente au graphe de la fonction
Utilisons l'algorithme de compilation de l'équation de la tangente, étant donné que dans cet exemple Notons qu'ici, comme dans l'exemple 2, l'abscisse du point tangent n'est pas indiquée explicitement. Néanmoins, nous agissons selon l'algorithme.

Par condition, la tangente passe par le point (0 ; 1). En substituant dans l'équation (2) les valeurs x = 0, y = 1, on obtient :
Comme vous pouvez le voir, dans cet exemple, ce n'est qu'à la quatrième étape de l'algorithme que nous avons réussi à trouver l'abscisse du point de contact. En remplaçant la valeur a \u003d 4 dans l'équation (2), on obtient:

Sur la fig. 127 montre une illustration géométrique de l'exemple considéré : un graphe de la fonction

Au § 32, nous avons noté que pour une fonction y = f(x), qui a une dérivée en un point fixe x, l'égalité approchée vaut :

Pour faciliter le raisonnement, nous modifions la notation: au lieu de x, nous écrirons a, à la place, nous écrirons x, et en conséquence, nous écrirons x-a à la place. Alors l'égalité approchée écrite ci-dessus prendra la forme :

Jetez maintenant un œil à la fig. 128. Une tangente est dessinée au graphique de la fonction y \u003d f (x) au point M (a; f (a)). Point marqué x sur l'axe des x près de a. Il est clair que f(x) est l'ordonnée du graphe de la fonction au point spécifié x. Et que vaut f (a) + f "(a) (x-a)? C'est l'ordonnée de la tangente correspondant au même point x - voir formule (1). Quel est le sens de l'égalité approchée (3)? Que de calculer la valeur approchée de la fonction, on prend la valeur de l'ordonnée tangente.

Exemple 4 Trouver la valeur approximative de l'expression numérique 1,02 7 .
Il s'agit deà propos de la recherche de la valeur de la fonction y \u003d x 7 au point x \u003d 1,02. Nous utilisons la formule (3), en tenant compte du fait que dans cet exemple
En conséquence, nous obtenons :

Si nous utilisons une calculatrice, nous obtenons : 1,02 7 = 1,148685667...
Comme vous pouvez le voir, la précision de l'approximation est tout à fait acceptable.
Répondre: 1,02 7 =1,14.

A. G. Algèbre de Mordkovich 10e année

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Soit une fonction f donnée, qui à un certain point x 0 a une dérivée finie f (x 0). Alors la droite passant par le point (x 0; f (x 0)), qui a une pente f '(x 0), est appelée une tangente.

Mais que se passe-t-il si la dérivée au point x 0 n'existe pas ? Il y a deux options :

1. La tangente au graphe n'existe pas non plus. Exemple classique- fonction y = |x | au point (0; 0).
2. La tangente devient verticale. C'est le cas, par exemple, pour la fonction y = arcsin x au point (1; π /2).

Équation tangente

Toute droite non verticale est donnée par une équation de la forme y = kx + b, où k est la pente. La tangente ne fait pas exception, et pour composer son équation en un point x 0, il suffit de connaître la valeur de la fonction et la dérivée en ce point.

Donc, donnons une fonction y \u003d f (x), qui a une dérivée y \u003d f '(x) sur le segment. Alors en tout point x 0 ∈ (a; b) une tangente peut être tracée au graphe de cette fonction, qui est donnée par l'équation :

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Ici f ’(x 0) est la valeur de la dérivée au point x 0, et f (x 0) est la valeur de la fonction elle-même.

Tâche. Soit une fonction y = x 3 . Écrivez une équation pour la tangente au graphique de cette fonction au point x 0 = 2.

Équation tangente: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Le point x 0 = 2 nous est donné, mais les valeurs f (x 0) et f '(x 0) devront être calculées.

Trouvons d'abord la valeur de la fonction. Tout est facile ici : f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8 ;
Trouvons maintenant la dérivée: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Remplacez dans la dérivée x 0 = 2 : f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12 ;
On obtient donc : y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
C'est l'équation tangente.

Tâche. Composez l'équation de la tangente au graphique de la fonction f (x) \u003d 2sin x + 5 au point x 0 \u003d π / 2.

Cette fois, nous ne décrirons pas en détail chaque action - nous indiquerons uniquement les étapes clés. Nous avons:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Équation tangente :

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Dans ce dernier cas, la ligne s'est avérée horizontale, car sa pente k = 0. Il n'y a rien de mal à cela - nous sommes juste tombés sur un point extrême.

L'équation de la tangente au graphe de la fonction

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Région de Tcheliabinsk

L'équation de la tangente au graphe de la fonction

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Sur stade actuel développement de l'éducation comme l'une de ses tâches principales est la formation d'une personnalité pensant de manière créative. La capacité de créativité des étudiants ne peut être développée que s'ils sont systématiquement impliqués dans les bases des activités de recherche. La base pour que les étudiants utilisent leurs forces créatives, leurs capacités et leurs talents est formée de connaissances et de compétences à part entière. À cet égard, le problème de la formation d'un système de connaissances et de compétences de base pour chaque sujet du cours de mathématiques à l'école n'est pas sans importance. Dans le même temps, les compétences à part entière devraient être l'objectif didactique non pas des tâches individuelles, mais de leur système soigneusement pensé. Au sens le plus large, un système est compris comme un ensemble d'éléments interdépendants qui ont une intégrité et une structure stable.

Envisagez une méthodologie pour enseigner aux élèves comment établir une équation d'une tangente à un graphique de fonction. Essentiellement, toutes les tâches de recherche de l'équation tangente sont réduites à la nécessité de sélectionner dans l'ensemble (faisceau, famille) de lignes celles qui satisfont à une certaine exigence - elles sont tangentes au graphique d'une certaine fonction. Dans ce cas, l'ensemble des lignes à partir desquelles la sélection est effectuée peut être spécifié de deux manières :

a) un point situé sur le plan xOy (crayon central de droites) ;
b) coefficient angulaire (faisceau de lignes parallèles).

A cet égard, lors de l'étude du sujet "Tangente au graphe d'une fonction" afin d'isoler les éléments du système, nous avons identifié deux types de tâches :

1) tâches sur une tangente donnée par un point par lequel elle passe ;
2) tâches sur une tangente donnée par sa pente.

L'apprentissage de la résolution de problèmes sur une tangente a été réalisé à l'aide de l'algorithme proposé par A.G. Mordkovitch. Son différence fondamentale du déjà connu réside dans le fait que l'abscisse du point tangent est désignée par la lettre a (au lieu de x0), en relation avec laquelle l'équation de la tangente prend la forme

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(comparer avec y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Cette technique méthodologique, à notre avis, permet aux étudiants de se rendre compte rapidement et facilement où les coordonnées du point actuel sont écrites dans l'équation générale de la tangente, et où sont les points de contact.

Algorithme pour compiler l'équation de la tangente au graphe de la fonction y = f(x)

1. Désigner par la lettre a l'abscisse du point de contact.
2. Trouver f(a).
3. Trouvez f "(x) et f "(a).
4. Remplacez les nombres trouvés a, f (a), f "(a) dans l'équation générale de la tangente y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Cet algorithme peut être compilé sur la base de la sélection indépendante des opérations par les élèves et de la séquence de leur exécution.

La pratique a montré que la solution cohérente de chacune des tâches clés à l'aide de l'algorithme vous permet de former la capacité d'écrire l'équation de la tangente au graphique de la fonction par étapes, et les étapes de l'algorithme servent de points forts pour les actions . Cette approche correspond à la théorie de la formation progressive des actions mentales développée par P.Ya. Galperin et N.F. Talyzina.

Dans le premier type de tâches, deux tâches clés ont été identifiées :

• la tangente passe par un point situé sur la courbe (problème 1) ;
• la tangente passe par un point non situé sur la courbe (problème 2).

Tâche 1. Équation de la tangente au graphique de la fonction au point M(3; – 2).

Solution. Le point M(3; – 2) est le point de contact, puisque

1. a = 3 - abscisse du point de contact.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 est l'équation tangente.

Tâche 2. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y = - x 2 - 4x + 2, passant par le point M(- 3; 6).

Solution. Le point M(– 3; 6) n'est pas un point tangent, puisque f(– 3) 6 (fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - équation tangente.

La tangente passe par le point M(– 3; 6), par conséquent, ses coordonnées satisfont l'équation de la tangente.

6 = – une 2 – 4a + 2 – 2(une + 2)(– 3 – une),
un 2 + 6a + 8 = 0^ un 1 = - 4, un 2 = - 2.

Si a = – 4, alors l'équation tangente est y = 4x + 18.

Si a \u003d - 2, alors l'équation tangente a la forme y \u003d 6.

Dans le second type, les tâches clés seront les suivantes :

• la tangente est parallèle à une droite (problème 3) ;
• la tangente passe à un certain angle par rapport à la ligne donnée (problème 4).

Tâche 3. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, parallèle à la ligne y \u003d 9x + 1.

Solution.

1. a - abscisse du point de contact.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Mais, d'autre part, f "(a) \u003d 9 (condition de parallélisme). Nous devons donc résoudre l'équation 3a 2 - 6a \u003d 9. Ses racines a \u003d - 1, a \u003d 3 (Fig 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9 ;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 est l'équation tangente ;

1) un = 3 ;
2) f(3) = 3 ;
3) f "(3) = 9 ;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 est l'équation tangente.

Tâche 4. Écrivez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = 0,5x 2 - 3x + 1, en passant sous un angle de 45 ° par rapport à la droite y = 0 (Fig. 4).

Solution. A partir de la condition f "(a) \u003d tg 45 ° on trouve a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - abscisse du point de contact.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - l'équation de la tangente.

Il est facile de montrer que la solution de tout autre problème se réduit à la solution d'un ou plusieurs problèmes clés. Considérons les deux problèmes suivants à titre d'exemple.

1. Écrivez les équations des tangentes à la parabole y = 2x 2 - 5x - 2, si les tangentes se coupent à angle droit et que l'une d'elles touche la parabole au point d'abscisse 3 (Fig. 5).

Solution. L'abscisse du point de contact étant donnée, la première partie de la solution se réduit au problème clé 1.

1. a \u003d 3 - l'abscisse du point de contact de l'un des côtés de l'angle droit.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - l'équation de la première tangente.

Laissez un est l'angle d'inclinaison de la première tangente. Puisque les tangentes sont perpendiculaires, alors est l'angle d'inclinaison de la deuxième tangente. De l'équation y = 7x – 20 de la première tangente nous avons tg a = 7. Trouver

Cela signifie que la pente de la deuxième tangente est .

La solution supplémentaire est réduite à la tâche clé 3.

Soit B(c; f(c)) le point tangent de la seconde droite, alors

1. - abscisse du deuxième point de contact.
2.
3.
4.
est l'équation de la deuxième tangente.

Note. Le coefficient angulaire de la tangente peut être trouvé plus facilement si les élèves connaissent le rapport des coefficients des droites perpendiculaires k 1 k 2 = - 1.

2. Écrivez les équations de toutes les tangentes communes aux graphiques de fonctions

Solution. La tâche est réduite à trouver les abscisses des points de contact des tangentes communes, c'est-à-dire à résoudre le problème clé 1 sous une forme générale, à compiler un système d'équations puis à le résoudre (Fig. 6).

1. Soit a l'abscisse du point de contact situé sur le graphique de la fonction y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d une 2 + une + 1 + (2a + 1) (x - une) \u003d (2a + 1) x + 1 - une 2.

1. Soit c l'abscisse du point tangent situé sur le graphe de la fonction
2.
3. f "(c) = c.
4.

Les tangentes étant communes, alors

Donc y = x + 1 et y = - 3x - 3 sont des tangentes communes.

L'objectif principal des tâches envisagées est de préparer les élèves à l'auto-reconnaissance du type de tâche clé lors de la résolution de tâches plus complexes nécessitant certaines compétences de recherche (capacité d'analyse, de comparaison, de généralisation, d'hypothèse, etc.). Ces tâches incluent toute tâche dans laquelle la tâche clé est incluse en tant que composant. Considérons à titre d'exemple le problème (inverse du problème 1) de trouver une fonction à partir de la famille de ses tangentes.

3. Pour quoi b et c sont les lignes y \u003d x et y \u003d - 2x tangentes au graphique de la fonction y \u003d x 2 + bx + c ?

Solution.

Soit t l'abscisse du point de contact de la droite y = x avec la parabole y = x 2 + bx + c ; p est l'abscisse du point de contact de la droite y = - 2x avec la parabole y = x 2 + bx + c. Alors l'équation tangente y = x prendra la forme y = (2t + b)x + c - t 2 , et l'équation tangente y = - 2x prendra la forme y = (2p + b)x + c - p 2 .

Composer et résoudre un système d'équations

Répondre:

Tâches pour une solution indépendante

1. Écrivez les équations des tangentes tracées au graphique de la fonction y = 2x 2 - 4x + 3 aux points d'intersection du graphique avec la ligne y = x + 3.

Réponse : y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9,5.

2. Pour quelles valeurs de a la tangente tracée au graphique de la fonction y \u003d x 2 - ax au point du graphique avec l'abscisse x 0 \u003d 1 passe-t-elle par le point M (2; 3) ?

Réponse : a = 0,5.

3. Pour quelles valeurs de p la ligne y = px - 5 touche-t-elle la courbe y = 3x 2 - 4x - 2 ?

Réponse : p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Trouver tous les points communs du graphe de la fonction y = 3x - x 3 et la tangente tracée à ce graphe passant par le point P(0; 16).

Réponse : A(2 ; - 2), B(- 4 ; 52).

5. Trouvez la distance la plus courte entre la parabole y = x 2 + 6x + 10 et la droite

Répondre:

6. Sur la courbe y \u003d x 2 - x + 1, trouvez le point auquel la tangente au graphique est parallèle à la ligne y - 3x + 1 \u003d 0.

Réponse : M(2 ; 3).

7. Écrivez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = x 2 + 2x - | 4x | qui le touche en deux points. Faites un dessin.

Réponse : y = 2x - 4.

8. Démontrer que la droite y = 2x – 1 ne coupe pas la courbe y = x 4 + 3x 2 + 2x. Trouver la distance entre leurs points les plus proches.

Répondre:

9. Sur la parabole y \u003d x 2, on prend deux points avec les abscisses x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Une sécante est tracée à travers ces points. En quel point de la parabole la tangente à celle-ci sera-t-elle parallèle à la sécante dessinée ? Écris les équations de la sécante et de la tangente.

Réponse: y \u003d 4x - 3 - équation sécante; y = 4x – 4 est l'équation tangente.

10. Trouvez l'angle q entre les tangentes au graphique de la fonction y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, tracée aux points d'abscisse 0 et 1.

Réponse : q = 45°.

11. En quels points la tangente à la fonction graphique forme-t-elle un angle de 135° avec l'axe Ox ?

Réponse : A(0 ; - 1), B(4 ; 3).

12. Au point A(1; 8) de la courbe une tangente est tracée. Trouvez la longueur du segment tangent compris entre les axes de coordonnées.

Répondre:

13. Écrivez l'équation de toutes les tangentes communes aux graphiques des fonctions y \u003d x 2 - x + 1 et y \u003d 2x 2 - x + 0,5.

Réponse : y = - 3x et y = x.

14. Trouvez la distance entre les tangentes au graphique de la fonction parallèle à l'axe des x.

Répondre:

15. Déterminez à quels angles la parabole y \u003d x 2 + 2x - 8 coupe l'axe des x.

Réponse : q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. Sur le graphique de la fonction trouver tous les points dont la tangente à chacun de ce graphique coupe les demi-axes positifs de coordonnées, en coupant des segments égaux.

Réponse : A(-3 ; 11).

17. La droite y = 2x + 7 et la parabole y = x 2 – 1 se coupent aux points M et N. Trouvez le point d'intersection K des droites tangentes à la parabole aux points M et N.

Réponse : K(1 ; - 9).

18. Pour quelles valeurs de b la ligne y \u003d 9x + b est-elle tangente au graphique de la fonction y \u003d x 3 - 3x + 15 ?

Réponse 1; 31.

19. Pour quelles valeurs de k la droite y = kx – 10 n'a-t-elle qu'un seul point commun avec le graphique de la fonction y = 2x 2 + 3x – 2 ? Pour les valeurs trouvées de k, déterminez les coordonnées du point.

Réponse : k 1 = - 5, A(- 2 ; 0) ; k 2 = 11, B(2; 12).

20. Pour quelles valeurs de b la tangente tracée au graphique de la fonction y = bx 3 – 2x 2 – 4 au point d'abscisse x 0 = 2 passe-t-elle par le point M(1 ; 8) ?

Réponse : b = - 3.

21. Une parabole avec un sommet sur l'axe des x est tangente à une droite passant par les points A(1; 2) et B(2; 4) au point B. Trouvez l'équation de la parabole.

Répondre:

22. À quelle valeur du coefficient k la parabole y \u003d x 2 + kx + 1 touche-t-elle l'axe Ox ?

Réponse : k = q 2.

23. Trouvez les angles entre la ligne y = x + 2 et la courbe y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Trouvez la distance entre les tangentes au graphique des générateurs de fonctions avec la direction positive de l'axe Ox à un angle de 45 °.

Répondre:

30. Trouvez le lieu des sommets de toutes les paraboles de la forme y = x 2 + ax + b touchant la ligne y = 4x - 1.

Réponse : droite y = 4x + 3.

Littérature

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algèbre et débuts de l'analyse : 3 600 problèmes pour les écoliers et les candidats à l'université. - M., Outarde, 1999.
2. Mordkovich A. Le quatrième séminaire pour les jeunes enseignants. Le sujet est "Applications dérivées". - M., "Mathématiques", n° 21/94.
3. Formation de connaissances et de compétences basées sur la théorie de l'assimilation progressive des actions mentales. / Éd. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Université d'État de Moscou, 1968.

Type d'emploi : 7

Condition

La droite y=3x+2 est tangente au graphe de la fonction y=-12x^2+bx-10. Trouver b , étant donné que l'abscisse du point de contact moins que zéro.

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Solution

Soit x_0 l'abscisse du point sur le graphe de la fonction y=-12x^2+bx-10 par lequel passe la tangente à ce graphe.

La valeur de la dérivée au point x_0 est égale à la pente de la tangente, soit y"(x_0)=-24x_0+b=3. Par contre, le point tangent appartient à la fois au graphe de la fonction et au tangente, soit -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. On obtient un système d'équations \begin(cas) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cas)

En résolvant ce système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1 soit x_0=1. Selon la condition de l'abscisse, les points de contact sont inférieurs à zéro, donc x_0=-1, puis b=3+24x_0=-21.

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Type d'emploi : 7
Sujet : La signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphe de fonction

Condition

La droite y=-3x+4 est parallèle à la tangente au graphe de la fonction y=-x^2+5x-7. Trouver l'abscisse du point de contact.

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Solution

La pente de la droite vers le graphique de la fonction y=-x^2+5x-7 en un point arbitraire x_0 est y"(x_0). Mais y"=-2x+5, donc y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Angulaire le coefficient de la ligne y=-3x+4 spécifié dans la condition est -3.Les lignes parallèles ont les mêmes pentes.Par conséquent, nous trouvons une valeur x_0 telle que =-2x_0 +5=-3.

On obtient : x_0 = 4.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. niveau profil. Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : La signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphe de fonction

Condition

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Solution

À partir de la figure, nous déterminons que la tangente passe par les points A(-6 ; 2) et B(-1 ; 1). Notons C(-6; 1) le point d'intersection des droites x=-6 et y=1, et par \alpha l'angle ABC (on voit sur la figure qu'il est pointu). Alors la droite AB forme un angle obtus \pi -\alpha avec la direction positive de l'axe Ox.

Comme vous le savez, tg(\pi -\alpha) sera la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x_0. remarquerez que tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. A partir de là, par les formules de réduction, on obtient : tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. niveau profil. Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : La signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphe de fonction

Condition

La droite y=-2x-4 est tangente au graphe de la fonction y=16x^2+bx+12. Trouvez b , étant donné que l'abscisse du point de contact est supérieure à zéro.

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Solution

Soit x_0 l'abscisse du point sur le graphique de la fonction y=16x^2+bx+12 par laquelle

est tangente à ce graphe.

La valeur de la dérivée au point x_0 est égale à la pente de la tangente, soit y "(x_0)=32x_0+b=-2. Par contre, le point tangent appartient à la fois au graphe de la fonction et la tangente, soit 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 On obtient un système d'équations \begin(cas) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cas)

En résolvant le système, nous obtenons x_0^2=1, ce qui signifie soit x_0=-1 soit x_0=1. Selon la condition de l'abscisse, les points de contact sont supérieurs à zéro, donc x_0=1, alors b=-2-32x_0=-34.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. niveau profil. Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : La signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphe de fonction

Condition

La figure montre un graphique de la fonction y=f(x) définie sur l'intervalle (-2; 8). Déterminer le nombre de points où la tangente au graphique de la fonction est parallèle à la droite y=6.

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Solution

La droite y=6 est parallèle à l'axe Ox. Par conséquent, nous trouvons de tels points où la tangente au graphe de la fonction est parallèle à l'axe Ox. Sur ce graphique, ces points sont des points extrêmes (points maximum ou minimum). Comme vous pouvez le voir, il y a 4 points extrêmes.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. niveau profil. Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : La signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphe de fonction

Condition

La droite y=4x-6 est parallèle à la tangente au graphe de la fonction y=x^2-4x+9. Trouver l'abscisse du point de contact.

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Solution

La pente de la tangente au graphique de la fonction y \u003d x ^ 2-4x + 9 en un point arbitraire x_0 est y "(x_0). Mais y" \u003d 2x-4, ce qui signifie y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. La pente de la tangente y \u003d 4x-7 spécifiée dans la condition est égale à 4. Les lignes parallèles ont les mêmes pentes. Par conséquent, nous trouvons une valeur x_0 telle que 2x_0-4 \u003d 4. Nous obtenons : x_0 \u003d 4.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. niveau profil. Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : La signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphe de fonction

Condition

La figure montre le graphique de la fonction y=f(x) et sa tangente au point d'abscisse x_0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x_0.

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Solution

À partir de la figure, nous déterminons que la tangente passe par les points A(1 ; 1) et B(5 ; 4). Notons C(5; 1) le point d'intersection des droites x=5 et y=1, et par \alpha l'angle BAC (on voit sur la figure qu'il est aigu). Alors la droite AB forme un angle \alpha avec la direction positive de l'axe Ox.

Instruction

On détermine la pente de la tangente à la courbe au point M.
La courbe représentant le graphique de la fonction y = f(x) est continue dans un certain voisinage du point M (y compris le point M lui-même).

Si la valeur f'(x0) n'existe pas, soit il n'y a pas de tangente, soit elle passe verticalement. De ce fait, la présence de la dérivée de la fonction au point x0 est due à l'existence d'une tangente non verticale qui est en contact avec le graphe de la fonction au point (x0, f(x0)). Dans ce cas, la pente de la tangente sera égale à f "(x0). Ainsi, il devient clair sens géométrique dérivée - calcul de la pente de la tangente.

Trouver la valeur de l'abscisse du point de contact, qui est désignée par la lettre "a". S'il coïncide avec le point tangent donné, alors "a" sera sa coordonnée x. Déterminer la valeur les fonctions f(a), en remplaçant dans l'équation les fonctions la taille de l'abscisse.

Déterminer la dérivée première de l'équation les fonctions f'(x) et y substituer la valeur du point "a".

Prenez l'équation générale de la tangente, qui est définie comme y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a), et substituez les valeurs trouvées de a, f (a), f "(a) dedans. En conséquence, la solution du graphique sera trouvée et tangente.

Résolvez le problème d'une manière différente si le point tangent donné ne coïncidait pas avec le point tangent. Dans ce cas, il est nécessaire de substituer "a" au lieu de nombres dans l'équation tangente. Après cela, au lieu des lettres "x" et "y", substituez la valeur des coordonnées du point donné. Résolvez l'équation résultante dans laquelle "a" est l'inconnue. Mettez la valeur résultante dans l'équation tangente.

Écrivez une équation pour une tangente avec la lettre "a", si l'équation est donnée dans la condition du problème les fonctions et l'équation d'une droite parallèle par rapport à la tangente désirée. Après cela, vous avez besoin d'un dérivé les fonctionsà la coordonnée au point "a". Branchez la valeur appropriée dans l'équation tangente et résolvez la fonction.