Il peut être écrit sous forme paramétrique à l'aide de fonctions hyperboliques (ce qui explique leur nom).
Notons y= b·sht, alors x2 / a2=1+sh2t =ch2t. Où x=± a·cht .
Nous arrivons ainsi aux équations d’hyperbole paramétriques suivantes :
У= dans ·sht , –< t < . (6)
Riz. 1.
Le signe "+" dans la formule supérieure (6) correspond à la branche droite de l'hyperbole, et le signe "" – "" à celle de gauche (voir Fig. 1). Les sommets de l'hyperbole A(– a; 0) et B(a; 0) correspondent à la valeur du paramètre t=0.
A titre de comparaison, nous pouvons donner des équations paramétriques de l'ellipse en utilisant fonctions trigonométriques:
X=un·coût ,
Y=в·sint , 0 t 2p . (7)
3. Évidemment, la fonction y=chx est paire et ne prend que des valeurs positives. La fonction y=shx est étrange, car :
Les fonctions y=thx et y=cthx sont impaires en tant que quotients de pair et fonction impaire. Notez que contrairement aux fonctions trigonométriques, les fonctions hyperboliques ne sont pas périodiques.
4.
Etudions le comportement de la fonction y= cthx au voisinage du point de discontinuité x=0 : 
Ainsi, l'axe Oy est l'asymptote verticale du graphique de la fonction y=cthx. Définissons les asymptotes obliques (horizontales) :
Par conséquent, la droite y=1 est l’asymptote horizontale droite du graphique de la fonction y=cthx. En raison de l’étrangeté de cette fonction, son asymptote horizontale gauche est la droite y = –1. Il est facile de montrer que ces droites sont simultanément des asymptotes pour la fonction y=thx. Les fonctions shx et chx n'ont pas d'asymptote.
2) (chx)"=shx (illustré de la même manière).
4) 
Il existe également une certaine analogie avec les fonctions trigonométriques. Un tableau complet des dérivées de toutes les fonctions hyperboliques est donné dans la section IV.
, page 611 Fonctions de base d'une variable complexe
Rappelons la définition d'un exposant complexe – . Alors
Extension de la série Maclaurin. Le rayon de convergence de cette série est +∞, ce qui signifie que l'exponentielle complexe est analytique sur tout le plan complexe et
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
La première égalité découle ici, par exemple, du théorème sur la différenciation terme à terme d'une série entière.
11.1 Fonctions trigonométriques et hyperboliques
Sinus d'une variable complexe fonction appelée
Cosinus d'une variable complexe il y a une fonction
Sinus hyperbolique d'une variable complexe est défini ainsi :
Cosinus hyperbolique d'une variable complexe-- c'est une fonction
Notons quelques propriétés des fonctions nouvellement introduites.
UN. Si x∈ ℝ, alors cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.
B. Le lien suivant existe entre les fonctions trigonométriques et hyperboliques :
cos iz=chz; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz = isin z.
B. Identités trigonométriques et hyperboliques de base:
cos 2 z+sin 2 z=1; ml 2 z-sh 2 z=1.
Preuve de l'identité hyperbolique principale.
L'identité trigonométrique principale découle de l'identité hyperbolique principale en tenant compte du lien entre les fonctions trigonométriques et hyperboliques (voir propriété B)
g Formules d'addition:
En particulier,
D. Pour calculer les dérivées des fonctions trigonométriques et hyperboliques, il faut appliquer le théorème de la différenciation terme par terme d'une série de puissances. On a:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.
E. Les fonctions cos z, ch z sont paires et les fonctions sin z, sin z sont impaires.
J. (Fréquence) La fonction e z est périodique de période 2π i. Les fonctions cos z, sin z sont périodiques de période 2π, et les fonctions ch z, sin z sont périodiques de période 2πi. De plus,
En appliquant les formules de somme, on obtient
Z. Expansion en parties réelles et imaginaires:
Si une fonction analytique à valeur unique f(z) mappe bijectivement un domaine D sur un domaine G, alors D est appelé un domaine univalent.
ET. Région D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Preuve. De la relation (5), il s'ensuit que l'application exp:D k → ℂ est injective. Soit w n'importe quel nombre complexe non nul. Ensuite, en résolvant les équations e x =|w| et e iy =w/|w| avec des variables réelles x et y (y est choisi dans le demi-intervalle) ; parfois introduit en considération... ... Dictionnaire encyclopédique F. Brockhaus et I.A. Éfron
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Fonctions inverses à hyperboliques. les fonctions; exprimé par des formules... Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique
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Livres
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