Introduction
Lorsque nous avons commencé à étudier les figures stéréométriques, nous avons abordé le sujet "Pyramide". Nous avons aimé ce thème car la pyramide est très souvent utilisée en architecture. Et depuis notre futur métier architecte, inspirée par cette figure, nous pensons qu'elle saura nous pousser vers de grands projets.
La force des structures architecturales, leur qualité la plus importante. En associant la résistance, d'une part, aux matériaux à partir desquels elles sont créées, et, d'autre part, aux caractéristiques des solutions de conception, il s'avère que la résistance d'une structure est directement liée à la forme géométrique qui lui est fondamentale.
Autrement dit, nous parlons sur cette figure géométrique, qui peut être considérée comme un modèle de la figure correspondante forme architecturale. Il se trouve que Forme géométrique détermine également la force de la structure architecturale.
Les pyramides égyptiennes ont longtemps été considérées comme la structure architecturale la plus durable. Comme vous le savez, ils ont la forme de pyramides quadrangulaires régulières.
C'est cette forme géométrique qui offre la plus grande stabilité en raison de la grande surface de base. D'autre part, la forme de la pyramide fait en sorte que la masse diminue à mesure que la hauteur au-dessus du sol augmente. Ce sont ces deux propriétés qui rendent la pyramide stable, et donc résistante aux conditions de gravité.
Objectif du projet: apprendre quelque chose de nouveau sur les pyramides, approfondir ses connaissances et trouver des applications pratiques.
Pour atteindre cet objectif, il a fallu résoudre les tâches suivantes :
Apprenez des informations historiques sur la pyramide
Considérez la pyramide comme une figure géométrique
Trouver une application dans la vie et l'architecture
Trouvez les similitudes et les différences entre les pyramides situées dans Différents composants Sveta
Information historique
Le début de la géométrie de la pyramide a été posé dans l'Égypte ancienne et à Babylone, mais il a été activement développé dans La Grèce ancienne. Le premier à établir à quoi correspond le volume de la pyramide fut Démocrite, et Eudoxe de Cnide l'a prouvé. L'ancien mathématicien grec Euclide a systématisé les connaissances sur la pyramide dans le XIIe volume de ses "Débuts", et a également fait ressortir la première définition de la pyramide : une figure corporelle délimitée par des plans qui convergent d'un plan en un point.
Les tombeaux des pharaons égyptiens. Le plus grand d'entre eux - les pyramides de Cheops, Khafre et Mikerin à El Gizeh dans les temps anciens étaient considérés comme l'une des sept merveilles du monde. L'érection de la pyramide, dans laquelle les Grecs et les Romains voyaient déjà un monument à la fierté sans précédent des rois et à la cruauté, qui condamnait tout le peuple égyptien à une construction insensée, était l'acte de culte le plus important et était censé exprimer, apparemment, l'identité mystique du pays et de son dirigeant. La population du pays a travaillé à la construction de la tombe dans la partie de l'année libre de travaux agricoles. De nombreux textes témoignent de l'attention et du soin que les rois eux-mêmes (quoique plus tardifs) ont portés à la construction de leur tombeau et de ses bâtisseurs. On connaît également les honneurs de culte spéciaux qui se sont avérés être la pyramide elle-même.
Concepts de base
Pyramide Un polyèdre est appelé, dont la base est un polygone, et les faces restantes sont des triangles ayant un sommet commun.
Apothème- la hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière, tirée de son sommet ;
Faces latérales- triangles convergeant vers le haut ;
Côtes latérales- côtés communs des faces latérales ;
sommet de la pyramide- un point reliant les bords latéraux et non situé dans le plan de la base ;
Hauteur- un segment d'une perpendiculaire passant par le sommet de la pyramide jusqu'au plan de sa base (les extrémités de ce segment sont le sommet de la pyramide et la base de la perpendiculaire) ;
Section diagonale d'une pyramide- section de la pyramide passant par le sommet et la diagonale de la base ;
Base- un polygone qui n'appartient pas au sommet de la pyramide.
Les principales propriétés de la bonne pyramide
Les bords latéraux, les faces latérales et les apothèmes sont respectivement égaux.
Les angles dièdres à la base sont égaux.
Les angles dièdres aux bords latéraux sont égaux.
Chaque point de hauteur est équidistant de tous les sommets de base.
Chaque point de hauteur est équidistant de toutes les faces latérales.
Formules pyramidales de base
La zone de la surface latérale et complète de la pyramide.
L'aire de la surface latérale de la pyramide (pleine et tronquée) est la somme des aires de toutes ses faces latérales, la surface totale est la somme des aires de toutes ses faces.
Théorème : L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème de la pyramide.
p- périmètre de la base ;
h- apothème.
L'aire des surfaces latérales et pleines d'une pyramide tronquée.
p1, p 2 - périmètres de base ;
h- apothème.
R- surface totale d'une pyramide tronquée régulière ;
Côté S- aire de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière;
S1 + S2- surface de base
Volume pyramidal
Former L'échelle de volume est utilisée pour les pyramides de toutes sortes.
H est la hauteur de la pyramide.
Angles de la pyramide
Les angles formés par la face latérale et la base de la pyramide sont appelés angles dièdres à la base de la pyramide.
Un angle dièdre est formé de deux perpendiculaires.
Pour déterminer cet angle, il faut souvent utiliser le théorème des trois perpendiculaires.
Les angles formés par un bord latéral et sa projection sur le plan de la base sont appelés angles entre le bord latéral et le plan de la base.
L'angle formé par deux faces latérales est appelé angle dièdre au bord latéral de la pyramide.
L'angle, qui est formé par deux arêtes latérales d'une face de la pyramide, est appelé coin au sommet de la pyramide.
Sections de la pyramide
La surface d'une pyramide est la surface d'un polyèdre. Chacune de ses faces est un plan, donc la section de la pyramide donnée par le plan sécant est une ligne brisée constituée de droites séparées.
Section diagonale
La section d'une pyramide par un plan passant par deux arêtes latérales qui ne se trouvent pas sur la même face est appelée section diagonale pyramides.
Tronçons parallèles
Théorème:
Si la pyramide est traversée par un plan parallèle à la base, alors les arêtes latérales et les hauteurs de la pyramide sont divisées par ce plan en parties proportionnelles ;
La section de ce plan est un polygone semblable à la base ;
Les aires de la section et de la base sont liées l'une à l'autre comme les carrés de leurs distances au sommet.
Types de pyramide
Pyramide correcte- une pyramide dont la base est un polygone régulier, et le sommet de la pyramide est projeté au centre de la base.
A la bonne pyramide :
1. les côtes latérales sont égales
2. les faces latérales sont égales
3. les apothèmes sont égaux
4. les angles dièdres à la base sont égaux
5. les angles dièdres aux bords latéraux sont égaux
6. chaque point de hauteur est équidistant de tous les sommets de base
7. chaque point de hauteur est équidistant de toutes les faces latérales
Pyramide tronquée- la partie de la pyramide enserrée entre sa base et un plan de coupe parallèle à la base.
La base et la section correspondante d'une pyramide tronquée sont appelées bases d'une pyramide tronquée.
Une perpendiculaire tirée d'un point quelconque d'une base au plan d'une autre est appelée la hauteur de la pyramide tronquée.
Tâches
N° 1. Dans une pyramide quadrangulaire régulière, le point O est le centre de la base, SO = 8 cm, BD = 30 cm Trouver l'arête latérale SA.
Résolution de problème
N° 1. Dans une pyramide régulière, toutes les faces et arêtes sont égales.
Considérons OSB: rectangle OSB-rectangulaire, parce que.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Pyramide en architecture
Pyramide - une structure monumentale sous la forme d'une pyramide géométrique régulière ordinaire, dans laquelle les côtés convergent en un point. Par but fonctionnel les pyramides des temps anciens étaient des lieux de sépulture ou de culte. La base d'une pyramide peut être triangulaire, quadrangulaire ou polygonale avec un nombre arbitraire de sommets, mais la version la plus courante est la base quadrangulaire.
Un nombre considérable de pyramides construites par différentes cultures sont connues. ancien monde principalement comme temples ou monuments. Les plus grandes pyramides sont les pyramides égyptiennes.
Partout sur la terre peut être vu structures architecturales sous forme de pyramides. Les bâtiments pyramidaux rappellent les temps anciens et sont très beaux.
Les pyramides égyptiennes sont les plus grands monuments architecturaux l'Egypte ancienne, parmi lesquelles l'une des « sept merveilles du monde » est la pyramide de Khéops. Du pied au sommet, il atteint 137,3 m, et avant de perdre le sommet, sa hauteur était de 146,7 m.
Le bâtiment de la station de radio de la capitale slovaque, ressemblant à une pyramide inversée, a été construit en 1983. Outre les bureaux et les locaux de service, il y a une salle de concert assez spacieuse à l'intérieur du volume, qui possède l'un des plus grands orgues de Slovaquie. .
Le Louvre, qui « est aussi silencieux et majestueux qu'une pyramide », a subi de nombreuses transformations au cours des siècles avant de devenir le plus grand musée du monde. Il est né comme une forteresse, érigée par Philippe Auguste en 1190, qui s'est rapidement transformée en résidence royale. En 1793, le palais devint un musée. Les collections s'enrichissent par des legs ou des achats.
Les élèves découvrent le concept de pyramide bien avant d'étudier la géométrie. Blâmez les célèbres grandes merveilles égyptiennes du monde. Par conséquent, en commençant l'étude de ce merveilleux polyèdre, la plupart des étudiants l'imaginent déjà clairement. Tous les viseurs ci-dessus sont dans la forme correcte. Ce qui s'est passé pyramide droite , et quelles propriétés il a et seront discutés plus loin.
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Définition
Il existe de nombreuses définitions d'une pyramide. Depuis l'Antiquité, il est très populaire.
Par exemple, Euclide l'a défini comme une figure solide, constituée de plans qui, à partir d'un, convergent en un certain point.
Heron a fourni une formulation plus précise. Il a insisté sur le fait que c'était un chiffre qui a une base et des plans en forme de triangles, convergeant en un point.
Reposant sur interprétation moderne, la pyramide est représentée comme un polyèdre spatial composé d'un certain k-gon et de k chiffres plats triangulaire avec un point commun.
Regardons de plus près, De quels éléments est-il composé ?
- k-gon est considéré comme la base de la figure;
- Les figures à 3 angles dépassent sur les côtés de la partie latérale ;
- la partie supérieure, d'où proviennent les éléments latéraux, est appelée le dessus ;
- tous les segments reliant le sommet sont appelés arêtes ;
- si une ligne droite est abaissée du sommet au plan de la figure à un angle de 90 degrés, alors sa partie enfermée dans espace intérieur- la hauteur de la pyramide ;
- dans n'importe quel élément latéral du côté de notre polyèdre, vous pouvez tracer une perpendiculaire, appelée apothème.
Le nombre d'arêtes est calculé à l'aide de la formule 2*k, où k est le nombre de côtés du k-gon. Le nombre de faces d'un polyèdre comme une pyramide peut être déterminé par l'expression k + 1.
Important! Pyramide Forme correcte appelée figure stéréométrique dont le plan de base est un k-gone à côtés égaux.
Propriétés de base
Pyramide correcte possède de nombreuses propriétés qui lui sont propres. Listons-les :
- La base est une figure de la forme correcte.
- Les arêtes de la pyramide, limitant les éléments latéraux, ont des valeurs numériques égales.
- Les éléments latéraux sont des triangles isocèles.
- La base de la hauteur de la figure tombe au centre du polygone, alors qu'elle est à la fois le point central de l'inscrit et du décrit.
- Toutes les nervures latérales sont inclinées par rapport au plan de base selon le même angle.
- Toutes les surfaces latérales ont le même angle d'inclinaison par rapport à la base.
Grâce à toutes les propriétés répertoriées, les performances des calculs d'éléments sont grandement simplifiées. Sur la base des propriétés ci-dessus, nous prêtons attention à deux signes :
- Dans le cas où le polygone s'inscrit dans un cercle, les faces latérales auront une base angles égaux.
- Lors de la description d'un cercle autour d'un polygone, toutes les arêtes de la pyramide émanant du sommet auront la même longueur et des angles égaux avec la base.
Le carré est basé
Pyramide quadrangulaire régulière - un polyèdre basé sur un carré.
Il a quatre faces latérales, qui sont d'apparence isocèle.
Sur un plan, un carré est représenté, mais ils sont basés sur toutes les propriétés d'un quadrilatère régulier.
Par exemple, s'il est nécessaire de relier le côté d'un carré à sa diagonale, la formule suivante est utilisée : la diagonale est égale au produit du côté du carré et de la racine carrée de deux.
Basé sur un triangle régulier
Une pyramide triangulaire régulière est un polyèdre dont la base est un 3-gone régulier.
Si la base est un triangle régulier et que les bords latéraux sont égaux aux bords de la base, alors une telle figure appelé tétraèdre.
Toutes les faces d'un tétraèdre sont des 3-gones équilatéraux. Dans ce cas, vous devez connaître certains points et ne pas perdre de temps dessus lors du calcul:
- l'angle d'inclinaison des côtes par rapport à n'importe quelle base est de 60 degrés;
- la valeur de toutes les faces internes est également de 60 degrés ;
- n'importe quel visage peut servir de base;
- dessinés à l'intérieur de la figure sont des éléments égaux.
Sections d'un polyèdre
Dans tout polyèdre, il y a plusieurs types de sections avion. Souvent, dans un cours de géométrie scolaire, ils travaillent avec deux :
- axial;
- base parallèle.
Une section axiale est obtenue en coupant un polyèdre avec un plan passant par le sommet, les arêtes latérales et l'axe. Dans ce cas, l'axe est la hauteur tirée du sommet. Le plan de coupe est limité par les lignes d'intersection avec toutes les faces, résultant en un triangle.
Attention! Dans une pyramide régulière, la section axiale est un triangle isocèle.
Si le plan de coupe est parallèle à la base, le résultat est la deuxième option. Dans ce cas, nous avons dans le contexte d'une figure similaire à la base.
Par exemple, si la base est un carré, alors la section parallèle à la base sera également un carré, mais de taille plus petite.
Lors de la résolution de problèmes dans cette condition, des signes et des propriétés de similitude de figures sont utilisés, basé sur le théorème de Thales. Tout d'abord, il est nécessaire de déterminer le coefficient de similarité.
Si le plan est dessiné parallèlement à la base et coupe la partie supérieure du polyèdre, une pyramide tronquée régulière est obtenue dans la partie inférieure. Alors les bases du polyèdre tronqué sont dites polygones semblables. Dans ce cas, les faces latérales sont des trapèzes isocèles. La section axiale est également isocèle.
Pour déterminer la hauteur d'un polyèdre tronqué, il est nécessaire de dessiner la hauteur dans une section axiale, c'est-à-dire dans un trapèze.
Superficies
Principal problèmes géométriques, qui doivent être résolus dans un cours de géométrie scolaire, ce sont trouver la surface et le volume d'une pyramide.
Il existe deux types de surface :
- zone des éléments latéraux;
- toute la surface.
Dès le titre lui-même, il est clair de quoi il s'agit. Surface latérale comprend uniquement les éléments latéraux. Il en résulte que pour le trouver, il suffit d'additionner les aires des plans latéraux, c'est-à-dire les aires des 3-gones isocèles. Essayons de dériver la formule de l'aire des éléments latéraux:
- L'aire d'un 3-gone isocèle est Str=1/2(aL), où a est le côté de la base, L est l'apothème.
- Le nombre de plans latéraux dépend du type de k-gon à la base. Par exemple, une pyramide quadrangulaire régulière a quatre plans latéraux. Il faut donc additionner les aires de quatre chiffres Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . L'expression est ainsi simplifiée car la valeur 4a = POS, où POS est le périmètre de la base. Et l'expression 1/2 * Rosn est son demi-périmètre.
- Ainsi, nous concluons que l'aire des éléments latéraux d'une pyramide régulière est égale au produit du demi-périmètre de la base et de l'apothème: Sside \u003d Rosn * L.
L'aire de la surface totale de la pyramide est constituée de la somme des aires des plans latéraux et de la base : Sp.p. = Sside + Sbase.
Quant à l'aire de la base, ici la formule est utilisée en fonction du type de polygone.
Volume d'une pyramide régulière est égal au produit de l'aire du plan de base et de la hauteur divisé par trois : V=1/3*Sbase*H, où H est la hauteur du polyèdre.
Qu'est-ce qu'une pyramide régulière en géométrie
Propriétés d'une pyramide quadrangulaire régulière
Définition
Pyramide est un polyèdre composé d'un polygone \(A_1A_2...A_n\) et de \(n\) triangles avec un sommet commun \(P\) (non situé dans le plan du polygone) et des côtés opposés coïncidant avec les côtés de le polygone.
Désignation : \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemple : pyramide pentagonale \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Triangles \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) etc. appelé faces latérales pyramides, segments \(PA_1, PA_2\), etc. - côtes latérales, polygone \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, virgule \(P\) – sommet.
Hauteur Les pyramides sont une perpendiculaire tombée du sommet de la pyramide au plan de la base.
Une pyramide avec un triangle à sa base s'appelle tétraèdre.
La pyramide s'appelle correct, si sa base est un polygone régulier et que l'une des conditions suivantes est remplie :
\((a)\) les bords latéraux de la pyramide sont égaux ;
\((b)\) la hauteur de la pyramide passe par le centre du cercle circonscrit près de la base ;
\((c)\) les nervures latérales sont inclinées par rapport au plan de base selon le même angle.
Les faces latérales \((d)\) sont inclinées par rapport au plan de base selon le même angle.
tétraèdre régulier est une pyramide triangulaire dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux égaux.
Théorème
Les conditions \((a), (b), (c), (d)\) sont équivalentes.
Preuve
Dessinez la hauteur de la pyramide \(PH\) . Soit \(\alpha\) le plan de la base de la pyramide.
1) Montrons que \((a)\) implique \((b)\) . Soit \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Parce que \(PH\perp \alpha\) , alors \(PH\) est perpendiculaire à toute ligne située dans ce plan, donc les triangles sont rectangles. Donc ces triangles sont égaux en jambe commune \(PH\) et en hypoténuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Donc \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Cela signifie que les points \(A_1, A_2, ..., A_n\) sont à la même distance du point \(H\) , donc ils se trouvent sur le même cercle de rayon \(A_1H\) . Ce cercle, par définition, est circonscrit au polygone \(A_1A_2...A_n\) .
2) Montrons que \((b)\) implique \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulaire et égal en deux jambes. Par conséquent, leurs angles sont également égaux, donc, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).
3) Montrons que \((c)\) implique \((a)\) .
Semblable au premier point, les triangles \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangulaire et le long de la jambe et angle vif. Cela signifie que leurs hypoténuses sont également égales, c'est-à-dire \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Montrons que \((b)\) implique \((d)\) .
Parce que dans un polygone régulier, les centres des cercles circonscrit et inscrit coïncident (en général, ce point est appelé centre d'un polygone régulier), alors \(H\) est le centre du cercle inscrit. Traçons des perpendiculaires du point \(H\) aux côtés de la base : \(HK_1, HK_2\), etc. Ce sont les rayons du cercle inscrit (par définition). Alors, selon le TTP, (\(PH\) est une perpendiculaire au plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sont des projections perpendiculaires aux côtés) oblique \(PK_1, PK_2\), etc. perpendiculaire aux côtés \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivement. Donc, par définition \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)égal aux angles entre les faces latérales et la base. Parce que triangles \(PK_1H, PK_2H, ...\) sont égaux (car rectangles sur deux jambes), alors les angles \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) sont égaux.
5) Montrons que \((d)\) implique \((b)\) .
Comme pour le quatrième point, les triangles \(PK_1H, PK_2H, ...\) sont égaux (car rectangulaire le long de la jambe et angle aigu), ce qui signifie que les segments \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sont égaux. Ainsi, par définition, \(H\) est le centre d'un cercle inscrit dans la base. Mais depuis pour les polygones réguliers, les centres des cercles inscrit et circonscrit coïncident, alors \(H\) est le centre du cercle circonscrit. Chtd.
Conséquence
Les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles égaux.
Définition
La hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière, tirée de son sommet, s'appelle apothème.
Les apothèmes de toutes les faces latérales d'une pyramide régulière sont égaux entre eux et sont aussi des médianes et des bissectrices.
Notes IMPORTANTES
1. La hauteur d'une pyramide triangulaire régulière tombe au point d'intersection des hauteurs (ou bissectrices ou médianes) de la base (base - triangle rectangle).
2. La hauteur d'une pyramide quadrangulaire régulière tombe au point d'intersection des diagonales de la base (la base est un carré).
3. La hauteur d'une pyramide hexagonale régulière tombe au point d'intersection des diagonales de la base (la base est un hexagone régulier).
4. La hauteur de la pyramide est perpendiculaire à toute ligne droite située à la base.
Définition
La pyramide s'appelle rectangulaire si l'un de ses bords latéraux est perpendiculaire au plan de la base.
Notes IMPORTANTES
1. Pour une pyramide rectangulaire, le bord perpendiculaire à la base est la hauteur de la pyramide. Autrement dit, \(SR\) est la hauteur.
2. Parce que \(SR\) perpendiculaire à toute ligne partant de la base, alors \(\triangle SRM, \triangle SRP\) sont des triangles rectangles.
3. Triangles \(\triangle SRN, \triangle SRK\) sont également rectangulaires.
C'est-à-dire que tout triangle formé par cette arête et la diagonale sortant du sommet de cette arête, qui se trouve à la base, sera à angle droit.
\[(\Large(\text(Volume et surface de la pyramide)))\]
Théorème
Le volume d'une pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur de la pyramide : \
Conséquences
Soit \(a\) le côté de la base, \(h\) la hauteur de la pyramide.
1. Le volume d'une pyramide triangulaire régulière est \(V_(\text(triangle rectangle pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Le volume d'une pyramide quadrangulaire régulière est \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).
3. Le volume d'une pyramide hexagonale régulière est \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Le volume d'un tétraèdre régulier est \(V_(\text(tétra droit.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Théorème
L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème.
\[(\Large(\text(Pyramide tronquée)))\]
Définition
Considérons une pyramide arbitraire \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Dessinons un plan parallèle à la base de la pyramide passant par un certain point situé sur le bord latéral de la pyramide. Ce plan divisera la pyramide en deux polyèdres, dont l'un est une pyramide (\(PB_1B_2...B_n\) ), et l'autre s'appelle pyramide tronquée(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
La pyramide tronquée a deux bases - les polygones \(A_1A_2...A_n\) et \(B_1B_2...B_n\) , qui sont similaires les uns aux autres.
La hauteur d'une pyramide tronquée est une perpendiculaire tirée d'un point de la base supérieure au plan de la base inférieure.
Notes IMPORTANTES
1. Toutes les faces latérales d'une pyramide tronquée sont des trapèzes.
2. Le segment reliant les centres des bases d'une pyramide tronquée régulière (c'est-à-dire une pyramide obtenue par une section d'une pyramide régulière) est la hauteur.
Définition. De profil- il s'agit d'un triangle dans lequel un angle se trouve au sommet de la pyramide et dont le côté opposé coïncide avec le côté de la base (polygone).
Définition. Côtes latérales sont les côtés communs des faces latérales. Une pyramide a autant d'arêtes qu'il y a de coins dans un polygone.
Définition. hauteur de la pyramide est une perpendiculaire tombée du sommet à la base de la pyramide.
Définition. Apothème- c'est la perpendiculaire de la face latérale de la pyramide, abaissée du sommet de la pyramide au côté de la base.
Définition. Section diagonale- c'est une section de la pyramide par un plan passant par le sommet de la pyramide et la diagonale de la base.
Définition. Pyramide correcte- Il s'agit d'une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont la hauteur descend jusqu'au centre de la base.
Volume et surface de la pyramide
Formule. volume pyramidalà travers la surface de base et la hauteur :
propriétés de la pyramide
Si tous les bords latéraux sont égaux, alors un cercle peut être circonscrit autour de la base de la pyramide et le centre de la base coïncide avec le centre du cercle. De plus, la perpendiculaire tombée du haut passe par le centre de la base (cercle).
Si toutes les nervures latérales sont égales, elles sont inclinées par rapport au plan de base aux mêmes angles.
Les nervures latérales sont égales lorsqu'elles forment des angles égaux avec le plan de base, ou si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Si les faces latérales sont inclinées par rapport au plan de la base selon un angle, un cercle peut être inscrit dans la base de la pyramide et le sommet de la pyramide est projeté en son centre.
Si les faces latérales sont inclinées par rapport au plan de base selon un angle, les apothèmes des faces latérales sont égaux.
Propriétés d'une pyramide régulière
1. Le sommet de la pyramide est équidistant de tous les coins de la base.
2. Tous les bords latéraux sont égaux.
3. Toutes les nervures latérales sont inclinées aux mêmes angles par rapport à la base.
4. Les apothèmes de toutes les faces latérales sont égaux.
5. Les aires de toutes les faces latérales sont égales.
6. Toutes les faces ont les mêmes angles dièdres (plats).
7. Une sphère peut être décrite autour de la pyramide. Le centre de la sphère décrite sera le point d'intersection des perpendiculaires passant par le milieu des arêtes.
8. Une sphère peut être inscrite dans une pyramide. Le centre de la sphère inscrite sera le point d'intersection des bissectrices émanant de l'angle entre le bord et la base.
9. Si le centre de la sphère inscrite coïncide avec le centre de la sphère circonscrite, alors la somme des angles plats au sommet est égale à π ou vice versa, un angle est égal à π / n, où n est le nombre des angles à la base de la pyramide.
La connexion de la pyramide avec la sphère
Une sphère peut être décrite autour de la pyramide lorsqu'à la base de la pyramide se trouve un polyèdre autour duquel un cercle peut être décrit (condition nécessaire et suffisante). Le centre de la sphère sera le point d'intersection des plans passant perpendiculairement par les milieux des bords latéraux de la pyramide.
Une sphère peut toujours être décrite autour de n'importe quelle pyramide triangulaire ou régulière.
Une sphère peut être inscrite dans une pyramide si les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en un point (condition nécessaire et suffisante). Ce point sera le centre de la sphère.
La connexion de la pyramide avec le cône
Un cône est dit inscrit dans une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est inscrite dans la base de la pyramide.
Un cône peut s'inscrire dans une pyramide si les apothèmes de la pyramide sont égaux.
Un cône est dit circonscrit à une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est circonscrite à la base de la pyramide.
Un cône peut être décrit autour d'une pyramide si tous les bords latéraux de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Connexion d'une pyramide avec un cylindre
Une pyramide est dite inscrite dans un cylindre si le sommet de la pyramide repose sur une base du cylindre, et la base de la pyramide est inscrite dans une autre base du cylindre.
Un cylindre peut être circonscrit à une pyramide si un cercle peut être circonscrit à la base de la pyramide.
Un tétraèdre a quatre faces et quatre sommets et six arêtes, où deux arêtes quelconques n'ont pas de sommets communs mais ne se touchent pas.
Chaque sommet se compose de trois faces et arêtes qui forment angle trièdre.
Le segment reliant le sommet du tétraèdre au centre de la face opposée est appelé médiane du tétraèdre(GM).
Bimédiane est appelé un segment reliant les milieux d'arêtes opposées qui ne se touchent pas (KL).
Tous les bimédians et médians d'un tétraèdre se coupent en un point (S). Dans ce cas, les bimédianes sont divisées en deux et les médianes dans un rapport de 3: 1 en partant du haut.
Définition. Pyramide à angle aigu est une pyramide dont l'apothème mesure plus de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. pyramide obtuse est une pyramide dont l'apothème mesure moins de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. tétraèdre régulier Un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. C'est l'un des cinq polygones réguliers. Dans un tétraèdre régulier, tous les angles dièdres (entre les faces) et les angles trièdres (à un sommet) sont égaux.
Définition. Tétraèdre rectangulaire on appelle un tétraèdre qui a un angle droit entre trois arêtes au sommet (les arêtes sont perpendiculaires). Forme à trois visages angle trièdre rectangulaire et les faces sont des triangles rectangles, et la base est un triangle arbitraire. L'apothème d'une face est égal à la moitié du côté de la base sur laquelle tombe l'apothème.
Définition. Tétraèdre isoédrique Un tétraèdre est appelé dans lequel les faces latérales sont égales les unes aux autres et la base est un triangle régulier. Les faces d'un tel tétraèdre sont des triangles isocèles.
Définition. Tétraèdre orthocentrique on appelle un tétraèdre dans lequel toutes les hauteurs (perpendiculaires) qui sont abaissées du haut à la face opposée se coupent en un point.
Définition. pyramide étoilée Un polyèdre dont la base est une étoile est appelé.
