Conférence : "Méthodes de résolution d'équations exponentielles."
Les équations contenant des inconnues dans l'exposant sont appelées équations exponentielles. La plus simple d'entre elles est l'équation ax = b, où a > 0 et a ≠ 1.
1) Pour b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 fonction exponentielle, n'a pas de solution.
2) Pour b > 0, en utilisant la monotonie de la fonction et le théorème racine, l'équation a une seule racine. Pour le trouver, b doit être représenté par b = aс, ax = bс ó x = c ou x = logab.
Les équations exponentielles, par des transformations algébriques, conduisent à des équations standard, qui sont résolues en utilisant les méthodes suivantes :
1) méthode de réduction à une base ;
2) méthode d'évaluation ;
3) méthode graphique ;
4) la méthode d'introduction de nouvelles variables ;
5) méthode de factorisation ;
6) exponentielles - équations de puissance ;
7) exponentielle avec un paramètre.
2 . Méthode de réduction à une base.
La méthode est basée sur la propriété suivante des degrés : si deux degrés sont égaux et leurs bases sont égales, alors leurs exposants sont égaux, c'est-à-dire qu'il faut essayer de réduire l'équation à la forme
Exemples. Résous l'équation:
1 . 3x=81 ;
Représentons le côté droit de l'équation sous la forme 81 = 34 et écrivons l'équation équivalente à l'original 3 x = 34 ; x = 4. Réponse : 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> et allez à l'équation des exposants 3x+1 = 3 – 5x ; 8x = 4 ; x = 0,5 Réponse : 0,5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Notez que les nombres 0,2, 0,04, √5 et 25 sont des puissances de 5. Profitons-en et transformons l'équation d'origine comme suit :
,
d'où 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, d'où l'on trouve la solution x = -1. Réponse 1.
5. 3x = 5. Par définition du logarithme, x = log35. Réponse : log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Réécrivons l'équation comme 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, c'est-à-dire.png" width="181" height="49 src="> Donc x - 4 =0, x = 4. Réponse : 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. En utilisant les propriétés des puissances, on écrit l'équation sous la forme e. x+1 = 2, x =1. Réponse 1.
Banque de tâches n°1.
Résous l'équation:
Essai numéro 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) pas de racines |
1) 7;1 2) pas de racine 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Essai #2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) pas de racine 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Procédé d'évaluation.
Le théorème racine: si la fonction f (x) augmente (diminue) sur l'intervalle I, le nombre a est toute valeur prise par f sur cet intervalle, alors l'équation f (x) = a a une racine unique sur l'intervalle I.
Lors de la résolution d'équations par la méthode d'estimation, ce théorème et les propriétés de monotonie de la fonction sont utilisés.
Exemples. Résoudre des équations : 1. 4x = 5 - x.
Solution. Réécrivons l'équation sous la forme 4x + x = 5.
1. si x \u003d 1, alors 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 est vrai, alors 1 est la racine de l'équation.
La fonction f(x) = 4x est croissante sur R et g(x) = x est croissante sur R => h(x)= f(x)+g(x) est croissante sur R comme la somme des fonctions croissantes, donc x = 1 est la seule racine de l'équation 4x = 5 – x. Réponse 1.
2.
Solution. On réécrit l'équation sous la forme 
.
1. si x = -1, alors 
, 3 = 3-vrai, donc x = -1 est la racine de l'équation.
2. prouver qu'il est unique.
3. La fonction f(x) = - diminue sur R, et g(x) = - x - diminue sur R => h(x) = f(x) + g(x) - diminue sur R, comme la somme de fonctions décroissantes. Donc, d'après le théorème de la racine, x = -1 est la seule racine de l'équation. Réponse 1.
Banque de tâches n°2. résous l'équation
a) 4x + 1 = 6 - x ;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x ;
4. Méthode d'introduction de nouvelles variables.
La méthode est décrite dans la section 2.1. L'introduction d'une nouvelle variable (substitution) s'effectue généralement après transformations (simplification) des termes de l'équation. Prenons des exemples.
Exemples.
R manger l'équation: 1.
.
Réécrivons l'équation différemment : https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">
Solution. Réécrivons l'équation différemment : 
Indiquez https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ne convient pas.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> est une équation irrationnelle. Notez que 
La solution de l'équation est x = 2,5 ≤ 4, donc 2,5 est la racine de l'équation. Réponse : 2.5.
Solution. Réécrivons l'équation sous la forme et divisons les deux côtés par 56x+6 ≠ 0. Nous obtenons l'équation
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, donc..png" width="118" height="56">
Les racines de l'équation quadratique - t1 = 1 et t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Solution . On réécrit l'équation sous la forme
et notez que c'est une équation homogène du second degré.
Divisez l'équation par 42x, nous obtenons 
Remplacez https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Réponse : 0 ; 0,5.
Banque de tâches #3. résous l'équation
b) 
G) 
Essai #3 avec un choix de réponses. Niveau mini.
A1 | 1) -0,2 ;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
À2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) pas de racine 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) pas de racine 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Essai #4 avec un choix de réponses. Niveau général.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
À2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) pas de racines |
5. Méthode de factorisation.
1. Résolvez l'équation : 5x+1 - 5x-1 = 24.
Solution..png" width="169" height="69"> , d'où
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Solution. Retirons 6x du côté gauche de l'équation et 2x du côté droit. Nous obtenons l'équation 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Puisque 2x >0 pour tout x, on peut diviser les deux membres de cette équation par 2x sans craindre de perdre des solutions. Nous obtenons 3x = 1ó x = 0.
3. 
Solution. On résout l'équation par factorisation.
On sélectionne le carré du binôme 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 est la racine de l'équation.
Équation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Essai #6 Niveau général.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Exponentielle - équations de puissance.
Aux équations exponentielles sont adjointes les équations dites à puissance exponentielle, c'est-à-dire des équations de la forme (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Si l'on sait que f(x)>0 et f(x) ≠ 1, alors l'équation, comme l'exponentielle, est résolue en mettant en équation les exposants g(x) = f(x).
Si la condition n'exclut pas la possibilité que f(x)=0 et f(x)=1, alors nous devons considérer ces cas lors de la résolution de l'équation de puissance exponentielle.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Solution. x2 +2x-8 - est logique pour tout x, car un polynôme, donc l'équation est équivalente à l'ensemble
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Équations exponentielles avec paramètres.
1. Pour quelles valeurs du paramètre p l'équation 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) a-t-elle une solution unique ?
Solution. Introduisons le changement 2x = t, t > 0, alors l'équation (1) prendra la forme t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Le discriminant de l'équation (2) est D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
L'équation (1) a une solution unique si l'équation (2) a une racine positive. Ceci est possible dans les cas suivants.
1. Si D = 0, c'est-à-dire p = 1, alors l'équation (2) prendra la forme t2 – 2t + 1 = 0, donc t = 1, donc l'équation (1) a une solution unique x = 0.
2. Si p1, alors 9(p – 1)2 > 0, alors l'équation (2) a deux racines différentes t1 = p, t2 = 4p – 3. L'ensemble des systèmes satisfait la condition du problème
En remplaçant t1 et t2 dans les systèmes, nous avons
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Solution. Laisser 
alors l'équation (3) prendra la forme t2 – 6t – a = 0. (4)
Trouvons les valeurs du paramètre a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (4) vérifie la condition t > 0.
Introduisons la fonction f(t) = t2 – 6t – a. Les cas suivants sont possibles.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Cas 2. L'équation (4) a une solution positive unique si
D = 0, si a = – 9, alors l'équation (4) prendra la forme (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Cas 3. L'équation (4) a deux racines, mais l'une d'elles ne satisfait pas l'inégalité t > 0. Ceci est possible si
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Ainsi, en a 0 l'équation (4) a une seule racine positive 
. Alors l'équation (3) a une solution unique 
Pour un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
si un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
si a = – 9, alors x = – 1;
si a 0, alors
Comparons les méthodes de résolution des équations (1) et (3). A noter que lors de la résolution de l'équation (1) on a réduit à une équation quadratique dont le discriminant est un carré plein ; ainsi, les racines de l'équation (2) ont été immédiatement calculées par la formule des racines de l'équation quadratique, puis des conclusions ont été tirées concernant ces racines. L'équation (3) a été réduite à une équation quadratique (4), dont le discriminant n'est pas un carré parfait, par conséquent, lors de la résolution de l'équation (3), il est conseillé d'utiliser des théorèmes sur l'emplacement des racines d'un trinôme carré et un modèle graphique. Notez que l'équation (4) peut être résolue en utilisant le théorème de Vieta.
Résolvons des équations plus complexes.
Tâche 3. Résoudre l'équation 
Solution. ODZ : x1, x2.
Introduisons un remplaçant. Soit 2x = t, t > 0, alors suite aux transformations l'équation prendra la forme t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Trouvons les valeurs de a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (*) satisfait la condition t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Réponse : si a > - 13, a 11, a 5, alors si a - 13,
a = 11, a = 5, alors il n'y a pas de racines.
Bibliographie.
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12. Khazankine Compétences créativesécoliers.
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25. Yakimanskaya - éducation orientée à l'école.
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Exemples:
\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)
Comment résoudre des équations exponentielles
Lors de la résolution d'une équation exponentielle, nous nous efforçons de la mettre sous la forme \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), puis de passer à l'égalité des indicateurs, c'est-à-dire :
\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)
Par exemple:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)
Important! Dans la même logique, deux exigences découlent d'une telle transition :
- nombre dans gauche et droite doivent être identiques ;
- les degrés gauche et droite doivent être "purs", c'est-à-dire qu'il ne devrait pas y en avoir, multiplications, divisions, etc.
Par exemple:
Pour amener l'équation à la forme \(a^(f(x))=a^(g(x))\) et sont utilisés.
Exemple
. Résoudre l'équation exponentielle \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Solution:
|
\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Nous savons que \(27 = 3^3\). Dans cet esprit, nous transformons l'équation. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Par la propriété de la racine \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) on obtient que \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). De plus, en utilisant la propriété degré \((a^b)^c=a^(bc)\), on obtient \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
Nous savons aussi que \(a^b a^c=a^(b+c)\). En appliquant cela au côté gauche, nous obtenons : \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
Rappelez-vous maintenant que : \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Cette formule peut également être utilisée dans verso: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Alors \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\) |
En appliquant la propriété \((a^b)^c=a^(bc)\) au côté droit, on obtient : \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\) |
Et maintenant nous avons les bases égales et il n'y a pas de coefficients interférant, etc. Nous pouvons donc faire la transition. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Exemple
. Résoudre l'équation exponentielle \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Répondre : \(-1; 1\). La question demeure - comment comprendre quand appliquer quelle méthode? Cela vient avec l'expérience. En attendant, vous ne l'avez pas mérité, utilisez recommandation générale pour résoudre des problèmes complexes - "si vous ne savez pas quoi faire - faites ce que vous pouvez." C'est-à-dire, cherchez comment vous pouvez transformer l'équation en principe et essayez de le faire - et si cela sortait? L'essentiel est de ne faire que des transformations mathématiquement justifiées. équations exponentielles sans solutionsExaminons deux autres situations qui déroutent souvent les élèves : Essayons de le résoudre par la force brute. Si x est un nombre positif, alors à mesure que x croît, la puissance entière \(2^x\) ne fera que croître : \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=0\); \(2^0=1\) Passé aussi. Il y a des x négatifs. En se souvenant de la propriété \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), on vérifie : \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\) Malgré le fait que le nombre diminue à chaque étape, il n'atteindra jamais zéro. Donc le degré négatif ne nous a pas non plus épargnés. Nous arrivons à une conclusion logique : Un nombre positif à n'importe quelle puissance restera un nombre positif.Ainsi, les deux équations ci-dessus n'ont pas de solution. équations exponentielles avec différentes basesEn pratique, il existe parfois des équations exponentielles avec motifs différents, non réductibles les unes aux autres, et en même temps avec les mêmes exposants. Ils ressemblent à ceci : \(a^(f(x))=b^(f(x))\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres positifs. Par exemple: \(7^(x)=11^(x)\) De telles équations peuvent être facilement résolues en divisant par l'une des parties de l'équation (généralement en divisant par le côté droit, c'est-à-dire par \ (b ^ (f (x)) \). Vous pouvez diviser de cette manière, car un nombre positif est positif à n'importe quel degré (c'est-à-dire que nous ne divisons pas par zéro.) Nous obtenons : \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Exemple
. Résolvez l'équation exponentielle \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Répondre : \(-7\). Parfois, la "similitude" des exposants n'est pas évidente, mais l'utilisation habile des propriétés du degré résout ce problème. Exemple
. Résoudre l'équation exponentielle \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Répondre : \(2\). |
Solution d'équations exponentielles. Exemples.
Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")
Ce qui s'est passé équation exponentielle? C'est une équation dans laquelle les inconnues (x) et les expressions avec elles sont dans indicateurs quelques degrés. Et seulement là ! C'est important.
Te voilà exemples d'équations exponentielles:
3 x 2 x = 8 x + 3
Note! Dans les bases de diplômes (ci-dessous) - Seulement les chiffres. DANS indicateurs degrés (ci-dessus) - une grande variété d'expressions avec x. Si, soudainement, un x apparaît dans l'équation autre part que l'indicateur, par exemple :
ce sera une équation de type mixte. De telles équations n'ont pas de règles claires pour la résolution. Nous ne les considérerons pas pour l'instant. Nous traiterons ici solution d'équations exponentielles dans sa forme la plus pure.
En fait, même les équations exponentielles pures ne sont pas toujours clairement résolues. Mais il y a certains typeséquations exponentielles qui peuvent et doivent être résolues. Ce sont les types que nous allons examiner.
Solution des équations exponentielles les plus simples.
Commençons par quelque chose de très basique. Par exemple:
Même sans aucune théorie, par simple sélection il est clair que x = 2. Rien de plus, non !? Aucune autre valeur x n'est lancée. Et maintenant regardons la solution de cette équation exponentielle délicate :
Qu'avons-nous fait? En fait, nous venons de jeter les mêmes bas (triples). Complètement jeté. Et, qu'est-ce qui plaît, faites mouche !
En effet, si dans l'équation exponentielle à gauche et à droite sont le même nombres à n'importe quel degré, ces nombres peuvent être supprimés et exposants égaux. Les mathématiques le permettent. Il reste à résoudre une équation beaucoup plus simple. C'est bien, non ?)
Cependant, rappelons ironiquement : vous ne pouvez supprimer les bases que lorsque les numéros de base à gauche et à droite sont dans un splendide isolement ! Sans voisins ni coefficients. Disons dans les équations :
2 x +2 x + 1 = 2 3 , ou
Vous ne pouvez pas supprimer les doublons !
Eh bien, nous avons maîtrisé la chose la plus importante. Comment passer d'expressions exponentielles maléfiques à des équations plus simples.
"Voilà ces moments !" - vous dites. "Qui donnera un tel primitif sur le contrôle et les examens !?"
Obligé d'accepter. Personne ne le fera. Mais maintenant vous savez où aller pour résoudre des exemples déroutants. Il faut le rappeler, lorsque le même numéro de base est à gauche - à droite. Alors tout sera plus simple. En fait, ce sont les classiques des mathématiques. Nous prenons l'exemple d'origine et le transformons en l'exemple souhaité nous esprit. Selon les règles des mathématiques, bien sûr.
Considérez des exemples qui nécessitent un effort supplémentaire pour les rendre les plus simples. Appelons-les équations exponentielles simples.
Solution d'équations exponentielles simples. Exemples.
Lors de la résolution d'équations exponentielles, les principales règles sont actions avec des pouvoirs. Sans connaissance de ces actions, rien ne fonctionnera.
Aux actions graduées, il faut ajouter l'observation personnelle et l'ingéniosité. Avons-nous besoin des mêmes numéros de base ? Nous les recherchons donc dans l'exemple sous une forme explicite ou chiffrée.
Voyons comment cela se fait en pratique?
Donnons-nous un exemple :
2 2x - 8x+1 = 0
Premier regard sur terrains. Ils... Ils sont différents ! Deux et huit. Mais il est trop tôt pour se décourager. Il est temps de s'en souvenir
Deux et huit sont des parents en degré.) Il est tout à fait possible d'écrire :
8x+1 = (2 3)x+1
Si nous rappelons la formule des actions avec des pouvoirs :
(une n) m = une nm ,
ça marche généralement très bien :
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
L'exemple original ressemble à ceci :
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Nous transférons 2 3 (x+1)à droite (personne n'a annulé les actions élémentaires des mathématiques !), on obtient :
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
C'est pratiquement tout. Suppression des socles :
Nous résolvons ce monstre et obtenons
C'est la bonne réponse.
Dans cet exemple, connaître les puissances de deux nous a aidés. Nous identifié dans le huit, le deux crypté. Cette technique (chiffrement des motifs communs sous numéros différents) est une technique très populaire dans les équations exponentielles ! Oui, même en logarithmes. Il faut être capable de reconnaître les puissances des autres nombres dans les nombres. Ceci est extrêmement important pour résoudre des équations exponentielles.
Le fait est qu'élever n'importe quel nombre à n'importe quelle puissance n'est pas un problème. Multipliez, même sur une feuille de papier, et c'est tout. Par exemple, tout le monde peut relancer 3 à la puissance cinq. 243 se révélera si vous connaissez la table de multiplication.) Mais dans les équations exponentielles, beaucoup plus souvent, il est nécessaire de ne pas élever à une puissance, mais vice versa ... quel nombre dans quelle mesure se cache derrière le nombre 243, ou, disons, 343... Aucune calculatrice ne vous aidera ici.
Il faut connaître les puissances de certains nombres à vue, oui... On s'entraîne ?
Déterminez quelles puissances et quels nombres sont des nombres :
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Réponses (en désordre, bien sûr !) :
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir fait étrange. Il y a plus de réponses que de questions ! Eh bien, ça arrive... Par exemple, 2 6 , 4 3 , 8 2 est tout 64.
Supposons que vous avez pris note des informations sur la connaissance des nombres.) Permettez-moi de vous rappeler que pour résoudre des équations exponentielles, nous appliquons la totalité stock de connaissances mathématiques. Y compris issus des classes moyennes inférieures. Vous n'êtes pas allé directement au lycée, n'est-ce pas ?
Par exemple, lors de la résolution d'équations exponentielles, mettre le facteur commun entre parenthèses aide très souvent (bonjour à la 7e année !). Voyons un exemple :
3 2x+4 -11 9x = 210
Et encore une fois, le premier regard - sur le terrain ! Les bases des diplômes sont différentes... Trois et neuf. Et nous voulons qu'ils soient les mêmes. Bon, dans ce cas, le désir est tout à fait réalisable !) Car :
9 x = (3 2) x = 3 2x
Selon les mêmes règles pour les actions à degrés :
3 2x+4 = 3 2x 3 4
C'est super, tu peux écrire :
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Nous avons donné un exemple de les mêmes motifs. Alors, quelle est la prochaine !? Les trois ne peuvent pas être jetés ... Une impasse?
Pas du tout. Se souvenir de la règle de décision la plus universelle et la plus puissante tous tâches mathématiques :
Si vous ne savez pas quoi faire, faites ce que vous pouvez !
Vous regardez, tout est formé).
Qu'y a-t-il dans cette équation exponentielle Peut faire? Oui, le côté gauche demande directement des parenthèses ! Le facteur commun de 3 2x le suggère clairement. Essayons, et ensuite nous verrons :
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
L'exemple est de mieux en mieux !
Rappelons que pour éliminer les bases, il faut un degré pur, sans aucun coefficient. Le nombre 70 nous dérange. On divise donc les deux côtés de l'équation par 70, on obtient :
Op-pa ! Tout s'est bien passé !
C'est la réponse finale.
Il arrive cependant que le roulage sur les mêmes terrains soit obtenu, mais pas leur liquidation. Cela se produit dans les équations exponentielles d'un autre type. Prenons ce type.
Changement de variable dans la résolution d'équations exponentielles. Exemples.
Résolvons l'équation :
4 × - 3 2 × +2 = 0
Tout d'abord - comme d'habitude. Passons à la base. Au diable.
4 x = (2 2) x = 2 2x
On obtient l'équation :
2 2x - 3 2x +2 = 0
Et ici nous allons pendre. Les astuces précédentes ne fonctionneront pas, peu importe comment vous le tournez. Nous devrons puiser dans l'arsenal d'un autre moyen puissant et polyvalent. C'est appelé remplacement de variables.
L'essence de la méthode est étonnamment simple. Au lieu d'une icône complexe (dans notre cas, 2 x), nous en écrivons une autre, plus simple (par exemple, t). Un tel remplacement apparemment dénué de sens conduit à des résultats étonnants !) Tout devient clair et compréhensible !
Alors laisse
Alors 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Nous remplaçons dans notre équation toutes les puissances avec x par t :
Eh bien, ça se lève ?) Vous n'avez pas encore oublié les équations quadratiques ? On résout par le discriminant, on obtient :
Ici, l'essentiel est de ne pas s'arrêter, comme cela arrive... Ce n'est pas encore la réponse, il nous faut x, pas t. Nous revenons à Xs, c'est-à-dire faire un remplacement. D'abord pour t 1 :
C'est,
Une racine a été trouvée. Nous recherchons le second, à partir de t 2 :
Euh... Gauche 2 x, Droite 1... Un hic ? Oui, pas du tout ! Il suffit de se rappeler (d'actions à degrés, oui...) qu'une unité est n'importe quel nombre à zéro. N'importe quel. Tout ce dont vous avez besoin, nous le mettrons. Nous avons besoin d'un deux. Moyens:
Maintenant c'est tout. J'ai 2 racines :
C'est la réponse.
À résoudre des équations exponentiellesà la fin, on obtient parfois une expression maladroite. Taper:
Du sept, deux au diplôme simple ne marche pas. Ce ne sont pas des parents... Comment puis-je être ici ? Quelqu'un peut être confus ... Mais la personne qui a lu sur ce site le sujet "Qu'est-ce qu'un logarithme?" , ne souriez qu'avec parcimonie et écrivez d'une main ferme la réponse absolument correcte :
Il ne peut y avoir une telle réponse dans les tâches "B" de l'examen. Un numéro spécifique est requis. Mais dans les tâches "C" - facilement.
Cette leçon fournit des exemples de résolution des équations exponentielles les plus courantes. Soulignons le principal.
1. Tout d'abord, nous examinons terrains degrés. Voyons si elles ne peuvent pas être faites le même. Essayons de le faire en utilisant activement actions avec des pouvoirs. N'oubliez pas que les nombres sans x peuvent aussi être transformés en degrés !
2. Nous essayons de mettre l'équation exponentielle sous la forme lorsque la gauche et la droite sont le même nombres à n'importe quel degré. Nous utilisons actions avec pouvoirs Et factorisation. Ce qui peut être compté en nombre - nous comptons.
3. Si le deuxième conseil n'a pas fonctionné, nous essayons d'appliquer la substitution de variable. Le résultat peut être une équation facile à résoudre. Le plus souvent - carré. Ou fractionnaire, qui se réduit également à un carré.
4. Pour réussir à résoudre des équations exponentielles, vous devez connaître les degrés de certains nombres "à vue".
Comme d'habitude, à la fin de la leçon, vous êtes invité à résoudre un peu.) Par vous-même. Du simple au complexe.
Résolvez des équations exponentielles :
Plus difficile:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Trouver le produit des racines :
2 3-x + 2x = 9
Arrivé?
Eh bien l'exemple le plus dur(décidé, cependant, dans l'esprit ...) :
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Quoi de plus intéressant ? Alors voici un mauvais exemple pour vous. Assez tirant sur une difficulté accrue. Je laisserai entendre que dans cet exemple, l'ingéniosité et le plus règle universelle tous les problèmes de mathématiques.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x
Un exemple est plus simple, pour la détente):
9 2 x - 4 3 x = 0
Et pour le dessert. Trouver la somme des racines de l'équation :
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Oui oui! C'est une équation de type mixte ! Ce que nous n'avons pas considéré dans cette leçon. Et pour les considérer, ils doivent être résolus!) Cette leçon suffit amplement à résoudre l'équation. Eh bien, il faut de l'ingéniosité ... Et oui, la septième année vous aidera (c'est un indice!).
Réponses (en désordre, séparées par des points-virgules) :
1; 2 ; 3 ; 4 ; il n'y a pas de solutions; 2 ; -2 ; -5 ; 4 ; 0.
Est-ce que tout est réussi ? Super.
Il ya un problème? Aucun problème! Dans la section spéciale 555, toutes ces équations exponentielles sont résolues avec explications détaillées. Quoi, pourquoi et pourquoi. Et, bien sûr, il y a des informations précieuses supplémentaires sur le travail avec toutes sortes d'équations exponentielles. Pas seulement avec ceux-ci.)
Une dernière question amusante à considérer. Dans cette leçon, nous avons travaillé avec des équations exponentielles. Pourquoi n'ai-je pas dit un mot sur ODZ ici ? Dans les équations, c'est une chose très importante, d'ailleurs...
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Rappelons d'abord les formules de base des degrés et leurs propriétés.
Produit d'un nombre un se produit n fois sur lui-même, on peut écrire cette expression sous la forme a a … a=a n
1. un 0 = 1 (un ≠ 0)
3. une n une m = une n + m
4. (un n) m = un nm
5. une n b n = (ab) n
7. un n / un m \u003d un n - m
Équations de puissance ou exponentielles- ce sont des équations dans lesquelles les variables sont en puissances (ou exposants), et la base est un nombre.
Exemples d'équations exponentielles :
DANS cet exemple le nombre 6 est la base, il est toujours en bas, et la variable X degré ou mesure.
Donnons d'autres exemples d'équations exponentielles.
2 × *5=10
16x-4x-6=0
Voyons maintenant comment les équations exponentielles sont résolues ?
Prenons une équation simple :
2 x = 2 3
Un tel exemple peut être résolu même dans l'esprit. On voit que x=3. Après tout, pour que les côtés gauche et droit soient égaux, vous devez mettre le chiffre 3 au lieu de x.
Voyons maintenant comment cette décision doit être prise :
2 x = 2 3
x = 3
Pour résoudre cette équation, nous avons supprimé mêmes motifs(c'est-à-dire deux) et a écrit ce qui restait, ce sont des degrés. Nous avons eu la réponse que nous cherchions.
Résumons maintenant notre solution.
Algorithme de résolution de l'équation exponentielle :
1. Besoin de vérifier le même si les bases de l'équation à droite et à gauche. Si les motifs ne sont pas les mêmes, nous recherchons des options pour résoudre cet exemple.
2. Une fois que les bases sont les mêmes, assimiler degré et résoudre la nouvelle équation résultante.
Résolvons maintenant quelques exemples :
Commençons simple.
Les bases des côtés gauche et droit sont égales au nombre 2, ce qui signifie que nous pouvons rejeter la base et égaliser leurs degrés.
x+2=4 L'équation la plus simple s'est avérée.
x=4 - 2
x=2
Réponse : x=2
Dans l'exemple suivant, vous pouvez voir que les bases sont différentes, ce sont 3 et 9.
3 3x - 9x + 8 = 0
Pour commencer, nous transférons le neuf sur le côté droit, nous obtenons:
Maintenant, vous devez faire les mêmes bases. On sait que 9=3 2 . Utilisons la formule de puissance (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Nous obtenons 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 maintenant vous pouvez voir que dans la gauche et côté droit les bases sont les mêmes et égales à trois, ce qui signifie que nous pouvons les éliminer et égaliser les degrés.
3x=2x+16 a obtenu l'équation la plus simple
3x-2x=16
x=16
Réponse : x=16.
Regardons l'exemple suivant :
2 2x + 4 - 10 4x \u003d 2 4
Tout d'abord, nous regardons les bases, les bases sont différentes deux et quatre. Et nous devons être les mêmes. On transforme le quadruple selon la formule (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
Et nous utilisons également une formule a n a m = a n + m :
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Ajouter à l'équation :
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Mais d'autres chiffres 10 et 24 interfèrent avec nous, que faire d'eux ? Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir que sur le côté gauche, nous répétons 2 2x, voici la réponse - nous pouvons mettre 2 2x hors parenthèses :
2 2x (2 4 - 10) = 24
Calculons l'expression entre parenthèses :
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
On divise l'équation entière par 6 :
Imaginez 4=2 2 :
2 2x \u003d 2 2 bases sont les mêmes, jetez-les et égalisez les degrés.
2x \u003d 2 s'est avéré être l'équation la plus simple. On le divise par 2, on obtient
x = 1
Réponse : x = 1.
Résolvons l'équation :
9x - 12*3x +27= 0
Transformons :
9 x = (3 2) x = 3 2x
On obtient l'équation :
3 2x - 12 3x +27 = 0
Nos bases sont les mêmes, égales à 3. Dans cet exemple, il est clair que le premier triple a un degré deux fois (2x) que le second (juste x). Dans ce cas, vous pouvez décider méthode de remplacement. Le nombre avec le plus petit degré est remplacé par :
Alors 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Nous remplaçons tous les degrés par des x dans l'équation avec t :
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
On a équation quadratique. On résout par le discriminant, on obtient :
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Retour aux variables X.
On prend t 1 :
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
C'est,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Une racine a été trouvée. Nous recherchons le second, à partir de t 2 :
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Réponse : x 1 \u003d 2 ; x2 = 1.
Sur le site, vous pouvez dans la section AIDE À DÉCIDER poser des questions d'intérêt, nous vous répondrons certainement.
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Au stade de la préparation aux tests finaux, les lycéens doivent améliorer leurs connaissances sur le thème "Équations exponentielles". L'expérience des années passées montre que ces tâches causent certaines difficultés aux écoliers. Par conséquent, les élèves du secondaire, quel que soit leur niveau de préparation, doivent maîtriser soigneusement la théorie, mémoriser les formules et comprendre le principe de résolution de telles équations. Ayant appris à faire face à ce type de tâches, les diplômés pourront compter sur des scores élevés lors de la réussite de l'examen en mathématiques.
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