Parfois, dans la vie, il y a des situations où vous devez fouiller dans votre mémoire à la recherche de connaissances scolaires oubliées depuis longtemps. Par exemple, vous devez déterminer la superficie d'un terrain de forme triangulaire, ou le moment est venu de procéder à une autre rénovation dans un appartement ou une maison privée, et vous devez calculer la quantité de matériau nécessaire pour une surface avec une forme triangulaire. Il fut un temps où vous pouviez résoudre un tel problème en quelques minutes, mais maintenant vous essayez désespérément de vous rappeler comment déterminer l'aire d'un triangle ?

Ne vous inquiétez pas ! Après tout, il est tout à fait normal que le cerveau d’une personne décide de transférer des connaissances longtemps inutilisées quelque part vers un coin éloigné, d’où il n’est parfois pas si facile de les extraire. Pour que vous n'ayez pas à chercher des connaissances scolaires oubliées pour résoudre un tel problème, cet article contient diverses méthodes qui facilitent la recherche de l'aire requise d'un triangle.

Il est bien connu qu’un triangle est un type de polygone limité au nombre minimum de côtés possible. En principe, tout polygone peut être divisé en plusieurs triangles en reliant ses sommets par des segments qui ne coupent pas ses côtés. Par conséquent, connaissant le triangle, vous pouvez calculer l'aire de presque n'importe quelle figure.

Parmi tous les triangles possibles qui apparaissent dans la vie, on peut distinguer les types particuliers suivants : et rectangulaires.

La façon la plus simple de calculer l'aire d'un triangle est lorsqu'un de ses angles est droit, c'est-à-dire dans le cas d'un triangle rectangle. Il est facile de voir qu’il s’agit d’un demi-rectangle. Son aire est donc égale à la moitié du produit des côtés qui forment un angle droit entre eux.

Si l'on connaît la hauteur d'un triangle, abaissé d'un de ses sommets jusqu'au côté opposé, et la longueur de ce côté, qui s'appelle la base, alors l'aire est calculée comme la moitié du produit de la hauteur et de la base. Ceci s'écrit à l'aide de la formule suivante :

S = 1/2*b*h, dans lequel

S est l'aire requise du triangle ;

b, h - respectivement, la hauteur et la base du triangle.

Il est si facile de calculer l'aire d'un triangle isocèle car la hauteur divisera le côté opposé en deux et peut être facilement mesurée. Si la surface est déterminée, il est alors pratique de prendre comme hauteur la longueur de l'un des côtés formant un angle droit.

Tout cela est bien sûr bien, mais comment déterminer si l'un des angles d'un triangle est droit ou non ? Si la taille de notre figure est petite, nous pouvons alors utiliser un angle de construction, un triangle de dessin, une carte postale ou un autre objet de forme rectangulaire.

Mais que se passe-t-il si nous avons un terrain triangulaire ? Dans ce cas, procédez comme suit : comptez à partir du haut de l'angle droit supposé d'un côté une distance multiple de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), et de l'autre côté mesurez une distance multiple de 4 dans le même proportion (40 cm, 160 cm, 4 m). Vous devez maintenant mesurer la distance entre les extrémités de ces deux segments. Si le résultat est un multiple de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), alors on peut dire que l'angle est droit.

Si la longueur de chacun des trois côtés de notre figure est connue, alors l'aire du triangle peut être déterminée à l'aide de la formule de Heron. Pour qu'il ait une forme plus simple, une nouvelle valeur est utilisée, appelée demi-périmètre. C'est la somme de tous les côtés de notre triangle, divisés en deux. Une fois le demi-périmètre calculé, vous pouvez commencer à déterminer la superficie à l'aide de la formule :

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), où

sqrt - racine carrée ;

p - valeur du demi-périmètre (p = (a+b+c)/2) ;

a, b, c - bords (côtés) du triangle.

Mais que se passe-t-il si le triangle a une forme irrégulière ? Il y a deux manières possibles ici. La première consiste à essayer de diviser une telle figure en deux triangles rectangles, dont la somme des aires est calculée séparément, puis additionnée. Ou, si l'angle entre deux côtés et la taille de ces côtés sont connus, alors appliquez la formule :

S = 0,5 * ab * sinC, où

a,b - côtés du triangle ;

c est la taille de l'angle entre ces côtés.

Ce dernier cas est rare dans la pratique, mais néanmoins, tout est possible dans la vie, la formule ci-dessus ne sera donc pas superflue. Bonne chance avec vos calculs!

Instructions

1. Pour deux jambes S = a * b/2, a, b – jambes,

La deuxième option de calcul de l'aire utilise les sinus d'angles connus au lieu de cotangentes. Dans cette version carré est égal au carré de la longueur du côté connu, multiplié par les sinus de chacun des angles et divisé par le double sinus de ces angles : S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *péché(α + β)). Par exemple, pour le même triangle de côté connu de 15 cm, et adjacent à celui-ci coinsà 40° et 60°, le calcul de l'aire ressemblera à ceci : (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621) /( 2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 centimètres carrés.

La version de calcul de l'aire d'un triangle implique des angles. L'aire sera égale au carré de la longueur du côté connu, multiplié par les tangentes de chacun des angles et divisé par le double de la somme des tangentes de ces angles : S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Par exemple, pour le triangle utilisé dans les étapes précédentes ayant un côté de 15 cm et adjacent coinsà 40° et 60°, le calcul de l'aire ressemblera à ceci : (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1,11721493 )*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 centimètres carrés.

Un triangle est le polygone le plus simple ayant trois sommets et trois côtés. Un triangle dont l’un des angles est droit est appelé triangle rectangle. Pour les triangles rectangles, toutes les formules des triangles généraux sont applicables. Cependant, ils peuvent être modifiés en tenant compte des propriétés d'un angle droit.

Instructions

Base pour trouver une zone Triangleà travers la base comme suit : S = 1/2 * b * h, où b est le côté Triangle, et h – Triangle. Hauteur Triangle est une perpendiculaire tirée du sommet Triangleà la ligne contenant le contraire. Pour rectangulaire Triangle la hauteur k b coïncide avec la jambe a. De cette façon, vous obtiendrez la formule pour calculer la superficie Triangle avec angle : S = 1/2 * a * b.

Considérer. Soit un rectangulaire a = 3, b = 4. Alors S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Calculer carré le même Triangle, mais maintenant un seul côté est connu, b = 4. Et l'angle α, tan α = 3/4 est également connu. Ensuite, à partir de l'expression de la fonction trigonométrique tangente α, exprimez la jambe a : tg α = a/b => a = b * tan α. Remplacez cette valeur dans la formule pour calculer l'aire d'un rectangle Triangle et on obtient : S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 = 6.

Considérons comme un cas particulier le calcul de l'aire d'un rectangle isocèle Triangle. Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont égaux. Dans le cas d'un rectangle Triangle il s'avère que a = b. Notez le théorème de Pythagore pour ce cas : c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Ensuite, remplacez cette valeur dans la formule de calcul de l'aire comme suit : S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .

Si les rayons du cercle inscrit r et du cercle circonscrit R sont connus, alors carré rectangulaire Triangle est calculé par la formule S = r^2 + 2 * r * R. Soit le rayon du cercle inscrit dans le triangle r = 1, le rayon du cercle circonscrit Triangle cercle R = 5/2. Alors S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6.

Vidéo sur le sujet

Conseil utile

Le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle est égal à la moitié de l'hypoténuse : R = c / 2. Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle rectangle se trouve par la formule r = (a + b – c) / 2.

C'est l'une des figures géométriques les plus simples, dans laquelle trois segments reliant deux à deux trois points limitent une partie du plan. La connaissance de certains paramètres d'un triangle (longueurs des côtés, angles, rayons d'un cercle inscrit ou circonscrit, hauteur, etc.) dans diverses combinaisons permet de calculer l'aire de cette section limitée du plan.

Instructions

Si les longueurs des deux côtés d'un triangle (A et B) et la grandeur de leur angle (γ) sont connues, alors l'aire (S) du triangle sera égale à la moitié du produit des longueurs des côtés et de la sinus de l'angle connu : S=A∗B∗sin(γ)/2.

Si les longueurs des trois côtés (A, B et C) d'un triangle arbitraire sont connues, alors pour calculer son aire (S), il est plus pratique d'introduire une variable supplémentaire - le demi-périmètre (p). Cette variable est calculée en demi la somme des longueurs de tous les côtés : p=(A+B+C)/2. L'utilisation de cette variable peut être définie comme la racine carrée du produit du demi-périmètre sur cette variable et la longueur des côtés : S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).

Si, en plus des longueurs de tous les côtés (A, B et C), la longueur du rayon (R) d'un cercle circonscrit à proximité d'un triangle arbitraire est également connue, alors vous pouvez vous passer d'un demi-périmètre - l'aire (S) sera égal au rapport du produit des longueurs de tous les côtés par le quadruple rayon du cercle : S=A ∗B∗C/(4∗R).

Si les valeurs de tous les angles d'un triangle (α, β et γ) et la longueur d'un de ses côtés (A) sont connues, alors l'aire (S) sera égale au rapport du produit du carré de la longueur du côté connu par les sinus de deux angles qui lui sont adjacents au double sinus de l'angle opposé : S = A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).

Si les valeurs de tous les angles d'un triangle arbitraire (α, β et γ) et le rayon (R) du cercle circonscrit sont connus, alors l'aire (S) sera égale à deux fois le carré du rayon et le sinus de tous les angles : S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).

Vidéo sur le sujet

Trouver le volume d'un triangle est vraiment une tâche non triviale. Le fait est qu'un triangle est une figure à deux dimensions, c'est-à-dire il se trouve entièrement dans un seul plan, ce qui signifie qu'il n'a tout simplement pas de volume. Bien sûr, on ne trouve pas quelque chose qui n’existe pas. Mais n'abandonnons pas ! Nous pouvons accepter l'hypothèse suivante : le volume d'une figure bidimensionnelle est son aire. Nous chercherons l'aire du triangle.

Tu auras besoin de

feuille de papier, crayon, règle, calculatrice

Instructions

Dessinez sur une feuille de papier à l’aide d’une règle et d’un crayon. En examinant attentivement le triangle, vous pouvez vous assurer qu'il n'y a vraiment pas de triangle, puisqu'il est dessiné sur un plan. Étiquetez les côtés du triangle : un côté est le côté "a", l'autre côté "b" et le troisième côté "c". Étiquetez les sommets du triangle avec les lettres « A », « B » et « C ».

Mesurez n'importe quel côté du triangle avec une règle et notez le résultat. Après cela, restituez une perpendiculaire au côté mesuré à partir du sommet opposé, une telle perpendiculaire sera la hauteur du triangle. Dans le cas représenté sur la figure, la perpendiculaire "h" est restituée du côté "c" à partir du sommet "A". Mesurez la hauteur obtenue avec une règle et notez le résultat de la mesure.

Il peut être difficile pour vous de rétablir la perpendiculaire exacte. Dans ce cas, vous devez utiliser une formule différente. Mesurez tous les côtés du triangle avec une règle. Après cela, calculez le demi-périmètre du triangle « p » en additionnant les longueurs des côtés résultantes et en divisant leur somme par deux. Ayant à votre disposition la valeur du demi-périmètre, vous pouvez utiliser la formule de Héron. Pour ce faire, vous devez prendre la racine carrée de ce qui suit : p(p-a)(p-b)(p-c).

Vous avez obtenu l'aire requise du triangle. Le problème de trouver le volume d’un triangle n’a pas été résolu, mais comme mentionné ci-dessus, le volume ne l’est pas. Vous pouvez trouver un volume qui est essentiellement un triangle dans le monde tridimensionnel. Si nous imaginons que notre triangle d'origine est devenu une pyramide tridimensionnelle, alors le volume d'une telle pyramide sera le produit de la longueur de sa base par l'aire du triangle que nous avons obtenu.

note

Plus vous mesurez avec soin, plus vos calculs seront précis.

Sources:

Calculateur «Tout pour tout» - un portail pour les valeurs de référence
volume du triangle

Un triangle est une figure géométrique composée de trois lignes droites reliées par des points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Les points de connexion des lignes sont les sommets du triangle, désignés par des lettres latines (par exemple, A, B, C). Les lignes droites reliant un triangle sont appelées segments, qui sont également généralement désignés par des lettres latines. On distingue les types de triangles suivants :

Rectangulaire.
Obtus.
Angulaire aigu.
Polyvalent.
Équilatéral.
Isocèle.

Formules générales pour calculer l'aire d'un triangle

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur la longueur et la hauteur

S= une*h/2,
où a est la longueur du côté du triangle dont il faut trouver l'aire, h est la longueur de la hauteur tirée jusqu'à la base.

La formule du héron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(pc),
où √ est la racine carrée, p est le demi-périmètre du triangle, a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle. Le demi-périmètre d'un triangle peut être calculé à l'aide de la formule p=(a+b+c)/2.

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur l'angle et la longueur du segment

S = (a*b*sin(α))/2,
où b,c est la longueur des côtés du triangle, sin(α) est le sinus de l'angle entre les deux côtés.

Formule pour l'aire d'un triangle étant donné le rayon du cercle inscrit et trois côtés

S=p*r,
où p est le demi-périmètre du triangle dont il faut trouver l'aire, r est le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle circonscrit autour de lui

S= (a*b*c)/4*R,
où a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit autour du triangle.

Formule pour l'aire d'un triangle utilisant les coordonnées cartésiennes des points

Les coordonnées cartésiennes des points sont des coordonnées dans le système xOy, où x est l'abscisse, y est l'ordonnée. Le système de coordonnées cartésiennes xOy sur un plan est constitué des axes numériques Ox et Oy mutuellement perpendiculaires ayant une origine commune au point O. Si les coordonnées des points sur ce plan sont données sous la forme A(x1, y1), B(x2, y2 ) et C(x3, y3 ), vous pouvez alors calculer l'aire du triangle à l'aide de la formule suivante, qui est obtenue à partir du produit vectoriel de deux vecteurs.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
où || signifie module.

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont un angle mesure 90 degrés. Un triangle ne peut avoir qu’un seul angle.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle sur deux côtés

S= une*b/2,
où a,b est la longueur des jambes. Les jambes sont les côtés adjacents à un angle droit.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur l'hypoténuse et l'angle aigu

S = a*b*sin(α)/ 2,
où a, b sont les jambes du triangle et sin(α) est le sinus de l'angle auquel les lignes a, b se coupent.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur le côté et l'angle opposé

S = une*b/2*tg(β),
où a, b sont les branches du triangle, tan(β) est la tangente de l'angle auquel les branches a, b sont connectées.

Comment calculer l'aire d'un triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés égaux. Ces côtés sont appelés les côtés et l’autre côté est la base. Pour calculer l'aire d'un triangle isocèle, vous pouvez utiliser l'une des formules suivantes.

Formule de base pour calculer l'aire d'un triangle isocèle

S=h*c/2,
où c est la base du triangle, h est la hauteur du triangle abaissé jusqu'à la base.

Formule d'un triangle isocèle basée sur le côté et la base

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
où c est la base du triangle, a est la taille de l'un des côtés du triangle isocèle.

Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés sont égaux. Pour calculer l'aire d'un triangle équilatéral, vous pouvez utiliser la formule suivante :
S = (√3*a*a)/4,
où a est la longueur du côté du triangle équilatéral.

Les formules ci-dessus vous permettront de calculer l'aire requise du triangle. Il est important de se rappeler que pour calculer l'aire des triangles, vous devez prendre en compte le type de triangle et les données disponibles qui peuvent être utilisées pour le calcul.

Aire d'un triangle - formules et exemples de résolution de problèmes

Ci-dessous sont formules pour trouver l'aire d'un triangle arbitraire qui conviennent pour trouver l'aire de n'importe quel triangle, quels que soient ses propriétés, ses angles ou ses tailles. Les formules sont présentées sous forme d'image, avec des explications sur leur application ou une justification de leur exactitude. En outre, une figure distincte montre la correspondance entre les symboles alphabétiques dans les formules et les symboles graphiques dans le dessin.

Note . Si le triangle a des propriétés particulières (isocèle, rectangulaire, équilatéral), vous pouvez utiliser les formules données ci-dessous, ainsi que des formules spéciales supplémentaires qui ne sont valables que pour les triangles ayant ces propriétés :

"Formule pour l'aire d'un triangle équilatéral"

Formules d'aire triangulaire

Explications des formules:
une, b, c- les longueurs des côtés du triangle dont on veut trouver l'aire
r- rayon du cercle inscrit dans le triangle
R.- rayon du cercle circonscrit au triangle
h- hauteur du triangle abaissé sur le côté
p- demi-périmètre d'un triangle, 1/2 de la somme de ses côtés (périmètre)
α - angle opposé au côté a du triangle
β - angle opposé au côté b du triangle
γ - angle opposé au côté c du triangle
h un, h b , h c- hauteur du triangle abaissé des côtés a, b, c

Veuillez noter que les notations données correspondent à la figure ci-dessus, de sorte que lors de la résolution d'un problème de géométrie réel, il vous sera visuellement plus facile de substituer les valeurs correctes aux bons endroits dans la formule.

L'aire du triangle est la moitié du produit de la hauteur du triangle et de la longueur du côté dont cette hauteur est abaissée(Formule 1). L’exactitude de cette formule peut être comprise logiquement. La hauteur abaissée jusqu'à la base divisera un triangle arbitraire en deux rectangles. Si vous construisez chacun d'eux dans un rectangle de dimensions b et h, alors évidemment l'aire de ces triangles sera égale exactement à la moitié de l'aire du rectangle (Spr = bh)
L'aire du triangle est la moitié du produit de ses deux côtés par le sinus de l'angle qui les sépare(Formule 2) (voir un exemple de résolution d'un problème en utilisant cette formule ci-dessous). Même s'il semble différent du précédent, il peut facilement s'y transformer. Si nous abaissons la hauteur de l'angle B au côté b, il s'avère que le produit du côté a et du sinus de l'angle γ, selon les propriétés du sinus dans un triangle rectangle, est égal à la hauteur du triangle que nous avons dessiné , ce qui nous donne la formule précédente
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée à travers travail la moitié du rayon du cercle qui y est inscrit par la somme des longueurs de tous ses côtés(Formule 3), en termes simples, vous devez multiplier le demi-périmètre du triangle par le rayon du cercle inscrit (c'est plus facile à retenir)
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée en divisant le produit de tous ses côtés par 4 rayons du cercle circonscrit autour de lui (Formule 4)
La formule 5 consiste à trouver l'aire d'un triangle à travers les longueurs de ses côtés et son demi-périmètre (la moitié de la somme de tous ses côtés)
La formule du héron(6) est une représentation de la même formule sans utiliser la notion de demi-périmètre, uniquement à travers les longueurs des côtés
L'aire d'un triangle arbitraire est égale au produit du carré du côté du triangle et des sinus des angles adjacents à ce côté divisé par le double sinus de l'angle opposé à ce côté (Formule 7)
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée comme le produit de deux carrés du cercle circonscrit autour de lui par les sinus de chacun de ses angles. (Formule 8)
Si la longueur d'un côté et les valeurs de deux angles adjacents sont connues, alors l'aire du triangle peut être trouvée comme le carré de ce côté divisé par la double somme des cotangentes de ces angles (Formule 9)
Si seule la longueur de chacune des hauteurs du triangle est connue (Formule 10), alors l'aire d'un tel triangle est inversement proportionnelle aux longueurs de ces hauteurs, comme selon la formule de Héron
La Formule 11 permet de calculer aire d'un triangle basée sur les coordonnées de ses sommets, qui sont spécifiés sous forme de valeurs (x;y) pour chacun des sommets. Veuillez noter que la valeur résultante doit être prise modulo, car les coordonnées des sommets individuels (ou même de tous) peuvent se situer dans la région des valeurs négatives.

Note. Voici des exemples de résolution de problèmes de géométrie pour trouver l'aire d'un triangle. Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas similaire ici, écrivez-le sur le forum. Dans les solutions, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt() peut être utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole racine carrée, et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses.Parfois, pour des expressions radicales simples, le symbole peut être utilisé √

Tâche. Trouver l'aire donnée par deux côtés et l'angle entre eux

Les côtés du triangle mesurent 5 et 6 cm et l'angle entre eux est de 60 degrés. Trouver l'aire du triangle.

Solution.

Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule numéro deux de la partie théorique de la leçon.
L'aire d'un triangle peut être trouvée à travers les longueurs de deux côtés et le sinus de l'angle qui les sépare et sera égale à
S = 1/2 ab sin γ

Puisque nous disposons de toutes les données nécessaires à la solution (selon la formule), nous ne pouvons substituer que les valeurs des conditions du problème dans la formule :
S = 1/2 * 5 * 6 * péché 60

Dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques, nous trouverons et substituerons la valeur du sinus 60 degrés dans l'expression. Ce sera égal à la racine de trois fois deux.
S = 15 √3 / 2

Répondre: 7,5 √3 (selon les exigences du professeur, vous pouvez probablement laisser 15 √3/2)

Tâche. Trouver l'aire d'un triangle équilatéral

Trouvez l'aire d'un triangle équilatéral de côté 3 cm.

Solution .

L'aire d'un triangle peut être trouvée à l'aide de la formule de Heron :

S = 1/4 carré ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Puisque a = b = c, la formule de l'aire d'un triangle équilatéral prend la forme :

S = √3 / 4 * une 2

S = √3 / 4 * 3 2

Répondre: 9 √3 / 4.

Tâche. Changement de surface lors du changement de longueur des côtés

Combien de fois l'aire du triangle augmentera-t-elle si les côtés sont augmentés de 4 fois ?

Solution.

Puisque les dimensions des côtés du triangle nous sont inconnues, pour résoudre le problème nous supposerons que les longueurs des côtés sont respectivement égales à des nombres arbitraires a, b, c. Ensuite, afin de répondre à la question du problème, nous trouverons l'aire du triangle donné, puis nous trouverons l'aire du triangle dont les côtés sont quatre fois plus grands. Le rapport des aires de ces triangles nous donnera la réponse au problème.

Ci-dessous, nous fournissons une explication textuelle de la solution au problème étape par étape. Cependant, à la toute fin, cette même solution est présentée sous une forme graphique plus pratique. Les personnes intéressées peuvent immédiatement consulter les solutions.

Pour résoudre, on utilise la formule de Héron (voir ci-dessus dans la partie théorique de la leçon). Cela ressemble à ceci :

S = 1/4 carré ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir première ligne de l'image ci-dessous)

Les longueurs des côtés d'un triangle arbitraire sont spécifiées par les variables a, b, c.
Si les côtés sont augmentés de 4 fois, alors l'aire du nouveau triangle c sera :

S 2 = 1/4 carré ((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(voir deuxième ligne dans l'image ci-dessous)

Comme vous pouvez le voir, 4 est un facteur commun qui peut être retiré des parenthèses des quatre expressions selon les règles générales des mathématiques.
Alors

S 2 = 1/4 carré(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - sur la troisième ligne de l'image
S 2 = 1/4 carré(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - quatrième ligne

La racine carrée du nombre 256 est parfaitement extraite, alors retirons-la sous la racine
S 2 = 16 * 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir cinquième ligne de l'image ci-dessous)

Pour répondre à la question posée dans le problème, il suffit de diviser l'aire du triangle obtenu par l'aire de celui d'origine.
Déterminons les rapports de superficie en divisant les expressions les unes par les autres et en réduisant la fraction résultante.

Notion de zone

La notion d'aire de toute figure géométrique, notamment d'un triangle, sera associée à une figure telle qu'un carré. Pour l'aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, rappelons deux propriétés fondamentales de la notion d'aires de figures géométriques.

Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.

Propriété 2 : Toute figure peut être divisée en plusieurs figures. De plus, l'aire de la figure originale est égale à la somme des aires de toutes ses figures constitutives.

Regardons un exemple.

Exemple 1

Évidemment, l'un des côtés du triangle est une diagonale d'un rectangle dont un côté a une longueur de 5$ (puisqu'il y a des cellules de 5$) et l'autre est de 6$ (puisqu'il y a des cellules de 6$). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est

Alors l'aire du triangle est égale à

Réponse : 15$.

Ensuite, nous examinerons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule de Heron et l'aire d'un triangle équilatéral.

Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant sa hauteur et sa base

Théorème 1

L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté et de la hauteur de ce côté.

Mathématiquement, ça ressemble à ça

$S=\frac(1)(2)αh$

où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est dessinée.

Preuve.

Considérons un triangle $ABC$ dans lequel $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté, ce qui est égal à $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.

L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et l'aire du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Alors

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Par conséquent, l'aire requise du triangle, par la propriété 2, est égale à

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Le théorème a été prouvé.

Exemple 2

Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous si la cellule a une aire égale à un

La base de ce triangle est égale à 9$ (puisque 9$ sont des carrés de 9$). La hauteur est également de 9$. Alors, d'après le théorème 1, on obtient

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Réponse : 40,5$.

La formule du héron

Théorème 2

Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ici $ρ$ signifie le demi-périmètre de ce triangle.

Preuve.

Considérons la figure suivante :

D'après le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient

A partir du triangle $CBH$, d'après le théorème de Pythagore, on a

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

De ces deux relations on obtient l'égalité

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, ce qui signifie

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

D'après le théorème 1, on obtient

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$