Колебательным называется любое периодически повторяющееся движение. Поэтому зависимости координаты и скорости тела от времени при колебаниях описываются периодическими функциями времени. В школьном курсе физики рассматриваются такие колебания, в которых зависимости и скорости тела представляют собой тригонометрические функции 
, 
или их комбинацию, где - некоторое число. Такие колебания на-зываются гармоническими (функции 
и 
часто называют гармоническими функциями). Для решения задач на колебания, входящих в программу единого государственного экзамена по физике, нужно знать определения основных характеристик колебательного движения: амплитуды, периода, частоты, круговой (или циклической) частоты и фазы колебаний. Дадим эти определения и свяжем перечисленные величины с параметрами зависимости координаты тела от времени , которая в случае гармонических колебаний всегда может быть представлена в виде
где , и - некоторые числа.
Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Поскольку максимальное и минимальное значение косинуса в (11.1) равно ±1, то амплитуда колебаний тела, совершающего колебания (11.1), равна величине . Период колебаний - это минимальное время, через которое движение тела повторяется. Для зависимости (11.1) период можно установить из следующих соображений. Косинус - периодическая функция с периодом . Поэтому движение полностью повторяется через такое значение , что . Отсюда получаем
Круговой (или циклической) частотой колебаний называется число колебаний, совершаемых за единиц времени. Из формулы (11.3) заключаем, что круговой частотой является величина из формулы (11.1).
Фазой колебаний называется аргумент тригонометрической функции, описывающей зависимость координаты от времени. Из формулы (11.1) видим, что фаза колебаний тела, движение которого описывается зависимостью (11.1), равна 
. Значение фазы колебаний в момент времени = 0 называется начальной фазой. Для зависимости (11.1) начальная фаза колебаний равна величине . Очевидно, начальная фаза колебаний зависит от выбора начала отсчета времени (момента = 0), которое всегда является условным. Изменением начала отсчета времени начальная фаза колебаний всегда может быть «сделана» равной нулю, а синус в формуле (11.1) «превращен» в косинус или наоборот.
В программу единого государственного экзамена входит также знание формул для частоты колебаний пружинного и математического маятников. Пружинным маятником принято называть тело, которое может совершать колебания на гладкой горизонтальной поверхности под действием пружины, второй конец которой закреплен (левый рисунок). Математическим маятником называется массивное тело, размерами которого можно пренебречь, совершающее колебания на длинной, невесомой и нерастяжимой нити (правый рисунок). Название этой системы – «математический маятник» связано с тем, что она представляет собой абстрактную математическую
модель реального (физического
) маятника. Необходимо помнить формулы для периода (или частоты) колебаний пружинного и математического маятников. Для пружинного маятника
где - длина нити, - ускорение свободного падения. Рассмотрим применение этих определений и законов на примере решения задач.
Чтобы найти циклическую частоту колебаний груза в задаче 11.1.1 найдем сначала период колебаний, а затем воспользуемся формулой (11.2). Поскольку 10 м 28 с - это 628 с, и за это время груз совершает 100 колебаний, период колебаний груза равен 6,28 с. Поэтому циклическая частота колебаний равна 1 c -1 (ответ 2 ). В задаче 11.1.2 груз за 600 с совершил 60 колебаний, поэтому частота колебаний - 0,1 с -1 (ответ 1 ).
Чтобы понять, какой путь пройдет груз за 2,5 периода (задача 11.1.3 ), проследим за его движением. Через период груз вернется назад в точку максимального отклонения, совершив полное колебание. Поэтому за это время груз пройдет расстояние, равное четырем амплитудам: до положения равновесия - одна амплитуда, от положения равновесия до точки максимального отклонения в другую сторону - вторая, назад в положение равновесия - третья, из положения равновесия в начальную точку - четвертая. За второй период груз снова пройдет четыре амплитуды, а за оставшиеся половину периода - две амплитуды. Поэтому пройденный путь равен десяти амплитудам (ответ 4 ).
Величина перемещения тела - расстояние от начальной точки до конечной. За 2,5 периода в задаче 11.1.4 тело успеет совершить два полных и половину полного колебания, т.е. окажется на максимальном отклонении, но с другой стороны от положения равновесия. Поэтому величина перемещения равна двум амплитудам (ответ 3 ).
По определению фаза колебаний - это аргумент тригонометрической функции, которой описывается зависимость координаты колеблющегося тела от времени. Поэтому правильный ответ в задаче 11.1.5 - 3 .
Период - это время полного колебания. Это значит, что возвращение тела назад в ту же точку, из которой тело начало движение, еще не означает, что прошел период: тело должно вернуться в ту же точку с той же скоростью. Например, тело, начав колебания из положения равновесия, за период успеет отклониться на максимальную величину в одну сторону, вернуться назад, отклонится на максимум в другую сторону и снова вернуться назад. Поэтому за период тело успеет два раза отклониться на максимальную величину от положения равновесия и вернуться обратно. Следовательно, на прохождение от положения равновесия до точки максимального отклонения (задача 11.1.6 ) тело затрачивает четвертую часть периода (ответ 3 ).
Гармоническими называются такие колебания, при которых зависимость координаты колеблющегося тела от времени описывается тригонометрической (синус или косинус) функцией времени. В задаче 11.1.7 таковыми являются функции и , несмотря на то, что входящие в них параметры обозначены как 2 и 2 . Функция же - тригонометрическая функция квадрата времени. Поэтому гармоническими являются колебания только величин и (ответ 4 ).
При гармонических колебаниях скорость тела изменяется по закону 
, где - амплитуда колебаний скорости (начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний равнялась бы нулю). Отсюда находим зависимость кинетической энергии тела от времени 
(задача 11.1.8
). Используя далее известную тригонометрическую формулу, получаем
Из этой формулы следует, что кинетическая энергия тела изменяется при гармонических колебаниях также по гармоническому закону, но с удвоенной частотой (ответ 2 ).
За соотношением между кинетической энергий груза и потенциальной энергией пружины (задача 11.1.9 ) легко проследить из следующих соображений. Когда тело отклонено на максимальную величину от положения равновесия, скорость тела равна нулю, и, следовательно, потенциальная энергия пружины больше кинетической энергии груза. Напротив, когда тело проходит положение равновесия, потенциальная энергия пружины равна нулю, и, следовательно, кинетическая энергия больше потенциальной. Поэтому между прохождением положения равновесия и максимальным отклонением кинетическая и потенциальная энергия один раз сравниваются. А поскольку за период тело четыре раза проходит от положения равновесия до максимального отклонения или обратно, то за период кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины сравниваются друг с другом четыре раза (ответ 2 ).
Амплитуду колебаний скорости (задача 11.1.10
) проще всего найти по закону сохранения энергии. В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины 
, где - коэффициент жесткости пружины, - амплитуда колебаний. При прохождении положения равновесия энергия тела равна кинетической энергии 
, где - масса тела, - скорость тела при прохождении положения равновесия, которая является максимальной скоростью тела в процессе колебаний и, следовательно, представляет собой амплитуду колебаний скорости. Приравнивая эти энергии, находим
(ответ 4 ).
Из формулы (11.5) заключаем (задача 11.2.2 ), что от массы математического маятника его период не зависит, а при увеличении длины в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза (ответ 1 ).
Часы - это колебательный процесс, который используется для измерения интервалов времени (задача 11.2.3 ). Слова часы «спешат» означают, что период этого процесса меньше того, каким он должен быть. Поэтому для уточнения хода этих часов необходимо увеличить период процесса. Согласно формуле (11.5) для увеличения периода колебаний математического маятника необходимо увеличить его длину (ответ 3 ).
Чтобы найти амплитуду колебаний в задаче 11.2.4
, необходимо представить зависимость координаты тела от времени в виде одной тригонометрической функции. Для данной в условии функции это можно сделать с помощью введения дополнительного угла. Умножая и деля эту функцию на 
и используя формулу сложения тригонометрических функций, получим
|
где - такой угол, что 
. Из этой формулы следует, что амплитуда колебаний тела - 
(ответ 4
).
Определение
Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.
Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.
Уравнения колебаний пружинного маятника
Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:
\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(1\right),\]
где ${щu}^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:
где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.
В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:
Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника
Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:
Так как частота колебаний ($\nu $) - величина обратная к периоду, то:
\[\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\left(5\right).\]
Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника
Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($\varphi $).
Амплитуду можно найти как:
начальная фаза при этом:
где $v_0$ - скорость груза при $t=0\ c$, когда координата груза равна $x_0$.
Энергия колебаний пружинного маятника
При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.
Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:
учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,
тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:
Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:
\[\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+\frac{m{{\omega }_0}^2x^2}{2}=const\ \left(10\right),\]
где $\dot{x}=v$ - скорость движения груза; $E_k=\frac{m{\dot{x}}^2}{2}$ - кинетическая энергия маятника.
Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:
- Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
- Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600\ \frac{Н}{м}$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1\ \frac{м}{с}$?
Решение. Сделаем рисунок.
По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:
где $E_{pmax}$ - потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_{kmax\ }$ - кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.
Потенциальная энергия равна:
В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:
\[\frac{mv^2}{2}=\frac{k{x_0}^2}{2}\left(1.4\right).\]
Из (1.4) выразим искомую величину:
Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:
Ответ. $x_0=1,5$ мм
Пример 2
Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A{\cos \left(\omega t\right),\ \ }\ $где $A$ и $\omega $ - постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_{p0}$. В какой момент времени это произойдет?
Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:
Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:
В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_{p0}$, значит:
\[\frac{E_{p0}}{F_0}=-\frac{A}{2}{\cos \left(\omega t\right)\ }\to t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }.\]
Ответ. $t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }$
Исследование колебаний маятника проводится на установке, схема которой приведена на рис.5. Установка состоит из пружинного маятника, системы регистрации колебаний на основе пьезоэлектрического датчика, системы возбуждения вынужденных колебаний, а также системы обработки информации на персональном компьютере. Исследуемый пружинный маятник состоит из стальной пружины с коэффициентом жесткости k и тела маятника m , в центре которого вмонтирован постоянный магнит. Движение маятника происходит в жидкости и при небольших скоростях колебаний возникающая сила трения может быть с достаточной точностью аппроксимирована линейным законом, т.е.
Рис.5 Блок-схема экспериментальной установки
Для увеличения силы сопротивления
при движении в жидкости,
тело маятника изготовлено
в виде шайбы с отверстиями.
Для регистрации колебаний
используется пьезоэлектрический
датчик, к которому
подвешена пружина маятника.
Во время движения маятника
сила упругости
пропорциональна смещению х
,
Так как ЭДС, возникающая в
пьезодатчике в свою очередь
пропорциональна силе давления,
то сигнал, получаемый с датчика
будет
пропорционален смещению
тела маятника от положения
равновесия.
Возбуждение колебаний осуществляется
с помощью магнитного
поля. Гармонический сигнал,
создаваемый ПК усиливается
и подается на
катушку возбуждения,
расположенную под телом
маятника. В
резултате этого катушки образуется
переменное во времени и неоднородное в пространстве
магнитное поле.
Это поле действует
на постоянный магнит,
вмонтированный в тело
маятника и создает внешнюю
периодическую силу. При движении
тела вынуждающую силу можно представить
в виде суперпозиции гармонических функций
, и колебания маятника будут являться
суперпозицией колебаний с частотами mw.
Однако заметное влияние на движение маятника
будет оказывать лишь составляющая силы на
частоте w
,
так как она наиболее близка к резонансной частоте.
Поэтому амплитуды
составляющих колебаний
маятника на частотах mw
будут малы.
То есть в случае
произвольного
периодического воздействия
колебания с большой степенью
точности можно считать гармоническими на
частоте w
.
Система обработки информации
состоит из аналого-цифрового
преобразователя и персонального
компьютера. Аналоговый сигнал
с пьезоэлектрического датчика
с помощью аналоге-цифрового преобразователя
представляется в цифровом виде и подается на
персональном компьютере.
Управление экспериментальной установкой с помощью ЭВМ
После включения компьютера и загрузки программы на экране мо-
нитора появляется основное меню,
общий вид которого показан на рис.5.
Используя клавиши управления
курсором
, ,
, ,
можно выбрать
один из пунктов меню.
После нажатия кнопки ENTER
компьютер приступает к
выполнению выбранного режима
работы. Простейшие подсказки
по выбранному режиму работы
содержатся в выделенной строке
внизу экрана.
Рассмотрим возможные режимы работы программы:
Статика
- этот пункт меню
используется для обработки
результатов первого упражнения
(см. рис.5)
После нажатия на
кнопку ENTER
компьютер запрашивает
массу груза маятника.
После следующего
нажатия кнопки ENTER
на экране появляется новая
картинка с мигающим
курсором. Последовательно
записывают на экране массу
груза в граммах и,
после нажатия пробела,
величину растяжения пружины.
Нажав на ENTER
переходят на новую строку
и снова записывают массу
груза и величину растяжения
пружины. Допускается
редактирование данных в
пределах последней
строки. Для этого нажав
клавишу Backspase
удаляют неправильное значение
массы или растяжения пружины
и записывают новое значение.
Для изменения данных в других
строках необходимо последовательно
нажать Esc
и ENTER
,
а затем повторить набор
результатов.
После набора данных
нажимают на функциональную
клавишу F2
.
На экране появляются
расчитанные с помощью
метода наименьших
квадратов значения
коэффициента жесткости
пружины и частоты
свободных колебаний маятника.
После нажатия на ENTER
на экране монитора появляется
график зависимости упругой силы
от величины расрастяжения пружины.
Возврат в основное меню происходит
после нажатия любой клавиши.
Эксперимент
-
этот пункт имеет несколько
подпунктов (рис.6).
Рассмотрим особенности
работы каждого из них.
Частота
- в этом режиме
с помощью клавиш управления
курсором осуществляется
задание частоты вынуждающей
силы. В том случае,
если проводится эксперимент
со свободными колебаниями,
то необходимо установить
значение частоты равное 0
.
Старт
- в этом режиме после
нажатия кнопки ENTER
программа начинает снимать
экспериментальную зависимость отклонения
маятника от времени. В
том случае, когда частота
вынуждающей силы равна
нулю, на экране появляется
картина затухающих колебаний.
В отдельном окошке записываются значения частоты колебаний и постоянной
затухания. Если частота возбуждающей
силы не равна нулю, то наряду
с графиками зависимостей отклонения
маятника и вынуждающей
силы от времени на экране
в отдельных окошках записываются
значения
частоты вынуждающей силы и ее амплитуды,
а также измеренных
частоты и амплитуды
колебаний маятника.
Нажав на клавишу Esc
можно
выйти в основное меню.
Сохранить
- если результат
эксперимента удовлетворителен, то
его можно сохранить, нажав на соответствующую клавишу меню.
Нов. Серия
- этот пункт меню используется в
том случае, если возникла необходимость
отказаться от данных текущего эксперимента.
После нажатия клавиши ENTER
в этом режиме из памяти машины
стираются результаты всех предыдущих
экспериментов, и можно начать новую серию измерений.
После проведения эксперимента переходят в режим
Измерения
.
Этот пункт меню имеет несколько подпунктов (рис.7)
График АЧХ
- этот пункт
меню используется после окончания
эксперимента по изучению вынужденных колебаний. На экране монитора
строится амллитудно-частотная
характеристика вынужденных
колебаний.
График ФЧХ
- В этом режиме после окончания эксперимента по
изучению вынужденных
колебаний на экране
монитора строится
фазочастотная характеристика.
Таблица
- этот пункт
меню позволяет выдать на экран
монитора значения амплитуды и фазы
колебаний в зависимости от частоты
вынуждающей силы. Эти данные
переписываются в тетрадь для
отчета по данной работе.
Пункт меню компьютера Выход
- окончание работы программы
(см. например, рис. 7)
Упражнение 1. Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом.
Измерения проводятся путем определения удлинения пружины под действием грузов с известными массами. Рекомендуется провести не менее 7-10 измерений удлинения пружины постепенно подвешивая грузы и изменяя тем самым нагрузку от 20 до 150 г. Используя пункт меню работы программы Статистика результаты этих измерений заносят в память компьютера и определяют коэффициент жесткости пружины используя метод наименьших квадратов. В ходе выполнения упражнения необходимо расчитать значение собственной частоты колебаний маятника
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.
Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):
Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .
Таким образом, груз некоторой массы m , прикрепленный к пружине жесткости k , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .
Круговая частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона :
При горизонтальном расположении системы пружина-груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x 0 , равную
Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде
Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 или период T . Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.
Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x m = Δl , φ 0 = 0.
Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость ± υ 0 , то ,
Таким образом, амплитуда x m свободных колебаний и его начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями .
Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M упр упругой деформации кручения:
где I = I C - момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε - угловое ускорение.
По аналогии с грузом на пружине можно получить:
Свободные колебания. Математический маятник
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити . При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = -mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l , то его угловое смещение будет равно φ = x / l . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:
 |
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x , а
Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15-20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.
Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .
Следовательно,
|
Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:
и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид (см. §1.23)
Здесь ω 0 - собственная частота малых колебаний физического маятника .
Следовательно,
Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
Окончательно для круговой частоты ω 0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:
|
Превращения энергии при свободных механических колебаниях
При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия - это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника - это энергия в поле тяготения Земли.
Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.
Для груза на пружине (см. §2.2):
В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими (рис. 2.4.2).
Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем затухания .
Частота свободных колебаний зависит от скорости затухания колебаний. При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания быстро затухают.
Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q . Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π:
Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний.
Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания
Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными .
Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .
Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .
После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.
В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса - вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω 0 . Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.
Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону
Если левый конец пружины смещен на расстояние y , а правый - на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δl равно:
В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части - это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое - внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой .
Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: Тогда запишется в виде
Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты - частоту ω 0 свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.
Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону
|
Амплитуда вынужденных колебаний x m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω 0 и ω и от амплитуды y m внешней силы.
На очень низких частотах, когда ω << ω 0 , движение тела массой m , прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x (t ) = y (t ), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при ω << ω 0 стремится к нулю.
Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω 0 , возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом . Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2).
При резонансе амплитуда x m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду y m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.
У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.
Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.
Вынужденные колебания - это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными , а процесс незатухающих колебаний в таких системах - автоколебаниями . В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента - колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).
Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.
Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник - балансиром - маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир.
Источником энергии - поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.
Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.
 |
| Рисунок 2.5.4. Часовой механизм с маятником. |
Анимация
Описание
Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.
Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.
В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене (рис. 1).
Пружинный маятник
Рис. 1
Прямолинейное движение тела описывают посредством зависимости его координаты от времени:
x = x (t ). (1)
Если известны все силы, действующие на рассматриваемое тело, то эту зависимость можно установить при помощи второго закона Ньютона:
md 2 x /dt 2 = S F , (2)
где m - масса тела.
Правая часть уравнения (2) есть сумма проекций на ось x всех действующих на тело сил.
В рассматриваемом случае главную роль играет упругая сила, которая является консервативной и может быть представлена в виде:
F (x ) = - dU (x )/dx , (3)
где U = U (x ) - потенциальная энергия деформированной пружины.
Пусть x есть удлинение пружины. Экспериментально установлено, что при малых значениях относительного удлинения пружины, т.е. при условии, что:
Ѕ x Ѕ << l ,
где l - длина недеформированной пружины.
Приближенно справедлива зависимость:
U (x ) = k x 2 /2, (4)
где коэффициент k называют жесткостью пружины.
Из этой формулы вытекает следующее выражение для упругой силы:
F (x ) = - kx . (5)
Эту зависимость называют законом Гука.
Кроме силы упругости на движущееся по плоскости тело может действовать сила трения, которая удовлетворительно описывается эмпирической формулой:
F тр = - r dx /dt , (6)
где r - коэффициент трения.
С учетом формул (5) и (6) уравнение (2) можно записать так:
md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t ), (7)
где F (t ) - внешная сила.
Если на тело действует только сила Гука (5), то свободные колебания тела будут гармоническими. Такое тело называют гармоническим пружинным маятником.
Второй закон Ньютона в этом случае приводит к уравнению:
d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)
w 0 = sqrt (k /m ) (9)
Частота колебаний.
Общее решение уравнения (8) имеет вид:
x (t ) = A cos (w 0 t + a ), (10)
где амплитуда A и начальная фаза a определяются начальными условиями.
Когда на рассматриваемое тело действует только сила упругости (5), его полная механическая энергия не изменяется с течением времени:
mv 2 / 2 + k x 2 /2 = const . (11)
Это утверждение составляет содержание закона сохранения энергии гармонического пружинного маятника.
Пусть на массивное тело кроме упругой силы, возвращающей его в положение равновесия, действует сила трения. В этом случае возбужденные в некоторый момент времени свободные колебания тела будут затухать с течением времени и тело будет стремиться к положению равновесия.
В этом второй закон Ньютона (7) можно записать так:
m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)
где m - масса тела.
Общее решение уравнения (12) имеет вид:
x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)
w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)
Частота колебаний,
b = r / 2 m (15)
Коэффициент затухания колебаний, амплитуда a и начальная фаза a определяются начальными условиями. Функция (13) описывает так называемые затухающие колебания.
Полная механическая энергия пружинного маятника, т.е. сумма его кинетической и потенциальной энергий
E = m v 2 /2 + kx 2 / 2 (16)
изменяется с течением времени по закону:
dE / dt = P , (17)
где P = - rv 2 - мощность силы трения, т.е. энергия, переходящая в тепло за единицу времени.
Временные характеристики
Время инициации (log to от -3 до -1);
Время существования (log tc от 1 до 15);
Время деградации (log td от -3 до 3);
Время оптимального проявления (log tk от -3 до -2).