Определение
Частота колебаний ($\nu$) является одним из параметров, которые характеризуют колебания Это величина обратная периоду колебаний ($T$):
\[\nu =\frac{1}{T}\left(1\right).\]
Таким образом, частотой колебаний называют физическую величину, равную числу повторений колебаний за единицу времени.
\[\nu =\frac{N}{\Delta t}\left(2\right),\]
где $N$ - число полных колебательных движений; $\Delta t$ - время, за которые произошли данные колебания.
Циклическая частота колебаний (${\omega }_0$) связана с частотой $\nu $ формулой:
\[\nu =\frac{{\omega }_0}{2\pi }\left(3\right).\]
Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) является герц или обратная секунда:
\[\left[\nu \right]=с^{-1}=Гц.\]
Пружинный маятник
Определение
Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.
Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать горизонтальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. При этом часто считают, что силы трения можно не учитывать.
Уравнения колебаний пружинного маятника
Пружинный маятник, который совершает свободные колебания - это пример гармонического осциллятора. Пусть он выполняет колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза запишем как:
\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(4\right),\]
где ${\omega }^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решение уравнения (4) это функция синуса или косинуса вида:
где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний пружинного маятника, $A$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.
Частота колебаний пружинного маятника
Из формулы (3) и ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, следует, что частота колебаний пружинного маятника равна:
\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(6\right).\]
Формула (6) справедлива в случае, если:
- пружина в маятнике считается невесомой;
- груз, прикрепленный к пружине, является абсолютно твердым телом;
- крутильные колебания отсутствуют.
Выражение (6) показывает, что частота колебаний пружинного маятника увеличивается с уменьшением массы груза и увеличением коэффициента упругости пружины. Частота колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. Если колебания не являются малыми, сила упругости пружины не подчиняется закону Гука, то появляется зависимость частоты колебаний от амплитуды.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Период колебаний пружинного маятника составляет $T=5\cdot {10}^{-3}с$. Чему равна частота колебаний в этом случае? Какова циклическая частота колебаний этого груза?
Решение. Частота колебаний - это величина обратная периоду колебаний, следовательно, для решения задачи достаточно воспользоваться формулой:
\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.1\right).\]
Вычислим искомую частоту:
\[\nu =\frac{1}{5\cdot {10}^{-3}}=200\ \left(Гц\right).\]
Циклическая частота связана с частотой $\nu $ как:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]
Вычислим циклическую частоту:
\[{\omega }_0=2\pi \cdot 200\approx 1256\ \left(\frac{рад}{с}\right).\]
Ответ. $1)\ \nu =200$ Гц. 2) ${\omega }_0=1256\ \frac{рад}{с}$
Пример 2
Задание. Массу груза, висящего на упругой пружине (рис.2), увеличивают на величину $\Delta m$, при этом частота уменьшается в $n$ раз. Какова масса первого груза?
\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.1\right).\]
Для первого груза частота будет равна:
\[{\nu }_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.2\right).\]
Для второго груза:
\[{\nu }_2=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m+\Delta m}}\ \left(2.2\right).\]
По условию задачи ${\nu }_2=\frac{{\nu }_1}{n}$, найдем отношение $\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}:\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}=\sqrt{\frac{k}{m}\cdot \frac{m+\Delta m}{k}}=\sqrt{1+\frac{\Delta m}{m}}=n\ \left(2.3\right).$
Получим из уравнения (2.3) искомую массу груза. Для этого обе части выражения (2.3) возведем в квадрат и выразим $m$:
Ответ. $m=\frac{\Delta m}{n^2-1}$
Рассмотрим колебания груза на пружине, при условии, что пружина не деформирована за пределы упругости. Покажем, что такой груз будет совершать гармонические колебания относительно положения равновесия (рис.1.1.3). Действительно, согласно закону Гука, сжатая или растянутая пружина создаёт гармоническую силу:
где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени , - смещение от положения равновесия.
Поместим начало отсчета координаты в положение равновесия системы. В этом случае .
Если пружину растянуть на величину х
, после чего отпустить в момент времени t
=0, то уравнение движения груза согласно второму закону Ньютона примет вид -kx =ma
, или
, и
(1.1.6)
Это уравнение совпадает по виду с уравнением движения (1.1.3) системы, совершающей гармонические колебания, его решение будем искать в виде:
. (1.1.7)
Подставим (1.17) в (1.1.6), имеем: 
то есть выражение (1.1.7) является решением уравнения (1.1.6) при условии, что
Если в начальный момент времени положение груза было произвольным, то уравнение движения примет вид:
.
Рассмотрим, как меняется энергия груза, совершающего гармонические колебания в отсутствие внешних сил (рис.1.14). Если в момент времени t =0 грузу сообщить смещение х=А , то его полная энергия станет равной потенциальной энергии деформированной пружины , кинетическая энергия равна нулю (точка 1).
На груз действует сила F= -kx
, стремящаяся вернуть его в положение равновесия, поэтому груз движется с ускорением и увеличивает свою скорость, а, следовательно, и кинетическую энергию. Эта сила сокращает смещение груза х,
потенциальная энергия груза убывает, переходя в кинетическую. Система «груз - пружина» замкнутая, поэтому её полная энергия сохраняется, то есть:
.
(1.1.8)
В момент времени груз находится в положении равновесия (точка 2), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая максимальна . Максимальную скорость груза найдём из закона сохранения энергии (1.1.8):
За счёт запаса кинетической энергии груз совершает работу против упругой силы – и пролетает положение равновесия. Кинетическая энергия постепенно переходит в потенциальную. При груз имеет максимальное отрицательное смещение –А, кинетическая энергия Wk =0, груз останавливается и начинает движение к положению равновесия под действием упругой силы F= -kx . Далее движение происходит аналогично.
Маятники
Под маятником понимают твёрдое тело, которое совершает под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Различают физический и математический маятники.
Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной материальной точке.
Математическим маятником, например, является шарик на длинной тонкой нити.
Отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом φ
, который образует нить с вертикалью (рис.1.15). При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент внешних сил (силы тяжести) : 
, где m
– масса,
– длина маятника
Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия (аналогично квазиупругой силе) и направлен противоположно смещению φ , поэтому в формуле стоит знак «минус».
Уравнение динамики вращательного движения для маятника имеет вид: Iε= ,
.
Будем рассматривать случай малых колебаний, поэтому sin φ ≈φ , обозначим ,
имеем: 
, или
, и окончательно
Это уравнение гармонических колебаний, его решение:
.
Частота колебаний математического маятника определяется только его длиной и ускорением силы тяжести, и не зависит от массы маятника. Период равен:
Если колеблющееся тело нельзя представить, как материальную точку, то маятник называют физическим (рис.1.1.6). Уравнение его движения запишем в виде:
.
В случае малых колебаний 
,
или
=0 , где .
Это уравнение движения тела, совершающего гармонические колебания. Частота колебаний физического маятника зависит от его массы, длины и момента инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса.
Обозначим . Величина называется приведённой длинной физического маятника. Это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведённой длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (О’ ). Если маятник подвесить в центре качания, то приведённая длина и период колебаний будут теми же, что и в точке О . Таким образом, точка подвеса и центр качания обладают свойствами взаимности: при переносе точки подвеса в центр качения прежняя точка подвеса становится новым центром качения.
Математический маятник, который качается с таким же периодом, как и рассматриваемый физический, называется изохронным данному физическому маятнику.
1.1.4. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Векторное описание сложения колебаний
Сложение одинаково направленных колебаний можно производить методом векторных диаграмм. Любое гармоническое колебание можно представить в виде вектора следующим образом. Выберем ось х с началом отсчета в точке О (рис.1.1.7)
Из точки О построим вектор , который составляет угол с осью х . Пусть этот вектор поворачивается с угловой скоростью . Проекция вектора на ось Х равна:
то есть она совершает гармонические колебания с амплитудой а.
Рассмотрим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой циклической малой , заданные векторами и . Смещения по оси Х равны:
результирующий вектор имеет проекцию и представляет собой результирующее колебание (рис.1.1.8), по теореме косинусов Таким образом, сложение гармонических колебаний производится сложением векторов.
Проведем сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть материальная точка совершает два взаимно перпендикулярных колебания частотой :
.
Сама материальная точка при этом будет двигаться по некоторой криволинейной траектории.
Из уравнения движения следует: 
,
. (1.1.9)
Из уравнения (1.1.9) можно получить уравнение эллипса (рис.1.1.9):
Рассмотрим частные случаи этого уравнения:
1. Разность фаз колебаний α=
0. При этом 
т.е. или Это уравнение прямой, и результирующее колебание происходит вдоль этой прямой с амплитудой (рис.1.1.10).
2. Если разность фаз то уравнение (1.1.9) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, При материальная точка движется по окружности, уравнение которой (рис.1.1.11).
3. Если частоты колебаний неодинаковы, то материальная точка описывает фигуры Лиссажу (рис.1112).
Рассмотрим сложение колебаний одного направления, частоты которых мало отличаются друг от друга. В этом случае результирующее движение можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями.
Пусть частота одного колебания , второго 
. Амплитуды обоих колебаний одинаковы и равны а.
Начальные фазы равны нулю. В таком случае уравнения колебаний имеют вид:
Сложим эти выражения:
График функции х(t)
представлен на рис. 1.1.13. Множитель 
меняется гораздо медленнее, чем , поэтому (1.1.10) можно рассматривать как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого меняется по некоторому периодическому закону
Тема. Колебания груза на пружине. Математический
маятник
Цель урока: ознакомить учащихся с законами колебаний
пружинного и математического маятников
Тип урока: изучение нового материала
План урока
Контроль знаний 5 мин.1. Что такое гармонические колебания?
2. Уравнение гармонических колебаний.
3. Что такое фаза колебаний?
4. Графики гармонических колебаний
Демонстрации
5 мин.1. Свободные колебания пружинного маятника.
Изучение нового
материала
25
мин.
2. Зависимость периода колебаний груза на
пружине от упругих свойств пружины и массы
груза.
3. Свободные колебания математического
маятника.
4. Зависимость периода колебаний
математического маятника от его длины
1. Процесс колебаний пружинного маятника.
2. Период колебаний пружинного маятника.
4. Математический маятник.
5. Период колебаний математического
маятника
Закрепление
изученного
материала
10
мин.
1. Тренируемся решать задачи.
2. Контрольные вопросы
ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА
1. Процесс колебаний пружинного маятника
Для того, чтобы описать колебания (листья и колосья; воздуха в
органных трубах и трубах духовых музыкальных
инструментов); для расчета вибрации (корпусов автомашин,
укрепленных на рессорах; фундаментов зданий и станков),
введем модель реальных колебательных систем - пружинный
маятник.
Рассмотрим колебания тележки массой m, прикрепленного к
вертикальной стене пружиной жесткостью k.
Будем считать, что:
1) сила трения, которая действует на тележку, очень мала,
поэтому можно не учитывать ее. В этом случае колебания
пружинного маятника будут незатухаючими;
2) деформации пружины в процессе колебаний тела
незначительны, поэтому их можно считать упругими и
применить закон Гука:
Рассмотрим колебания пружинного маятника более детально.
Когда тележка удаляется от положения равновесия на
расстояние А справа, пружина оказывается растянутой и на
тележку действует максимальная сила упругости Fnp = kA.
Затем тележка начинает двигаться влево с ускорением, что
меняется: удлинение пружины уменьшается и сила упругости
(и ускорение) также уменьшаются. Через четверть периода
тележка вернется в положение равновесия. В этот момент сила
упругости и ускорение равны нулю, а скорость достигает
максимального значения.
По инерции тележка продолжит движение, и возникнет сила
упругости, увеличивается. Она начнет тормозить движение
бруска и на расстоянии А от положения равновесия тележка на
мгновение остановится. От момента начала колебаний прошла
половина периода.
Следующую половину периода движение тележки будет точно
таким, только в обратном направлении.
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что, согласно
закону Гука, сила упругости направлена против удлинения
пружины: сила упругости «толкала» тележка к положению
равновесия.
Следовательно, свободные колебания пружинного маятника
обусловлены следующими причинами:
1) действием на тело силы упругости, всегда направленной в
сторону положения равновесия;
2) инертностью колеблющегося тела, благодаря которой оно не
останавливается в положении равновесия, а продолжает
двигаться в том же направлении.
2. Период колебаний пружинного маятника
Первую характерную примету колебаний пружинного маятника
можно установить, постепенно увеличивая массу подвешенных
к пружины грузиков. Подвешивая к пружине грузики разной
массы, мы замечаем, что с увеличением массы тяжелый период
колебаний груза увеличивается. Например, вследствие
увеличения массы тяжелая в 4 раза период колебаний
увеличивается вдвое:
Вторую характерную примету можно установить, меняя
пружины. Проведя серию измерений, легко обнаружить, что тот
же груз быстрее колеблется на жесткой пружине и медленнее -
на мягкой, то есть:
Третья особенность пружинного маятника заключается в том,
что период его колебаний не зависит от ускорения свободного
падения. В этом нетрудно убедиться, используя метод
«увеличения земного притяжения» за счет сильного магнита,
который подкладывается под груз что колеблется.
Таким образом,
период колебаний пружинного маятника не зависит от
Зная период колебаний, легко вычислить частоту и
циклическую частоту колебаний:
3. Уравнение гармонических колебаний
Рассмотрим колебания тележки с точки зрения динамики. На
коляску во время движения действуют три силы: сила реакции
опоры
, сила тяжести m и сила упругости пр. Запишем
уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:
Спроецируем это уравнение на горизонтальную и
вертикальную оси:
Согласно закону Гука:
Таким образом, имеем:
Это уравнение называют уравнением свободных колебаний
пружинного маятника.
Обозначим: ω2 = k/m. Тогда уравнение движения груза будет
иметь вид: ах = -ω2х. Уравнения такого вида называют
дифференциальными уравнениями.
Решением такого
уравнения является функция x = Acosωt.
4. Математический маятник
Чтобы вычислить период колебаний груза, висящего на нитке,
необходимо немного «идеализировать» задачу. Во-первых,
будем считать, что размеры груза намного меньше длины нити,
а нить - нерастяжимая и невесомая. Во-вторых, будем считать
угол отклонения маятника достаточно малым (не более 10-15°).
точка.
Рассмотрим колебания математического маятника. Для этого
возьмем небольшую, но достаточно тяжелую, шарик и
подвесим ее на длинную нерозтяжну нить.
Рассматривая колебания математического маятника, мы
приходим к выводу, что причины, которые обусловливают
свободные колебания, такие же, как и в случае пружинного
маятника (см. рис. а-д):
1) действие на шарик сил, равнодействующая которых всегда
направлена в сторону положения равновесия;
2) инертность колеблющейся шарики, благодаря которой она
не останавливается в положении равновесия.
5. Период колебаний математического маятника
Докажем,
гармонические колебания.
Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось
ОХ (см. рис.):
Что математический маятник совершает
Tx + mgx = mах.
Поскольку Тх = 0, то mgx = -mgsin и мы получаем уравнение:
-mgsin = mах, или -gsin = ax.
Значение sin можно рассчитать из треугольника ОАС - он
равен отношению катета ОА до гипотенузы ОС. Если углы
малые, ОС ≈ l, где l - длина нити, а ОА ≈ х, где х - отклонение
шарика от положения равновесия. Поэтому sin = x/l.
Окончательно получаем:
Обозначив ω2 = g/l, имеем уравнения для свободных колебаний
математического маятника:
Циклическая частота колебаний математического маятника:
Воспользовавшись соотношением Т = 2 /ω, найдем формулу
для периода колебаний математического маятника:
маятник.
Известно, что в разных точках земного шара ускорение
свободного падения разное. Оно зависит не только от формы
Земли, но и от наличия в ее недрах тяжелых (металлы) или
легких (газ, нефть) веществ. А следовательно, и период
колебаний маятника в разных точках будет разным. Это
свойство используется, в частности, во время поисков залежей
полезных ископаемых.
Вопрос к ученикам во время изложения нового материала
1. Как изменится период колебаний пружинного маятника
вследствие изменения массы груза? жесткости пружины?
2. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если
расположить под ним магнит?
увеличить амплитуду колебаний.
4. При каком условии колебания математического маятника
можно считать гармоническими?
5. Почему шарик колеблется на длинной нитке, не
останавливается в момент прохождения положения
равновесия?
6. Как изменится период колебаний математического маятника,
если массу груза увеличить? уменьшить?
ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА
1). Тренируемся решать задачи
1. Подвешенный на пружине груз, находясь в равновесии,
растягивает пружину на 10 см. Достаточно ли этих данных,
чтобы вычислить период колебаний груза на пружине?
2. Когда к пружине подвесили груз, она растянулась на 20 см.
Груз отвели вниз и отпустили. Чему равен период Т колебаний,
что возникли?
3. Стальной шарик, подвешенный к пружине, совершает
вертикальные колебания. Как изменится период колебаний,
если к пружине подвесить медный шарик того же радиуса?
4. Вычислите жесткость пружины, если подвешенный на ней
груз массой 700 г совершает 18 колебаний за 21 с.
5. Каково соотношение длин двух математических маятников,
если один из них осуществляет 31 колебания, а второй за точно
такой промежуток времени - 20 колебаний?
2). Контрольные вопросы
1. Назовите причины колебаний пружинного маятника.
2. Можно использовать пружинный маятник для расчета
ускорения свободного падения?
3. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если
массу груза увеличить в 4 раза и одновременно увеличить в 4
раза жесткость пружины?
4. Назовите основные свойства математического маятника. Где
их используют?
5. Что общего у пружинного и математического маятников?
Что мы узнали на уроке
Пружинный маятник - это колебательная система,
представляющая собой тело, закрепленное на пружине.
Период колебаний пружинного маятника не зависит от
ускорения свободного падения и тем меньше, чем меньше
масса груза и более жесткая пружина:
Частота и циклическая частота колебаний пружинного
маятника:
Уравнение свободных колебаний пружинного маятника:
Математическим маятником называется идеализированная
колебательная система без трения, состоящую из невесомой и
нерастяжимого нити, на которой подвешена материальная
точка.
Период свободных колебаний математического маятника не
зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и
ускорением свободного падения в том месте, где находится
маятник:
Уравнение свободных колебаний математического маятника:
Домашнее задание
При механических колебаниях тела на пружине, координата тела будет периодически изменяться. При этом будем меняться проекция скорости тела на ось Ох. В электромагнитных колебаниях с течение времени по периодическому закону будет изменяться заряд q конденсатора, и сила тока в цепи колебательного контура.
Величины будут иметь одинаковый характер изменения. Это происходит потому, что имеется аналогия между условиями, в которых возникают колебания. Когда мы отводим груз на пружине из положения равновесии, в пружине возникает сила упругости F упр., которая стремится вернуть груз обратно, в положение равновесия. Коэффициентом пропорциональности этой силы будет являться жесткость пружины k.
При разрядке конденсатора в цепи колебательного контура появляется ток. Разрядка обусловлена тем, что на пластинах конденсатора есть напряжение u. Это напряжение будет пропорционально заряду q любой из пластин. Коэффициентом пропорциональности будет служить величина 1/C, Где С - емкость конденсатора.
При движении груза на пружине, когда мы отпускаем его, скорость тела увеличивается постепенно, вследствие инертности. И после прекращения силы скорость тела не становится сразу равной нулю, она тоже постепенно уменьшается.
Механическое движение. Траектория, путь, перемещение. Механическое движение - изменение положения тела в пространстве относительно других тел. Траектория движения - линия, вдоль которой двигается тело. По форме траектории движение тел может быть прямолинейным и криволинейным. Прямолинейное равномерное движение - движение, при котором тело за любые (!) равные (!) промежутки времени проходит одинаковые пути.
Относительность движения означает, что характеристики движения (траектория, путь, скорость и др.) зависят от выбора тела отсчета. Тело отсчета - тело, относительно которое рассматривают движение. Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях пренебрегают. (масса тела сосредоточена в этой точке)
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.
Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):
Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .
Таким образом, груз некоторой массы m , прикрепленный к пружине жесткости k , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .
Круговая частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона :
При горизонтальном расположении системы пружина-груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x 0 , равную
Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде
Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 или период T . Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.
Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x m = Δl , φ 0 = 0.
Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость ± υ 0 , то ,
Таким образом, амплитуда x m свободных колебаний и его начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями .
Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M упр упругой деформации кручения:
где I = I C - момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε - угловое ускорение.
По аналогии с грузом на пружине можно получить:
Свободные колебания. Математический маятник
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити . При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = -mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l , то его угловое смещение будет равно φ = x / l . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:
 |
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x , а
Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15-20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.
Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .
Следовательно,
|
Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:
и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид (см. §1.23)
Здесь ω 0 - собственная частота малых колебаний физического маятника .
Следовательно,
Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
Окончательно для круговой частоты ω 0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:
|
Превращения энергии при свободных механических колебаниях
При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия - это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника - это энергия в поле тяготения Земли.
Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.
Для груза на пружине (см. §2.2):
В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими (рис. 2.4.2).
Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем затухания .
Частота свободных колебаний зависит от скорости затухания колебаний. При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания быстро затухают.
Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q . Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π:
Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний.
Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания
Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными .
Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .
Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .
После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.
В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса - вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω 0 . Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.
Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону
Если левый конец пружины смещен на расстояние y , а правый - на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δl равно:
В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части - это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое - внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой .
Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: Тогда запишется в виде
Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты - частоту ω 0 свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.
Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону
|
Амплитуда вынужденных колебаний x m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω 0 и ω и от амплитуды y m внешней силы.
На очень низких частотах, когда ω << ω 0 , движение тела массой m , прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x (t ) = y (t ), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при ω << ω 0 стремится к нулю.
Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω 0 , возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом . Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2).
При резонансе амплитуда x m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду y m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.
У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.
Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.
Вынужденные колебания - это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными , а процесс незатухающих колебаний в таких системах - автоколебаниями . В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента - колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).
Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.
Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник - балансиром - маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир.
Источником энергии - поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.
Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.
 |
| Рисунок 2.5.4. Часовой механизм с маятником. |