Parce que vitesse de la ligne change uniformément de direction, alors le mouvement le long du cercle ne peut pas être qualifié d'uniforme, il est uniformément accéléré.
Vitesse angulaire
Choisissez un point sur le cercle 1 . Construisons un rayon. Pour une unité de temps, le point se déplacera au point 2 . Dans ce cas, le rayon décrit l'angle. La vitesse angulaire est numériquement égale à l'angle de rotation du rayon par unité de temps.
Période et fréquence
Période de rotation J c'est le temps qu'il faut au corps pour faire un tour.
RPM est le nombre de tours par seconde.
La fréquence et la période sont liées par la relation
Relation avec la vitesse angulaire
Vitesse de la ligne
Chaque point du cercle se déplace à une certaine vitesse. Cette vitesse est dite linéaire. La direction du vecteur vitesse linéaire coïncide toujours avec la tangente au cercle. Par exemple, des étincelles sous un broyeur se déplacent en répétant la direction de la vitesse instantanée.
Considérons un point sur un cercle qui fait un tour, le temps passé - c'est la période J. Le chemin parcouru par un point est la circonférence d'un cercle.
accélération centripète
Lors d'un déplacement le long d'un cercle, le vecteur accélération est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse, dirigé vers le centre du cercle.
En utilisant les formules précédentes, nous pouvons déduire les relations suivantes
Les points situés sur la même ligne droite émanant du centre du cercle (par exemple, il peut s'agir de points situés sur le rayon de la roue) auront les mêmes vitesses angulaires, période et fréquence. Autrement dit, ils tourneront de la même manière, mais avec des vitesses linéaires différentes. Plus le point est éloigné du centre, plus il se déplacera rapidement.
La loi d'addition des vitesses est également valable pour le mouvement de rotation. Si le mouvement d'un corps ou d'un référentiel n'est pas uniforme, alors la loi s'applique aux vitesses instantanées. Par exemple, la vitesse d'une personne marchant le long du bord d'un carrousel en rotation est égale à la somme vectorielle de la vitesse linéaire de rotation du bord du carrousel et de la vitesse de la personne.
La Terre participe à deux mouvements de rotation principaux : journalier (autour de son axe) et orbital (autour du Soleil). La période de rotation de la Terre autour du Soleil est de 1 an ou 365 jours. La Terre tourne autour de son axe d'ouest en est, la période de cette rotation est de 1 jour ou 24 heures. La latitude est l'angle entre le plan de l'équateur et la direction du centre de la Terre à un point de sa surface.
Selon la deuxième loi de Newton, la cause de toute accélération est une force. Si un corps en mouvement subit une accélération centripète, la nature des forces qui provoquent cette accélération peut être différente. Par exemple, si un corps se déplace en cercle sur une corde qui lui est attachée, alors force active est la force élastique.
Si un corps reposant sur un disque tourne avec le disque autour de son axe, alors une telle force est la force de frottement. Si la force cesse d'agir, le corps continuera à se déplacer en ligne droite
Considérez le mouvement d'un point sur un cercle de A à B. La vitesse linéaire est égale à v Un Et vB respectivement. L'accélération est le changement de vitesse par unité de temps. Trouvons la différence des vecteurs.
Caractéristiques discutées précédemment mouvement rectiligne: mouvement, vitesse, accélération. Leurs homologues en mouvement de rotation sont : déplacement angulaire, vitesse angulaire, accélération angulaire.
- Le rôle du déplacement dans le mouvement de rotation est joué par coin;
- L'angle de rotation par unité de temps est vitesse angulaire;
- La variation de la vitesse angulaire par unité de temps est accélération angulaire.
Pendant un mouvement de rotation uniforme, le corps se déplace en cercle avec la même vitesse, mais avec une direction changeante. Par exemple, un tel mouvement est effectué par les aiguilles de l'horloge sur le cadran.
Supposons qu'une balle tourne uniformément sur un fil de 1 mètre de long. Ce faisant, il décrira un cercle d'un rayon de 1 mètre. La longueur d'un tel cercle: C = 2πR = 6,28 m
Le temps qu'il faut à la balle pour faire un tour complet autour de la circonférence s'appelle période de rotation - T.
Pour calculer la vitesse linéaire de la balle, il faut diviser le déplacement par le temps, c'est-à-dire circonférence par période de rotation :
V = C/T = 2πR/T
Période de rotation :
T = 2πR/V
Si notre boule fait un tour en 1 seconde (période de rotation = 1s), alors sa vitesse linéaire :
V = 6,28/1 = 6,28 m/s
2. Accélération centrifuge
En tout point du mouvement de rotation de la balle, le vecteur de sa vitesse linéaire est dirigé perpendiculairement au rayon. Il est facile de deviner qu'avec une telle rotation autour du cercle, le vecteur vitesse linéaire de la balle change constamment de direction. L'accélération qui caractérise un tel changement de vitesse est appelée accélération centrifuge (centripète).
Lors d'un mouvement de rotation uniforme, seule la direction du vecteur vitesse change, mais pas l'amplitude ! Donc l'accélération linéaire = 0 . Le changement de vitesse linéaire est supporté par l'accélération centrifuge, qui est dirigée vers le centre du cercle de rotation perpendiculaire au vecteur vitesse - un c.
L'accélération centrifuge peut être calculée à l'aide de la formule : un c \u003d V 2 / R
Plus la vitesse linéaire du corps est grande et plus le rayon de rotation est petit, plus l'accélération centrifuge est grande.
3. Force centrifuge
Du mouvement rectiligne, nous savons que la force est égale au produit de la masse du corps et de son accélération.
Avec un mouvement de rotation uniforme, une force centrifuge agit sur un corps en rotation :
F c \u003d ma c \u003d mV 2 / R
Si notre balle pèse 1 kg, alors pour le maintenir sur un cercle, il faut une force centrifuge :
F c \u003d 1 6,28 2 / 1 \u003d 39,4 N
Nous rencontrons la force centrifuge dans Vie couranteà tout moment.
La force de frottement doit équilibrer la force centrifuge :
Fc \u003d mV 2 /R; F tr \u003d μmg
F c \u003d F tr; mV 2 /R = μmg
V = √μmgR/m = √μgR = √0,9 9,8 30 = 16,3 m/s = 58,5 km/h
Répondre: 58,5 km/h
Veuillez noter que la vitesse dans le virage ne dépend pas du poids du corps !
Vous avez sûrement remarqué que certains virages sur l'autoroute ont une certaine inclinaison dans le virage. De tels virages sont "plus faciles" à passer, ou plutôt, vous pouvez passer à une plus grande vitesse. Considérez quelles forces agissent sur la voiture dans un tel virage avec une inclinaison. Dans ce cas, nous ne prendrons pas en compte la force de frottement, et l'accélération centrifuge ne sera compensée que par la composante horizontale de la force de gravité :
F c \u003d mV 2 / R ou F c \u003d F n sinα
La force de gravité agit sur le corps dans le sens vertical F g = mg, qui est équilibré par la composante verticale de la force normale F n cosα:
F n cosα \u003d mg, d'où : F n \u003d mg / cos α
Nous remplaçons la valeur de la force normale dans la formule originale :
F c = F n sinα = (mg/cosα)sinα = mg sinα/cosα = mg tgα
Ainsi, l'angle d'inclinaison de la chaussée :
α \u003d arctg (F c /mg) \u003d arctg (mV 2 /mgR) \u003d arctg (V 2 /gR)
Encore une fois, notez que le poids corporel n'est pas inclus dans les calculs !
Tâche #2 : sur certains tronçons de l'autoroute, il y a un virage d'un rayon de 100 mètres. La vitesse moyenne des véhicules empruntant cette section de la route est de 108 km/h (30 m/s). Quel doit être l'angle d'inclinaison de sécurité de la plate-forme dans cette section pour que la voiture ne "décolle" pas (frottement négligé) ?
α \u003d arctan (V 2 / gR) \u003d arctan (30 2 / 9,8 100) \u003d 0,91 \u003d 42 ° Répondre: 42°. Angle assez correct. Mais, n'oubliez pas que dans nos calculs nous ne tenons pas compte de la force de frottement de la chaussée.
4. Degrés et radians
Beaucoup sont confus dans la compréhension des valeurs angulaires.
En mouvement de rotation, l'unité de mesure de base pour le déplacement angulaire est radian.
- 2π radians = 360° - cercle complet
- π radians = 180° - demi-cercle
- π/2 radians = 90° - quart de cercle
Pour convertir des degrés en radians, divisez l'angle par 360° et multipliez par 2π. Par exemple:
- 45° = (45°/360°) 2π = π/4 radians
- 30° = (30°/360°) 2π = π/6 radians
Le tableau ci-dessous montre les formules de base pour les mouvements rectilignes et rotatifs.
Nous permet d'exister sur cette planète. Comment pouvez-vous comprendre ce qui constitue une accélération centripète ? Définition de ce quantité physique présenté ci-dessous.
Observations
L'exemple le plus simple de l'accélération d'un corps se déplaçant en cercle peut être observé en faisant tourner une pierre sur une corde. Vous tirez sur la corde, et la corde tire le rocher vers le centre. A chaque instant, la corde donne à la pierre un certain mouvement, et à chaque fois dans une nouvelle direction. Vous pouvez imaginer le mouvement de la corde comme une série de secousses faibles. Une secousse - et la corde change de direction, une autre secousse - un autre changement, et ainsi de suite en cercle. Si vous lâchez soudainement la corde, les secousses s'arrêteront et, avec elles, le changement de direction de la vitesse s'arrêtera. La pierre se déplacera dans la direction tangente au cercle. La question se pose : "Avec quelle accélération le corps se déplacera-t-il à cet instant ?"
formule de l'accélération centripète
Tout d'abord, il convient de noter que le mouvement du corps en cercle est complexe. La pierre participe à deux types de mouvement à la fois : sous l'action d'une force, elle se déplace vers le centre de rotation, et en même temps, tangentiellement au cercle, elle s'éloigne de ce centre. Selon la deuxième loi de Newton, la force qui maintient une pierre sur une corde est dirigée vers le centre de rotation le long de cette corde. Le vecteur d'accélération y sera également dirigé.
Soit pendant un certain temps t, notre pierre, se déplaçant uniformément à une vitesse V, va du point A au point B. Supposons qu'au moment où le corps franchit le point B, la force centripète cesse d'agir sur lui. Ensuite, pendant un certain temps, il toucherait le point K. Il se trouve sur la tangente. Si en même temps seules des forces centripètes agissaient sur le corps, alors au temps t, se déplaçant avec la même accélération, il aboutirait au point O, qui est situé sur une droite représentant le diamètre d'un cercle. Les deux segments sont des vecteurs et obéissent à la règle d'addition vectorielle. Par suite de la sommation de ces deux mouvements pendant une durée t, on obtient le mouvement résultant le long de l'arc AB.
Si l'intervalle de temps t est pris négligeable, alors l'arc AB différera peu de la corde AB. Ainsi, il est possible de remplacer le mouvement selon un arc par un mouvement selon une corde. Dans ce cas, le mouvement de la pierre le long de la corde obéira aux lois du mouvement rectiligne, c'est-à-dire que la distance AB parcourue sera égale au produit de la vitesse de la pierre et du temps de son mouvement. AB = V x t.
Notons l'accélération centripète souhaitée par la lettre a. Ensuite, le chemin parcouru uniquement sous l'action de l'accélération centripète peut être calculé par la formule mouvement uniformément accéléré:
La distance AB est égale au produit de la vitesse et du temps, soit AB = V x t,
AO - calculé plus tôt en utilisant la formule de mouvement uniformément accéléré pour se déplacer en ligne droite : AO = à 2/2.
En remplaçant ces données dans la formule et en les transformant, nous obtenons une formule simple et élégante pour l'accélération centripète :
En mots, cela peut être exprimé comme suit : l'accélération centripète d'un corps se déplaçant dans un cercle est égale au quotient de la division de la vitesse linéaire au carré par le rayon du cercle le long duquel le corps tourne. La force centripète dans ce cas ressemblera à l'image ci-dessous.
Vitesse angulaire
La vitesse angulaire est égale à la vitesse linéaire divisée par le rayon du cercle. vrai et déclaration inverse: V = ωR, où ω est la vitesse angulaire
Si nous remplaçons cette valeur dans la formule, nous pouvons obtenir l'expression de l'accélération centrifuge pour la vitesse angulaire. Il ressemblera à ceci:
Accélération sans changement de vitesse
Et pourtant, pourquoi un corps avec une accélération dirigée vers le centre ne se déplace-t-il pas plus vite et ne se rapproche-t-il pas du centre de rotation ? La réponse réside dans le libellé de l'accélération elle-même. Les faits montrent que le mouvement circulaire est réel, mais qu'il nécessite une accélération vers le centre pour le maintenir. Sous l'action de la force provoquée par cette accélération, il y a un changement dans l'élan, à la suite duquel la trajectoire du mouvement est constamment courbée, changeant tout le temps la direction du vecteur vitesse, mais ne le changeant pas valeur absolue. Se déplaçant en cercle, notre pierre qui souffre depuis longtemps se précipite vers l'intérieur, sinon elle continuerait à se déplacer tangentiellement. A chaque instant, partant sur une tangente, la pierre est attirée vers le centre, mais n'y tombe pas. Un autre exemple d'accélération centripète serait un skieur nautique faisant de petits cercles sur l'eau. La figure de l'athlète est inclinée; il semble tomber, continuer à bouger et se pencher en avant.
Ainsi, nous pouvons conclure que l'accélération n'augmente pas la vitesse du corps, puisque les vecteurs vitesse et accélération sont perpendiculaires l'un à l'autre. Ajoutée au vecteur vitesse, l'accélération ne fait que modifier la direction du mouvement et maintient le corps en orbite.
Marge de sécurité dépassée
Dans l'expérience précédente, nous avions affaire à une corde idéale qui ne cassait pas. Mais, disons que notre corde est la plus courante, et vous pouvez même calculer l'effort après lequel elle se cassera tout simplement. Pour calculer cette force, il suffit de comparer la marge de sécurité de la corde avec la charge qu'elle subit lors de la rotation de la pierre. En faisant tourner la pierre à une vitesse plus élevée, vous lui donnez plus de mouvement, et donc plus d'accélération.
Avec un diamètre de corde de jute d'environ 20 mm, sa résistance à la traction est d'environ 26 kN. Il est à noter que la longueur de la corde n'apparaît nulle part. En faisant tourner une charge de 1 kg sur une corde de 1 m de rayon, on peut calculer que la vitesse linéaire nécessaire pour la rompre est de 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Ainsi, la vitesse qu'il est dangereux de dépasser sera être égal à √ 26 x 10 3 \u003d 161 m / s.
La gravité
Lors de l'examen de l'expérience, nous avons négligé l'action de la gravité, car avec un tel vitesses élevées son influence est négligeable. Mais vous pouvez voir qu'en déroulant une longue corde, le corps décrit une trajectoire plus complexe et se rapproche progressivement du sol.
corps célestes
Si nous transférons les lois du mouvement circulaire dans l'espace et les appliquons au mouvement des corps célestes, nous pouvons redécouvrir plusieurs formules familières depuis longtemps. Par exemple, la force avec laquelle un corps est attiré vers la Terre est connue par la formule :
Dans notre cas, le facteur g est l'accélération centripète très dérivée de la formule précédente. Seulement dans ce cas, le rôle de la pierre jouera corps céleste, attiré par la Terre, et le rôle de la corde est la force la gravité. Le facteur g sera exprimé en fonction du rayon de notre planète et de la vitesse de sa rotation.
Résultats
L'essence de l'accélération centripète est le travail dur et ingrat de maintenir un corps en mouvement en orbite. Un cas paradoxal est observé lorsque, avec une accélération constante, le corps ne change pas de vitesse. Pour un esprit non entraîné, une telle affirmation est plutôt paradoxale. Néanmoins, lors du calcul du mouvement d'un électron autour du noyau, et lors du calcul de la vitesse de rotation d'une étoile autour d'un trou noir, l'accélération centripète joue un rôle important.
Définition
accélération centripète est appelée la composante d'accélération totale point matériel, se déplaçant le long d'une trajectoire curviligne, qui détermine le taux de variation de la direction du vecteur vitesse.
L'autre composante de l'accélération totale est l'accélération tangentielle, qui est responsable de la variation de l'amplitude de la vitesse. Désigne l'accélération centripète, généralement $(\overline(a))_n$. L'accélération centripète est aussi appelée normale.
L'accélération centripète vaut :
\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )=\frac(v^2)(r)(\overline(e))_r\left (1\droite),\]
où $(\overline(e))_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ est un vecteur unitaire dirigé du centre de courbure de la trajectoire vers le point considéré ; $r$ est le rayon de courbure de la trajectoire à l'emplacement du point matériel à l'instant considéré.
H. Huygens a été le premier à obtenir des formules correctes pour calculer l'accélération centripète.
L'unité d'accélération centripète dans le Système international d'unités est le mètre divisé par une seconde au carré :
\[\left=\frac(m)(s^2).\]
La formule de l'accélération centripète avec un mouvement uniforme d'un point le long d'un cercle
Considérons le mouvement uniforme d'un point matériel le long d'un cercle. Avec un tel déplacement, la valeur de la vitesse d'un point matériel est inchangée ($v=const$). Mais cela ne signifie pas que l'accélération totale d'un point matériel dans ce type de mouvement est nulle. Le vecteur vitesse instantanée est dirigé tangentiellement au cercle le long duquel le point se déplace. Par conséquent, dans ce mouvement, la vitesse change constamment de direction. Il s'ensuit que le point a une accélération.
Considérons les points A et B situés sur la trajectoire de la particule. Nous trouvons le vecteur de changement de vitesse pour les points A et B comme :
\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(2\right).\]
Si le temps mis pour se déplacer du point A au point B tend vers zéro, alors l'arc AB ne diffère pas beaucoup de la corde AB. Les triangles AOB et BMN sont semblables, on obtient :
\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(R)=\alpha \left(3\right).\]
La valeur du module d'accélération moyenne est déterminée comme suit :
\[\left\langle a\right\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(R\Delta t)\left(4\right).\]
Passons à la limite en $\Delta t\to 0\ $ de $\left\langle a\right\rangle \ \ $ dans la formule (4) :
Le vecteur accélération moyenne fait un angle égal au vecteur vitesse :
\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\left(6\right).\]
Pour $\Delta t\to 0\ $ l'angle est $\alpha \to 0.$ Il s'avère que le vecteur accélération instantanée fait un angle $\frac(\pi )(2)$ avec le vecteur vitesse.
Et pour qu'un point matériel se déplaçant uniformément le long d'un cercle ait une accélération dirigée vers le centre du cercle ($(\overline(a))_n\bot \overline(v)$), sa valeur est égale à la vitesse carré divisé par le rayon des cercles :
où $\omega $ est la vitesse angulaire du point matériel ($v=\omega \cdot R$). Sous forme vectorielle, la formule de l'accélération centripète peut être écrite sur la base de (7) comme suit :
\[(\overline(a))_n=-(\omega )^2\overline(R)\ \left(8\right),\]
où $\overline(R)$ est le rayon-vecteur, de longueur égale au rayon de l'arc de cercle, dirigé du centre de courbure à l'emplacement du point matériel considéré.
Exemples de problèmes avec une solution
Exemple 1
Exercer.Équation vectorielle $\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin \left(\omega t\right )\ )\ )$, où $\omega =2\ \frac(rad)(c),$ décrit le mouvement d'un point matériel. Quelle est la trajectoire de ce point ? Quel est le module de son accélération centripète ? Considérez que toutes les quantités sont dans le système SI.
Solution. Considérons l'équation du mouvement d'un point :
\[\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t)\ )\ ) \ \gauche(1.1\droite).\]
Dans un repère cartésien, cette équation est équivalente au système d'équations :
\[\left\( \begin(array)(c) x=(\cos \left(\omega t\right);;\ ) \\ y=(\sin \left(\omega t\right)\ ) \end(array)\left(1.2\right).\right.\]
Afin de comprendre sur quelle trajectoire le point se déplace, nous devons exclure le temps des équations du système (1.2). Pour ce faire, nous élevons les deux équations au carré et les additionnons :
De l'équation (1.3) on voit que la trajectoire du point est un cercle (Fig. 2) de rayon $R=1$ m.
Pour trouver l'accélération centripète, on utilise la formule :
Nous déterminons le module de vitesse à l'aide du système d'équations (1.2). Trouvons les composantes de vitesse égales à :
\[\left\( \begin(array)(c) v_x=\frac(dx)(dt)=-\omega (\sin \left(\omega t\right)\ ), \\ v_y=\frac( dy)(dt)=\omega ((\cos \left(\omega t\right)\ ) ,\ ) \end(array) \right.\left(1.5\right).\]
Le carré du module de vitesse sera égal à :
D'après ce que le module de vitesse (1.6) s'est avéré être, nous voyons que notre point se déplace uniformément autour du cercle, par conséquent, l'accélération centripète coïncidera avec l'accélération totale.
En substituant $v^2$ de (1.6) dans la formule (1.4), nous avons :
Calculons $a_n$ :
$a_n=\frac(4)(1)=4\ \left(\frac(m)(c^2)\right).$
Répondre. 1) Cercle ; 2) $a_n=4\ \frac(m)(c^2)$
Exemple 2
Exercer. Quelle est l'accélération centripète des points sur le bord du disque au temps $t=2$c si le disque tourne selon l'équation : $\varphi (t)=3+2t^3$ ? Le rayon du disque est $R=0,(\rm 1)$ m.
Solution. L'accélération centripète des points du disque sera recherchée en appliquant la formule :
Nous trouvons la vitesse angulaire en utilisant l'équation $\varphi (t)=3+2t^3$ comme suit :
\[\omega =\frac(d\varphi )(dt)=6t^2.\ \]
Pour $t=2\ $c la vitesse angulaire est :
\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac(rad)(c)\right).\]
Vous pouvez calculer l'accélération centripète à l'aide de la formule (2.1) :
Répondre.$a_n=57.6\frac(m)(s^2)$