Comment trouver la plus grande valeur d'une fonction sur un intervalle. Nous résolvons les problèmes B14 de l'examen. Algorithme d'étude de la convexité et du point d'inflexion

Et pour le résoudre, vous avez besoin d'une connaissance minimale du sujet. La prochaine année universitaire se termine, tout le monde veut partir en vacances, et afin de rapprocher ce moment, je me mets immédiatement au travail :

Commençons par le domaine. La zone visée dans la condition est limité fermé ensemble de points dans le plan. Par exemple, un ensemble de points délimités par un triangle, y compris le triangle ENTIER (si de les frontières"Poke out" au moins un point, alors la zone ne sera plus fermée). En pratique, il existe également des zones de formes rectangulaires, rondes et légèrement plus complexes. Il convient de noter que dans la théorie de l'analyse mathématique, des définitions strictes sont données limites, isolement, limites, etc., mais je pense que tout le monde est conscient de ces concepts à un niveau intuitif, et plus n'est pas nécessaire maintenant.

La surface plane est normalement désignée par la lettre , et, en règle générale, est donnée analytiquement - par plusieurs équations (pas nécessairement linéaire); moins souvent les inégalités. Un chiffre d'affaires verbal typique : "zone fermée délimitée par des lignes".

Une partie intégrante de la tâche à l'étude est la construction de la zone sur le dessin. Comment faire? Il faut tracer toutes les lignes listées (dans ce cas 3 droit) et analysez ce qui s'est passé. La zone souhaitée est généralement légèrement hachurée et sa bordure est mise en évidence par une ligne en gras :

La même zone peut être définie inégalités linéaires: , qui pour une raison quelconque sont plus souvent écrites comme une liste d'énumération, et non système.
Puisque la frontière appartient à la région, alors toutes les inégalités, bien sûr, non strict.

Et maintenant le nœud du problème. Imaginez que l'axe va directement vers vous à partir de l'origine des coordonnées. Considérons une fonction qui continu dans chaque point de zone. Le graphique de cette fonction est surface, et le petit bonheur est que pour résoudre le problème d'aujourd'hui, nous n'avons pas du tout besoin de savoir à quoi ressemble cette surface. Il peut être situé au-dessus, en dessous, traverser l'avion - tout cela n'a pas d'importance. Et ce qui suit est important : selon Théorèmes de Weierstrass, continu V limité fermé zone, la fonction atteint son maximum (du "plus haut") et le moins (des "plus bas") valeurs à trouver. Ces valeurs sont atteintes ou V points fixes, appartenant à la régionD , ou aux points situés à la limite de cette région. D'où découle un algorithme de solution simple et transparent :

Exemple 1

Dans un espace clos limité

Solution: Tout d'abord, vous devez représenter la zone sur le dessin. Malheureusement, il m'est techniquement difficile de faire une maquette interactive du problème, et je vais donc tout de suite donner l'illustration finale, qui montre tous les points "suspects" trouvés lors de l'étude. Habituellement, ils sont déposés les uns après les autres au fur et à mesure qu'ils sont trouvés:

Sur la base du préambule, la décision peut être commodément divisée en deux points :

I) Trouvons les points stationnaires. Il s'agit d'une action standard que nous avons effectuée à plusieurs reprises dans la leçon. sur les extrema de plusieurs variables:

Point stationnaire trouvé fait parti domaines : (notez-le sur le dessin), ce qui signifie qu'il faut calculer la valeur de la fonction en un point donné :

- comme dans l'article La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment, je soulignerai les résultats importants en gras. Dans un cahier, il est pratique de les encercler avec un crayon.

Faites attention à notre deuxième bonheur - ça ne sert à rien de vérifier condition suffisante pour un extremum. Pourquoi? Même si au point où la fonction atteint, par exemple, minimale locale, cela NE SIGNIFIE PAS que la valeur résultante sera minimal dans toute la région (voir le début de la leçon sur les extrêmes inconditionnels) .

Que se passe-t-il si le point stationnaire n'appartient PAS à la zone ? Presque rien! Il convient de le noter et de passer au paragraphe suivant.

II) Nous enquêtons sur la frontière de la région.

La bordure étant constituée des côtés d'un triangle, il convient de diviser l'étude en 3 sous-paragraphes. Mais il vaut mieux ne pas le faire n'importe comment. De mon point de vue, dans un premier temps, il est plus avantageux de considérer des segments parallèles aux axes de coordonnées, et en premier lieu, ceux se trouvant sur les axes eux-mêmes. Pour saisir toute la séquence et la logique des actions, essayez d'étudier la fin "en un souffle":

1) Occupons-nous du côté inférieur du triangle. Pour ce faire, on substitue directement dans la fonction :

Alternativement, vous pouvez le faire comme ceci :

Géométriquement, cela signifie que le plan de coordonnées (ce qui est également donné par l'équation)"découper" de surfaces parabole "spatiale" dont le sommet est immédiatement suspecté. Découvrons-le où est-elle:

- la valeur résultante "hit" dans la zone, et il se peut bien qu'au point (marque sur le dessin) la fonction atteint la valeur la plus grande ou la plus petite de toute la zone. Quoi qu'il en soit, faisons les calculs:

Les autres "candidats" sont, bien sûr, les extrémités du segment. Calculer les valeurs de la fonction aux points (marque sur le dessin):

Ici, au fait, vous pouvez effectuer une mini-vérification orale sur la version "dépouillée":

2) Pour étudier le côté droit du triangle, on le substitue dans la fonction et « on y met de l'ordre » :

Ici, nous effectuons immédiatement une vérification grossière, "sonnant" la fin déjà traitée du segment :
, Super.

La situation géométrique est liée au point précédent :

- la valeur résultante "est également entrée dans le champ de nos intérêts", ce qui signifie que nous devons calculer à quoi la fonction est égale au point qui est apparu :

Examinons la deuxième extrémité du segment :

Utilisation de la fonction , Allons vérifier:

3) Tout le monde sait probablement comment explorer le côté restant. On substitue dans la fonction et on effectue des simplifications :

Fins de ligne ont déjà été étudiés, mais sur le brouillon, nous vérifions toujours si nous avons trouvé la fonction correctement :
– a coïncidé avec le résultat du 1er alinéa;
– a coïncidé avec le résultat du 2e alinéa.

Reste à savoir s'il y a quelque chose d'intéressant à l'intérieur du segment :

- Il y a! En substituant une ligne droite dans l'équation, nous obtenons l'ordonnée de cet "intérêt":

Nous marquons un point sur le dessin et trouvons la valeur correspondante de la fonction :

Contrôlons les calculs selon la version "budget" :
, commande.

Et la dernière étape: Regardez ATTENTIVEMENT tous les chiffres "gras", je recommande même aux débutants de faire une seule liste :

parmi lesquels on choisit les valeurs les plus grandes et les plus petites. Répondreécrire dans le style du problème de trouver les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction sur l'intervalle:

Au cas où, je vais encore une fois commenter la signification géométrique du résultat :
– voici le point le plus élevé de la surface de la région ;
- voici le point le plus bas de la surface dans la zone.

Dans le problème analysé, nous avons trouvé 7 points "suspects", mais leur nombre varie d'une tâche à l'autre. Pour une région triangulaire, "l'ensemble d'exploration" minimum se compose de trois points. Cela se produit lorsque la fonction, par exemple, définit avion- il est bien clair qu'il n'y a pas de points fixes, et la fonction ne peut atteindre les valeurs maximales / minimales qu'aux sommets du triangle. Mais il n'y a pas de tels exemples une fois, deux fois - généralement, vous devez faire face à une sorte de surface du 2ème ordre.

Si vous résolvez un peu de telles tâches, les triangles peuvent vous faire tourner la tête, et c'est pourquoi j'ai préparé des exemples inhabituels pour que vous puissiez les rendre carrés :))

Exemple 2

Trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction dans un espace clos délimité par des lignes

Exemple 3

Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction dans une zone fermée délimitée.

Portez une attention particulière à l'ordre rationnel et à la technique d'exploration de la limite de la zone, ainsi qu'à la chaîne de vérifications intermédiaires, ce qui évitera presque complètement les erreurs de calcul. De manière générale, vous pouvez le résoudre à votre guise, mais dans certains problèmes, par exemple dans le même exemple 2, il y a toutes les chances de vous compliquer considérablement la vie. Un exemple approximatif de devoirs terminés à la fin de la leçon.

Nous systématisons l'algorithme de solution, sinon, avec ma diligence d'araignée, il s'est en quelque sorte perdu dans un long fil de commentaires du 1er exemple :

- Lors de la première étape, nous construisons une zone, il est souhaitable de l'ombrager et de mettre en évidence la bordure avec un trait épais. Pendant la résolution, des points apparaîtront qui doivent être mis sur le dessin.

– Trouver des points stationnaires et calculer les valeurs de la fonction seulement dans ceux, qui appartiennent à la région . Les valeurs obtenues sont mises en évidence dans le texte (par exemple, entourées d'un crayon). Si le point stationnaire n'appartient PAS à la zone, nous marquons ce fait avec une icône ou verbalement. S'il n'y a pas du tout de points stationnaires, nous tirons une conclusion écrite qu'ils sont absents. Dans tous les cas, cet article ne peut pas être ignoré !

– Explorer la zone frontalière. Premièrement, il est avantageux de traiter des droites parallèles aux axes de coordonnées (s'il y en a). Les valeurs de fonction calculées aux points "suspects" sont également mises en évidence. Beaucoup a été dit sur la technique de solution ci-dessus et quelque chose d'autre sera dit ci-dessous - lisez, relisez, approfondissez !

- Parmi les nombres sélectionnés, sélectionnez les valeurs les plus grandes et les plus petites et donnez une réponse. Il arrive parfois que la fonction atteigne de telles valeurs à plusieurs points à la fois - dans ce cas, tous ces points doivent être reflétés dans la réponse. Laissez, par exemple, et il s'est avéré que c'est la plus petite valeur. Ensuite on écrit que

Les derniers exemples sont consacrés à d'autres idées utiles qui seront utiles dans la pratique :

Exemple 4

Trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction dans une zone fermée .

J'ai conservé la formulation de l'auteur, dans laquelle l'aire est donnée comme une double inégalité. Cette condition peut être écrite dans un système équivalent ou sous une forme plus traditionnelle pour ce problème :

Je vous rappelle qu'avec non linéaire nous avons rencontré des inégalités sur , et si vous ne comprenez pas le sens géométrique de l'entrée, alors s'il vous plaît ne tardez pas et clarifiez la situation dès maintenant ;-)

Solution, comme toujours, commence par la construction de la zone, qui est une sorte de "semelle":

Hmm, il faut parfois ronger non seulement le granit de la science....

I) Trouver des points stationnaires :

Le système de rêve de l'idiot :)

Le point stationnaire appartient à la région, c'est-à-dire qu'il se trouve sur sa frontière.

Et donc, ce n'est rien ... la leçon amusante est allée - c'est ce que signifie boire le bon thé =)

II) Nous enquêtons sur la frontière de la région. Sans plus tarder, commençons par l'axe des abscisses :

1) Si , alors

Trouvez où se trouve le sommet de la parabole :
- Appréciez de tels moments - "frappez" droit au but, à partir duquel tout est déjà clair. Mais n'oubliez pas de vérifier :

Calculons les valeurs de la fonction aux extrémités du segment :

2) Nous traiterons la partie inférieure de la "semelle" "en une seule séance" - sans aucun complexe, nous la substituons dans la fonction, de plus, nous ne nous intéresserons qu'au segment :

Contrôle:

Maintenant, cela apporte déjà un certain renouveau à la conduite monotone sur une piste moletée. Trouvons les points critiques :

Nous décidons équation quadratique vous souvenez-vous de celui-ci ? ... Cependant, rappelez-vous, bien sûr, sinon vous ne liriez pas ces lignes =) Si dans les deux exemples précédents, les calculs en fractions décimales étaient pratiques (ce qui, soit dit en passant, est rare), alors nous attendons ici l'habituel fractions ordinaires. Nous trouvons les racines "x" et, à l'aide de l'équation, déterminons les coordonnées "jeu" correspondantes des points "candidats":

Calculons les valeurs de la fonction aux points trouvés:

Vérifiez vous-même la fonction.

Maintenant, nous étudions attentivement les trophées remportés et notons répondre:

Voici les "candidats", donc les "candidats" !

Pour une solution autonome :

Exemple 5

Trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction dans un espace clos

Une entrée avec des accolades se lit comme suit : "un ensemble de points tel que".

Parfois, dans de tels exemples, ils utilisent Méthode du multiplicateur de Lagrange, mais il est peu probable que le besoin réel de l'utiliser se produise. Ainsi, par exemple, si une fonction avec la même zone "de" est donnée, alors après substitution dans celle-ci - avec une dérivée sans difficulté; de plus, tout est tracé sur une « une ligne » (avec des signes) sans qu'il soit nécessaire de considérer séparément les demi-cercles supérieur et inférieur. Mais, bien sûr, il y a des cas plus compliqués, où sans la fonction de Lagrange (où , par exemple, est la même équation du cercle) il est difficile de s'en sortir - comme il est difficile de s'en sortir sans un bon repos !

Tout le meilleur pour réussir la session et à bientôt la saison prochaine !

Solutions et réponses :

Exemple 2 : Solution: dessinez la zone sur le dessin :

Dans la tâche B14 de l'USE en mathématiques, vous devez trouver la plus petite ou la plus grande valeur d'une fonction d'une variable. Il s'agit d'un problème plutôt banal de l'analyse mathématique, et c'est pour cette raison que chaque diplômé du secondaire peut et doit apprendre à le résoudre normalement. Analysons quelques exemples que des écoliers ont résolus lors du travail de diagnostic en mathématiques, qui a eu lieu à Moscou le 7 décembre 2011.

Selon l'intervalle sur lequel on souhaite trouver la valeur maximale ou minimale de la fonction, l'un des algorithmes standards suivants est utilisé pour résoudre ce problème.

I. Algorithme pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction sur un segment :

Trouver la dérivée d'une fonction.
Sélectionner parmi les points suspectés d'un extremum ceux qui appartiennent à un segment donné et au domaine de la fonction.
Calculer des valeurs les fonctions(pas un dérivé !) à ces points.
Parmi les valeurs obtenues, choisissez la plus grande ou la plus petite, ce sera celle souhaitée.

Exemple 1 Trouver la plus petite valeur d'une fonction
y = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 sur la tranche .

Solution: on agit selon l'algorithme de recherche de la plus petite valeur d'une fonction sur un segment :

La portée de la fonction n'est pas limitée : D(y) = R
La dérivée de la fonction est : vous = 3X 2 – 36X+ 81. La portée de la dérivée d'une fonction n'est pas non plus limitée : D(y') = R
Zéros de la dérivée : vous = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, donc X 2 – 12X+ 27 = 0, d'où X= 3 et X= 9, notre intervalle ne comprend que X= 9 (un point suspect pour un extremum).
On trouve la valeur de la fonction en un point suspect d'un extremum et aux bords de l'intervalle. Pour la commodité des calculs, nous représentons la fonction sous la forme : y = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
- y(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
- y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23 ;
- y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Ainsi, parmi les valeurs obtenues, la plus petite est 23. Réponse : 23.

II. L'algorithme pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction :

Trouvez la portée de la fonction.
Trouver la dérivée d'une fonction.
Déterminez les points suspects d'un extremum (les points où la dérivée de la fonction s'annule et les points où il n'y a pas de dérivée finie bilatérale).
Marquez ces points et le domaine de la fonction sur la droite numérique et déterminez les signes dérivé(pas des fonctions !) sur les intervalles résultants.
Définir des valeurs les fonctions(pas une dérivée !) aux points minimaux (ces points auxquels le signe de la dérivée passe de moins à plus), la plus petite de ces valeurs sera la plus petite valeur de la fonction. S'il n'y a pas de points minimum, la fonction n'a pas de valeur minimum.
Définir des valeurs les fonctions(pas une dérivée !) aux points maximaux (ces points auxquels le signe de la dérivée passe de plus à moins), la plus grande de ces valeurs sera la plus grande valeur de la fonction. S'il n'y a pas de points maximum, alors la fonction n'a pas de valeur maximum.

Exemple 2 Trouver la plus grande valeur de la fonction.

Laissez la fonction y=F(X) continue sur le segment [ un B]. Comme on le sait, une telle fonction atteint ses valeurs maximale et minimale sur ce segment. La fonction peut prendre ces valeurs soit en un point intérieur du segment [ un B], ou sur la limite du segment.

Pour trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction sur le segment [ un B] nécessaire:

1) trouver les points critiques de la fonction dans l'intervalle ( un B);

2) calculer les valeurs de la fonction aux points critiques trouvés ;

3) calculer les valeurs de la fonction aux extrémités du segment, c'est-à-dire pour X=UN et x = b;

4) parmi toutes les valeurs calculées de la fonction, choisissez la plus grande et la plus petite.

Exemple. Trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction

sur la tranche.

Recherche de points critiques :

Ces points se situent à l'intérieur du segment ; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

à ce point X= 3 et au point X= 0.

Recherche d'une fonction de convexité et d'un point d'inflexion.

Fonction y = F (X) appelé convexe entre (un, b) , si son graphe est sous une tangente tracée en tout point de cet intervalle, et est appelé convexe vers le bas (concave) si son graphe est au-dessus de la tangente.

Le point à la transition par lequel la convexité est remplacée par la concavité ou vice versa est appelé point d'inflexion.

Algorithme d'étude de la convexité et du point d'inflexion :

1. Trouvez les points critiques de seconde espèce, c'est-à-dire les points auxquels la dérivée seconde est égale à zéro ou n'existe pas.

2. Mettez des points critiques sur la droite numérique, en la divisant en intervalles. Trouvez le signe de la dérivée seconde sur chaque intervalle ; si , alors la fonction est convexe vers le haut, si, alors la fonction est convexe vers le bas.

3. Si, en passant par un point critique de seconde espèce, il change de signe et qu'en ce point la dérivée seconde est égale à zéro, alors ce point est l'abscisse du point d'inflexion. Trouvez son ordonnée.

Asymptotes du graphe d'une fonction. Etude d'une fonction en asymptotes.

Définition. L'asymptote du graphe d'une fonction s'appelle droit, qui a la propriété que la distance de n'importe quel point du graphique à cette ligne tend vers zéro avec un retrait illimité du point du graphique à partir de l'origine.

Il existe trois types d'asymptotes : vertical, horizontal et incliné.

Définition. Appel direct asymptote verticale graphique de fonction y = f(x), si au moins une des limites unilatérales de la fonction en ce point est égale à l'infini, c'est-à-dire

où est le point de discontinuité de la fonction, c'est-à-dire qu'elle n'appartient pas au domaine de définition.

Exemple.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - point de rupture.

Définition. Droit y=UN appelé asymptote horizontale graphique de fonction y = f(x)à , si

Exemple.

X
y

Définition. Droit y=kx +b (k≠ 0) est appelé asymptote oblique graphique de fonction y = f(x)à , où

Schéma général pour l'étude des fonctions et le traçage.

Algorithme de recherche de fonctiony = f(x) :

1. Trouver le domaine de la fonction D (y).

2. Trouver (si possible) les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées (avec X= 0 et à y = 0).

3. Recherchez les fonctions paires et impaires ( y (‒ X) = y (X) ‒ parité; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ impair).

4. Trouvez les asymptotes du graphique de la fonction.

5. Trouvez les intervalles de monotonie de la fonction.

6. Trouvez les extrema de la fonction.

7. Trouvez les intervalles de convexité (concavité) et les points d'inflexion du graphique de la fonction.

8. Sur la base des recherches effectuées, construisez un graphique de la fonction.

Exemple.Étudiez la fonction et tracez son graphique.

1) D (y) =

X= 4 - point de rupture.

2) Quand X = 0,

(0; – 5) – point d'intersection avec oy.

À y = 0,

3) y(‒ X)= fonction générale (ni paire ni impaire).

4) Nous recherchons les asymptotes.

a) verticale

b) horizontale

c) trouver les asymptotes obliques où

‒équation asymptote oblique

5) Dans cette équation, il n'est pas nécessaire de trouver des intervalles de monotonie de la fonction.

Ces points critiques partitionnent tout le domaine de la fonction sur l'intervalle (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) et (10; +∞). Il convient de présenter les résultats obtenus sous la forme du tableau suivant :



				pas de supplément.

On peut voir sur le tableau que le point X= ‒2‒point maximum, au point X= 4‒ pas d'extrême, X= 10 – point minimum.

Remplacez la valeur (‒ 3) dans l'équation :

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Le maximum de cette fonction est

(– 2; – 4) – maximum extremum.

Le minimum de cette fonction est

(10 ; 20) est l'extremum minimum.

7) examiner la convexité et le point d'inflexion du graphique de la fonction

Dans de nombreux problèmes, il est nécessaire de calculer la valeur maximale ou minimale d'une fonction quadratique. Le maximum ou le minimum peut être trouvé si la fonction d'origine est écrite sous forme standard : ou par les coordonnées du sommet de la parabole : f (x) = une (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). De plus, le maximum ou le minimum de toute fonction quadratique peut être calculé à l'aide d'opérations mathématiques.

Pas

La fonction quadratique est écrite sous forme standard

Écrivez la fonction sous une forme standard. Une fonction quadratique est une fonction dont l'équation comprend une variable x 2 (\displaystyle x^(2)). L'équation peut inclure ou non une variable x (\displaystyle x). Si une équation comprend une variable avec un exposant supérieur à 2, elle ne décrit pas une fonction quadratique. Si nécessaire, apportez des termes similaires et réorganisez-les pour écrire la fonction sous une forme standard.

Le graphe d'une fonction quadratique est une parabole. Les branches d'une parabole pointent vers le haut ou vers le bas. Si le coefficient un (\displaystyle un) avec une variable x 2 (\displaystyle x^(2)) un (\displaystyle un)

Calculez -b/2a. Signification − b 2 une (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) est la coordonnée x (\displaystyle x) sommet de la parabole. Si la fonction quadratique est écrite sous la forme standard une x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), utilisez les coefficients pour x (\displaystyle x) Et x 2 (\displaystyle x^(2)) de la manière suivante :

En coefficients de fonction un = 1 (\displaystyle a=1) Et b = 10 (\displaystyle b=10)
Comme deuxième exemple, considérons la fonction . Ici une = − 3 (\displaystyle a=-3) Et b = 6 (\displaystyle b=6). Par conséquent, calculez la coordonnée x du sommet de la parabole comme suit :

Trouvez la valeur correspondante de f(x). Remplacez la valeur trouvée de "x" dans la fonction d'origine pour trouver la valeur correspondante de f(x). C'est ainsi que vous trouvez le minimum ou le maximum de la fonction.
- Dans le premier exemple f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) vous avez calculé que la coordonnée x du sommet de la parabole est x = − 5 (\displaystyle x=-5). Dans la fonction d'origine, au lieu de x (\displaystyle x) remplaçant − 5 (\displaystyle -5)
- Dans le deuxième exemple f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) vous avez trouvé que la coordonnée x du sommet de la parabole est x = 1 (\displaystyle x=1). Dans la fonction d'origine, au lieu de x (\displaystyle x) remplaçant 1 (\displaystyle 1) pour trouver sa valeur maximale :
Écrivez la réponse. Relisez l'état du problème. Si vous avez besoin de trouver les coordonnées du sommet de la parabole, notez les deux valeurs dans votre réponse x (\displaystyle x) Et y (\displaystyle y)(ou f (x) (\displaystyle f(x))). Si vous devez calculer le maximum ou le minimum d'une fonction, notez uniquement la valeur dans votre réponse y (\displaystyle y)(ou f (x) (\displaystyle f(x))). Regardez à nouveau le signe du coefficient un (\displaystyle un) pour vérifier si vous avez calculé le maximum ou le minimum.

La fonction quadratique s'écrit en fonction des coordonnées du sommet de la parabole
1. Écrivez la fonction quadratique en fonction des coordonnées du sommet de la parabole. Une telle équation a la forme suivante :
  
  Déterminer la direction de la parabole. Pour ce faire, regardez le signe du coefficient un (\displaystyle un). Si le coefficient un (\displaystyle un) positif, la parabole est dirigée vers le haut. Si le coefficient un (\displaystyle un) négatif, la parabole pointe vers le bas. Par exemple:
  
  Trouver la valeur minimale ou maximale de la fonction. Si la fonction est écrite en termes de coordonnées du sommet de la parabole, le minimum ou le maximum est égal à la valeur du coefficient k (\ displaystyle k). Dans les exemples ci-dessus :
  
  Trouver les coordonnées du sommet de la parabole. Si dans le problème il faut trouver le sommet de la parabole, ses coordonnées sont (h , k) (\displaystyle (h,k)). Notez que lorsqu'une fonction quadratique est écrite en termes de coordonnées du sommet de la parabole, l'opération de soustraction doit être entre parenthèses (x − h) (\displaystyle (x-h)), donc la valeur h (\ displaystyle h) pris avec le signe opposé.
Comment calculer le minimum ou le maximum à l'aide d'opérations mathématiques

Avec ce service, vous pouvez trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction une variable f(x) avec la conception de la solution dans Word. Si la fonction f(x,y) est donnée, il faut donc trouver l'extremum de la fonction de deux variables . Vous pouvez également trouver les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.

Règles de saisie des fonctions:

Une condition nécessaire pour un extremum d'une fonction d'une variable

L'équation f "0 (x *) \u003d 0 est une condition nécessaire pour l'extremum d'une fonction d'une variable, c'est-à-dire qu'au point x * la dérivée première de la fonction doit s'annuler. Elle sélectionne les points stationnaires x c auxquels la fonction n'augmente pas et ne diminue pas.

Une condition suffisante pour un extremum d'une fonction d'une variable

Soit f 0 (x) deux fois dérivable par rapport à x appartenant à l'ensemble D . Si au point x* la condition est remplie :

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Alors le point x * est le point du minimum local (global) de la fonction.

Si au point x* la condition est remplie :

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ce point x * est un maximum local (global).

Exemple 1. Trouver les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction : sur le segment .
Solution.

Le point critique est un x 1 = 2 (f'(x)=0). Ce point appartient au segment . (Le point x=0 n'est pas critique, puisque 0∉).
Nous calculons les valeurs de la fonction aux extrémités du segment et au point critique.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Réponse : f min = 5 / 2 pour x=2 ; f max =9 à x=1

Exemple #2. En utilisant des dérivées d'ordre supérieur, trouvez l'extremum de la fonction y=x-2sin(x) .
Solution.
Trouver la dérivée de la fonction : y’=1-2cos(x) . Trouvons les points critiques : 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. On trouve y''=2sin(x), calculer , donc x= π / 3 +2πk, k∈Z sont les points minimaux de la fonction ; , donc x=- π / 3 +2πk, k∈Z sont les points maximum de la fonction.

Exemple #3. Étudiez la fonction extremum au voisinage du point x=0.
Solution. Ici, il faut trouver les extrema de la fonction. Si l'extremum x=0 , alors découvrez son type (minimum ou maximum). Si parmi les points trouvés il n'y a pas x = 0, alors calculez la valeur de la fonction f(x=0).
Il est à noter que lorsque la dérivée de part et d'autre d'un point donné ne change pas de signe, les situations possibles ne sont pas épuisées même pour des fonctions différentiables : il peut arriver que pour un voisinage arbitrairement petit d'un côté du point x 0 ou des deux côtés, la dérivée change de signe. À ces points, il faut appliquer d'autres méthodes pour étudier les fonctions à un extrême.

Exemple #4. Divisez le nombre 49 en deux termes dont le produit sera le plus grand.
Solution. Soit x le premier terme. Alors (49-x) est le second terme.
Le produit sera maximal : x (49-x) → max