Qu'est-ce qu'une onde de réflexion fractale. Analyse fractale sur le Forex : trader et science du trading. Ces ondes d'Elliott complexes

Pas un seul atome de l’Univers n’échappera aux sensations d’une vie intelligente supérieure. (Konstantin Tsiolkovski)

Dans les deux premiers chapitres de cette partie, nous avons fait connaissance avec la soupe quantique, ou plutôt le pollen numérique et les encodages – symboles d'information ou runes qui la structurent. Éloignons-nous un peu de ce sujet pour en venir à un autre tout aussi intéressant.

L'un des principes les plus importants de l'Univers est la fractalité, dans laquelle l'Univers répète ses processus à différents niveaux, en utilisant des modèles et des modèles spécifiques. Prenons, par exemple, le système Terre ouvert. Elle, comme une personne, a aussi du sang - de l'eau, il y a des poumons - des arbres et il y a des veines - des rivières. Le rôle de son foie est joué par les pierres et le sable, à travers lesquels la macropollution est filtrée, et par le cycle de l'eau dans la nature, qui sépare les molécules d'eau des micro-débris. La Terre elle-même est porteuse d'un grand nombre de petits systèmes ouverts, que nous appelons plantes, animaux, insectes, poissons et humains, qui interagissent constamment les uns avec les autres.

Les gens eux-mêmes sont également organisés en systèmes - familles, clans, nations, qui sont contrôlés par des super-systèmes (égrégores selon des principes religieux, politiques, économiques, etc.) et forment d'autres niveaux hiérarchiques de notre civilisation, chacun ayant ses propres niveaux hiérarchiques. propres règles et mécanismes d’interaction.

La conscience terrestre est expérimentale, tout comme nos corps, nos âmes et de nombreuses espèces animales. La plupart de ces animaux ont été amenés sur terre par divers architectes, et les âmes qui les habitent sont venues d'extrémités complètement différentes d'horizons hyperdimensionnels pour acquérir une riche expérience terrestre. Il existe de nombreuses plates-formes expérimentales comme la Terre, mais chacune d'elles est unique, chacune développe son propre type de conscience.

Le rôle de l’homme sur terre, comme dans bien d’autres réalités, est de développer son potentiel, de l’élargir, de l’abaisser et de le compliquer. Presque tous les systèmes ayant un potentiel de développement y sont engagés - des amibes aux métaunivers. Tout est fractal et tout est semblable.

En utilisant l'exemple des algorithmes, les fractales ressemblent à ceci :

3. Précession :

Est-il possible que ce soit ainsi que les systèmes solaires et les galaxies maintiennent leur cohésion plutôt que de se séparer trop rapidement ?
Plus que!

Et si nous nous souvenons que les atomes eux-mêmes ont un spin (torsion), nous pouvons alors comprendre en partie pourquoi ils ne se séparent pas (en combinaison avec des ondes stationnaires).

4. Cet exemple est déjà donné, mais cela vaut quand même la peine de le répéter :

5. N’oubliez pas non plus les ferrofluides. Les ondes magnétiques produisent des motifs clairs et uniformes de particules métalliques dissoutes dans l’eau ou l’huile :

Cela ne vous rappelle rien ? Et ainsi:

À propos, cette expérience peut être réalisée à la maison en utilisant un aimant et de l'encre d'imprimante ordinaire :

Quelles similitudes fractales dans la Création connaissez-vous ?)

Tout comme les oscillations sont l’un des processus les plus caractéristiques et les plus « omniprésents » que l’on trouve dans la nature lors de l’analyse du mouvement de corps individuels ou de particules, les processus ondulatoires assument le rôle de phénomènes typiques lorsque nous traitons de médias. L'état d'une particule peut être spécifié à l'aide d'un vecteur de dimension finie

dans l'espace des phases. L'état de l'environnement ne peut plus être défini de manière aussi simple et un certain nombre de champs doivent être renseignés

donnée à chaque point de l'espace à la fois. Cette circonstance donne naissance à une grande variété de phénomènes nouveaux. Dans ce chapitre, nous examinerons seulement quelques caractéristiques des ondes périodiques pour la plupart non linéaires. Notre objectif principal sera de mettre en évidence les caractéristiques spécifiquement non linéaires des processus ondulatoires qui ont différents degrés d'universalité.

§ 1. Accentuation des vagues

Les problèmes liés à l’apparition et à l’évolution des vagues sont assez nombreux et hétérogènes. Nous essaierons de mettre en évidence les exemples les plus typiques et les plus pratiques pour montrer les caractéristiques de la dynamique des ondes non linéaires.

Des vagues qui courent. Apparemment, il est difficile de trouver un exemple plus simple qui contiendrait une quantité aussi importante d'informations spécifiques aux ondes non linéaires que le mouvement d'un milieu de particules n'interagissant pas. Si l'on désigne par la densité de particules au point x à un instant donné, alors le fait de l'absence de perte de particules ou d'apparition de nouvelles particules a une expression formelle triviale :

Il peut être écrit plus en détail si l'on révèle la signification de la dérivée totale par rapport au temps :

où est la vitesse du milieu

C'est une fonction du point et du temps.

Si alors la solution générale de l’équation (1.2) est représentée par une onde progressive

et la constante a la signification de vitesse des vagues. Condition initiale

sélectionne un profil d'onde spécifique qui se déplace à grande vitesse sans distorsion (Fig. 8.1).

Riz. 8.1. Mouvement d'un profil d'onde dans le cas linéaire

Riz. 8.2. Accentuation des vagues

Dans un environnement non linéaire, les équations (1.1) ou (1.2) ont une structure plus complexe. La non-linéarité la plus simple est liée à la dépendance de la vitesse à la densité :

L’équation (1.2) reste facile à résoudre puisqu’elle est du premier ordre.

définir la solution sous la condition initiale (1.5) sous la forme

L'expression (1.7) est appelée onde simple ou onde de Riemann (voir). C'est toujours une vague voyageuse. Cependant, le profil est désormais exprimé de manière implicite. De plus, la vitesse de déplacement des différents points du profil est différente. Cela dépend de la valeur elle-même à ce stade. Cette circonstance conduit à la propagation du profil des vagues. Examinons ce phénomène plus en détail.

Riz. 8.3. L’émergence du multi-threading et du déferlement de vagues

Déferlement du front de vague. Si alors une accentuation du front d'onde se produit (Fig. 8.2), ce que nous avons déjà mentionné au § 1 du Ch. 2. Dans les processus réels, la pentification se termine par l'apparition de mouvements multi-courants et de déferlement de vagues (Fig. 8.3). Il existe de nombreux exemples de déferlement de vagues, le plus évident étant peut-être la formation de calottes à la surface de la mer lorsque les vagues sont fortement accélérées par le vent.

L’expression formelle du renversement est facile à obtenir à partir de la formule de résolution (1.7). Différencions-le par rapport à x et

où le premier dénote une différenciation par rapport à l'argument et, en particulier, d'où

Les formules (1.8) répondent à la question de savoir quand se produit le renversement.

La condition évidente signifie, d’après (1.5), que le profil d’onde initial est inhomogène. La condition suivante nous est déjà familière

et exprime le fait que le problème est non linéaire. Reste maintenant la dernière condition, qui détermine le moment où le dénominateur dans (1.8) devient nul :

Dans les ondes de compression, le temps existe donc si. C'est précisément le cas pour les profils d'ondes représentés sur la Fig.

En particulier, au lieu de l'équation (1.1), considérons l'équation du mouvement libre d'un milieu incompressible :

Il a également une solution sous la forme d'une onde progressive

où la fonction définit le profil de vitesse initial :

Par analogie avec l'obtention des formules (1.8), maintenant à partir de (1.2) nous avons Alors la formule (1.9) pour le temps de renversement donne l'expression

que nous avons déjà obtenu à partir de considérations complètement différentes (voir formule (2.1.41)).

Les expressions (1.9) et (1.12), ainsi que les formules (1.8), ont une signification tout à fait claire. Le renversement s'accompagne de la rotation des dérivées vers l'infini et de la même manière, ce qui se manifeste par le fait que la pente du profil devient perpendiculaire à l'axe des x. La première petite région du profil qui atteint cette position est évidemment déterminée par la région où la dérivée de l'état initial de l'onde est maximale.

Ainsi, même en l'absence d'interactions, nous sommes confrontés à un nouveau phénomène : le renversement, inhérent uniquement aux problèmes non linéaires.

Le rôle de la dissipation. L'équation des hamburgers. En réalité, le déferlement des vagues, semblable à celui qui se produit à la surface de l'eau lors de fortes accélérations, n'est pas toujours observé. Cela se produit [en raison de l’existence de certains facteurs qui arrêtent le processus d’accentuation du front d’onde. L'un d'eux est la viscosité.

Si l'équation (1.10) est complétée par un terme visqueux, alors elle prendra la forme

appelée équation de Burgers, où est le coefficient de viscosité. Les considérations simples suivantes montrent comment la viscosité arrête de chavirer. D'après les formules (1.8), il ressort clairement que le déferlement s'accompagne des dérivées du profil d'onde allant vers l'infini. Il en va de même pour le profil d'onde de vitesse (1.11). Si la vague n’a pas encore atteint le point de déferlement, alors son front est très raide. À mesure qu'il s'approche, la raideur du front augmente et, par conséquent, la dérivée augmente. Par conséquent, même à faible viscosité, le terme du côté droit de (1.13) deviendra grand et égal au terme non linéaire. des processus opposés se produisent : pentification due à la non-linéarité et amortissement dû à la viscosité. En raison de la concurrence, un mouvement stationnaire peut survenir. Voyons maintenant comment le processus décrit se manifeste dans la solution formelle de l'équation (1.13).

Une caractéristique remarquable de l’équation de Burgers est l’existence d’une solution exacte construite par Hopf et Cole. Faisons un changement de variables :

Alors pour l’équation de diffusion (ou conductivité thermique) on obtient :

Acceptons la condition initiale à

La condition (1.16) signifie ce qui suit pour la variable :

Nous supposerons également que le profil initial satisfait à la condition

Il est maintenant facile d'écrire la solution générale de l'équation de Burgers, puisque la solution générale de l'équation de la chaleur est connue :

Notons

De là, après avoir substitué (1.19) et (1.17) dans (1.14), on obtient finalement

L'expression (1.20) permet d'obtenir des solutions arbitraires de l'équation de Burgers, correspondant à différents profils initiaux d'ondes, leur interaction, etc. (voir). Ici, nous nous concentrerons sur la clarification de la forme asymptotique de la solution (1.20) pour grand pour .

Notons que l'équation (1.13) peut s'écrire sous forme divergente :

Puisqu’on suppose que l’intégration de l’expression (1.21) de à donne

c'est-à-dire la valeur

L'invariant du mouvement détermine la forme asymptotique du profil de solution (1.20). Pour obtenir ce résultat, des estimations simples doivent être faites.

Considérons le cas de suffisamment petit. Cela signifie automatiquement que la solution atteint un profil stationnaire après un temps long, ce qui découle de la structure de l'équation de Burgers. Par conséquent, les moyennes limites pour les petites intégrales dans (1.20) peuvent être calculées par la méthode du point selle. Le point selle est déterminé à partir de l'équation

Nous obtenons maintenant une expression très simple pour

puisque les exposants et pré-exposants dans (1.20) se sont annulés. À des valeurs non nulles ne sont obtenues que pour des valeurs de x suffisamment grandes.

Riz. 8.4. Solution asymptotique de l'équation de Burgers sous forme d'onde triangulaire : -à -à valeurs finies

Par conséquent, dans presque toute la région où le profil prend des valeurs non nulles, il existe une forme asymptotique de solution dans laquelle elles sont liées selon (1.21) par la relation

Cela montre que nous avons obtenu une onde simple ayant un profil linéaire (1.22). Son front a tendance à s'accentuer, mais cela n'est pas obtenu en raison de la viscosité.

Il nous reste à déterminer la limite de la solution (1.23), puisque sous cette forme elle ne conduit pas à la valeur finale de l'intégrale (1.22). Par conséquent, il est évident que pour les grands, il devrait y avoir Pour déterminer la valeur, nous utilisons la formule (1.22), en y remplaçant

La valeur de l'intégrale à la limite inférieure n'est pas significative, car elle est très grande :

De là il ressort clairement que

La solution résultante est présentée sur la Fig. 8.4. Aux valeurs finies de viscosité, il existe une couche de transition de largeur proportionnelle à

Les formules (1.24), (1.25) montrent que le profil d'onde asymptotique est déterminé uniquement par la valeur du moment et ne dépend pas de la forme du profil initial

Une solution de l’équation de Burgers dans laquelle aucun renversement ne se produit est un exemple de formation d’une onde de choc. En effet, lors d’une onde de choc, il peut y avoir des sauts de densité et de vitesse normales au front d’onde. C'est ce qui se passe dans ce cas.

La théorie des fractales a été exposée pour la première fois par le mathématicien français B. Mandelbrot, qui, co-écrit avec L. Hudson, a écrit un livre sur la révolution fractale en finance. La méthode a attiré l'attention des chercheurs et a été développée dans les travaux de E. Peters et de l'auteur russe A. Almazov. L'analyse fractale sur les marchés du Forex et des matières premières a trouvé une application pratique. Il est devenu un pionnier et est devenu largement connu en tant que négociant en bourse à succès et auteur d'ouvrages de référence pour les traders.

Les théoriciens de l'analyse fractale du marché se sont basés sur la dépendance de la formation des prix futurs à l'égard de leurs changements historiques. Les méthodes d'analyse fractale sont basées sur la théorie des fractales et utilisent leurs propriétés pour prédire les prix.

Comment donner un sens au chaos sur les graphiques de prix

Lorsqu’ils examinent les graphiques de prix, les débutants font attention à leur comportement chaotique. Pour saisir les schémas de ce mouvement brownien, il faut comprendre l’essence du concept de fractale, qui permet de voir un ordre strict dans le chaos, et non une errance aléatoire.

Définition des propriétés fractales

Une fractale selon Mandelbrot est un concept mathématique et représente une certaine forme géométrique. Une fois divisé, il forme des mini-copies de la forme précédente.

Les fractales mathématiques sont présentées comme des formations parfaitement précises, mais en réalité il existe de nombreuses déviations et interférences qui, selon Mandelbrot, sont des processus véritablement importants (les déviations sont considérées comme des structures ordonnées). Mandelbrot a appelé les fractales à dimensions variables multifractales (par exemple, le Forex - changeant la dynamique des paires de devises). C'est l'autosimilarité et la régularité qui caractérisent une fractale. Grâce à la dimensionnalité, vous pouvez déterminer à quelle période appartient le graphique. Quelles que soient les périodes étudiées, chaque élément de la fractale se développe selon le principe de modèles similaires.

L’utilisation de l’analyse fractale dans la stratégie d’un trader offrira un certain nombre d’avantages :

• vous permettra de vous débarrasser de la pression du chaos et de voir le marché comme structuré ;
• permet d'analyser plusieurs paires de devises simultanément ;
• les connexions entre différentes paires peuvent être analysées.

Caractéristiques de l'analyse fractale des marchés financiers dans les travaux du gourou

L'analyse fractale de Peters examine les modèles de comportement pour les stratégies d'investissement : séries fractales, marché des capitaux, chaos de bruit. L'étude du travail de Peters séduira les passionnés de mathématiques ; pour d'autres, maîtriser la théorie de Peters sera une tâche difficile.

L'analyse fractale d'Almazov est basée sur l'expérience pratique de l'auteur, qui travaille activement en bourse depuis 2001. Dans un livre destiné aux traders débutants (« Fractal Theory »), Almazov donne sous une forme accessible une idée de définitions mathématiques complexes (cycle non périodique, attracteur, dimension, etc.) pour déterminer les valeurs de prix et identifier les modèles graphiques , la fonction Weierstrass-Mandelbrot est proposée.

Analyse fractale de Ryndych. Trader professionnel et expert en analyse fractale des paires de devises, A. Ryndych, a développé de nombreuses stratégies pour utiliser la théorie fractale sur le marché Forex. La théorie fractale, telle qu'interprétée par Ryndych, repose sur le postulat selon lequel trouver des fractales sur un graphique de prix revient à rechercher des angles d'inversion qui déterminent où tourne le marché. La fractale est ici considérée comme un angle de réflexion où le prix commence à évoluer dans la direction opposée.

Analyse des ondes fractales

Les fractales et les vagues sont des concepts inextricablement liés en bourse. La théorie des vagues d’Elliott suggère que le marché fonctionne selon des cycles répétitifs. La capacité de trouver des formations similaires dans les prix permettra de prédire leur évolution ultérieure.

En fait, les ondes d’Elliott sont des fractales et peuvent également être décomposées en sous-ondes similaires plus petites. À l’aide de fractales, Elliott a décomposé la tendance en éléments compréhensibles. Étudier l’analyse fractale est impossible sans comprendre la théorie des vagues d’Elliott, qui a appliqué la théorie des fractales pour analyser les marchés financiers.

Analyse fractale de séries chronologiques

Des séquences similaires, qui constituent une série temporelle, se retrouvent dans diverses sphères de la vie (données des sciences appliquées, sociologie, géologie, marchés financiers, etc.). L'influence des séries chronologiques sur les changements historiques des valeurs d'intérêt a attiré l'attention des adeptes de l'analyse fractale des marchés, car aide à comprendre plus efficacement la théorie fractale. La prévision et l'analyse de la structure des séries chronologiques appartiennent au domaine des calculs mathématiques complexes (méthodes de détermination et d'analyse de tendances stables, d'évaluation des paramètres, de modèles, d'ajustements de lissage et d'autres subtilités).

De nombreuses études sur le comportement des séries temporelles confirment leur certain degré de prévisibilité - c'est précisément ce schéma sur lequel Elliott insiste dans ses travaux. La théorie ultérieure du chaos dynamique affirme que les séries n'ont qu'une apparence aléatoire et peuvent très bien donner une prévision des prix à court terme, et que plus le niveau d'analyse mathématique des modèles est élevé, plus la prévision est précise et plus la taille du profit possible.

Dimension fractale d'une série de nombres

Les scientifiques impliqués dans la recherche sur l’influence de la taille fractale en économie – en particulier, la dimension fractale est étroitement liée à la réponse du marché au climat d’investissement – ​​définissent une série de nombres comme le degré d’organisation qui caractérise l’objet d’étude qui les intéresse. À l’aide de la technique d’analyse R\S (exposant de Hurst (H), indice de dimension), les résultats sont interprétés pour identifier les tendances futures.

La dimension fractale selon l'indicateur H évalue uniquement les propriétés générales de la série de nombres, tandis que la structure locale reste inchangée. Pour déterminer les caractéristiques du comportement d'une série chronologique, dans de tels cas, la série numérique est divisée et l'indicateur H est calculé à l'aide de diverses méthodes mathématiques. Les modèles généraux sont déterminés en faisant la moyenne des données obtenues et s'appliquent à tout l'intervalle de temps.

Le traitement des données utilisant des calculs mathématiques est implémenté dans le programme Fractan 4.4, écrit par V. Sychev. Le bon fonctionnement du programme est confirmé par l'identité des calculs obtenus par l'analyse R\S manuelle et la méthode logicielle.

Le programme Fractan fonctionne sous Windows 95\98\NT, ME n'occupe que 460 Ko et vous permet de traiter diverses séries temporelles dans des intervalles de données allant de 512 à 16384. En utilisant le programme, vous pouvez calculer l'exposant de Hurst, construire un générateur V.D. Pol et travaillez avec la fonction Weierstrass -Mandelbrot, obtenez les cartographies Henon, Lorentz, Rössler, sauvegardez des graphiques et utilisez de nombreuses autres études. Vous pouvez télécharger gratuitement le programme Fractan 4.4 sur le site du fabricant impb.psn.ru.

L'efficacité de l'analyse fractale dépend de la capacité à interpréter correctement ses signaux en combinaison avec d'autres indicateurs de marché (ondes d'Elliott, niveaux de Fibonacci).

L'analyse fractale, dont les livres sont présentés par plusieurs auteurs : A. Almazov, B. Mandelbrot, B. Williams et E. Peters, permet d'approfondir les principes fondamentaux du mouvement du marché des changes et d'autres processus chaotiques qui sont difficiles à analyser avec précision.

En tant que manuscrit

SIMULATION DE DIFFUSION

ONDES MILLIMÉTRIQUES ET CENTIMÉTRIQUES PAR SURFACES FRACTALES À PETITS ANGLES D'INCIDENCE

Spécialité 01.04.03 – radiophysique

mémoires pour un diplôme universitaire

candidat en sciences physiques et mathématiques

Moscou – 2009

Les travaux ont été réalisés à l'Institution de l'Académie des sciences de Russie

Institut d'ingénierie radio et d'électronique nommé d'après. RAS, Moscou

Conseiller scientifique:

Adversaires officiels :

Docteur en Sciences Physiques et Mathématiques, Professeur

Organisation responsable :Établissement d'enseignement public d'enseignement professionnel supérieur « Université technique d'État de Moscou du nom ».

La soutenance aura lieu le « _11_ » _février_ 2010 à _15_ heures _00_ minutes. lors d'une réunion du conseil de thèse D 212.156.03 à l'établissement d'enseignement public d'enseignement professionnel supérieur « Institut de physique et de technologie de Moscou (Université d'État) », à l'adresse région de Moscou, Dolgoprudny, voie Institutsky, 9.

La thèse se trouve à la bibliothèque de l'établissement d'enseignement public d'enseignement professionnel supérieur « Institut de physique et de technologie de Moscou (Université d'État) ».

Secrétaire scientifique du conseil de thèse,

Candidat en Sciences Physiques et Mathématiques

DESCRIPTION GÉNÉRALE DES TRAVAUX.

Pertinence du sujet

Pour résoudre de nombreux problèmes scientifiques et pratiques, la télédétection de la surface de la Terre et le radar, ainsi que les méthodes optiques et radiophysiques d'observation dans la gamme des ondes radio ultra-hautes fréquences - des ondes décimétriques aux ondes millimétriques (MMW) - sont largement utilisées. L'intérêt porté à la gamme MMV est dû à un certain nombre d'avantages que son utilisation offre par rapport aux gammes de longueurs d'onde plus longues. Il s'agit d'une augmentation de la résolution en angle, en portée et en vitesse avec une immunité élevée au bruit aux contre-mesures radio, une compatibilité électromagnétique et un secret des systèmes améliorés, une augmentation de la quantité d'informations transmises grâce à une bande de fréquences plus large, une sensibilité élevée du processus de diffusion à la structure et l'état des couvertures sous-jacentes, les dimensions réduites et le poids des équipements. A noter que pour divers systèmes radio, la réflexion de l'IMF depuis le sol peut être considérée soit comme une interférence passive, soit comme une source d'informations utiles.

Actuellement, il existe deux approches classiques pour étudier les problèmes de diffusion sur une surface statistiquement inégale : la méthode des petites perturbations (MS) et l'approximation de Kirchhoff (méthode du plan tangent (TPM)). Ces méthodes abordent respectivement les deux cas limites de très petites irrégularités peu profondes ou d’irrégularités lisses et à grande échelle. Leur généralisation naturelle est un modèle de diffusion à deux échelles, c'est-à-dire un ensemble de petites ondulations (calcul par la méthode MV) et de grandes irrégularités (calcul basé sur le MCP).

Ainsi, auparavant, les problèmes de diffraction des ondes sur une surface statistiquement inégale étaient principalement axés sur des irrégularités de même échelle. On s'est alors rendu compte que les surfaces multi-échelles donnaient des résultats plus adéquats. Maintenant, sur la base des résultats des travaux de l'IRE du nom. RAS, on peut affirmer que le contenu physique de la théorie de la diffraction, y compris les surfaces multi-échelles, devient plus clair avec l'approche fractale et l'identification de la dimension fractale ou de la signature fractale comme paramètre. De plus, la prise en compte de la fractalité rapproche significativement les caractéristiques théoriques et expérimentales des indicateurs de diffusion des couvertures terrestres dans le domaine des micro-ondes.

Les premières approches du problème de la diffusion des ondes radio par une surface fractale ont été présentées par le Dr Ph.M. n. , à partir de 1997, à la LII Session scientifique consacrée à la Journée de la radio (Moscou) et à la XXIIIe Conférence régionale sur la propagation des ondes radio (Saint-Pétersbourg).

À ce jour, un grand nombre d'ouvrages d'auteurs étrangers sont consacrés à l'interaction des ondes avec les structures fractales. Une surface fractale implique des irrégularités à plusieurs échelles par rapport à la longueur d'onde de l'onde diffusée. Les caractéristiques de la diffusion des ondes par une surface fractale sont dues à sa non-différentiabilité. Par conséquent, le front d’onde fractal, étant non différentiable, n’a pas de normale. Ainsi, les notions de « trajet des rayons » et d'« effets d'optique géométrique » sont exclues. Cependant, les cordes reliant les valeurs des hauteurs caractéristiques des irrégularités à certaines distances horizontales ont toujours une pente efficace finie. Dans ce cas, la « topthèse » d’une surface chaotique fractale est introduite ; elle est égale à la longueur à laquelle les pentes de la surface sont proches de l'unité.

Prenant en compte toutes les caractéristiques des travaux des auteurs occidentaux, deux modèles de diffusion ont été adoptés aujourd'hui : 1) - Modèle avec hauteurs fractales, 2) - Modèle avec pentes fractales d'irrégularités. Le modèle n°2 est autrefois différentiable et présente une pente qui varie continûment d'un point à l'autre. Ce modèle conduit à une optique géométrique, ou à des effets décrits par la notion de « rayon ».

La diffusion des ondes électromagnétiques sur des surfaces rugueuses a été étudiée en détail, par exemple dans. Les travaux montrent que la diffraction sur les surfaces fractales est fondamentalement différente de la diffraction sur les surfaces aléatoires traditionnelles, et que certains paramètres statistiques classiques, tels que la longueur de corrélation et l'écart type, tendent vers l'infini. Ceci s'explique par l'autosimilarité de la surface fractale. Le travail a utilisé la fonction de Weierstrass à fréquence limitée, qui était soumise à moins de restrictions que les fonctions étudiées. La fonction proposée possédait à la fois la propriété d'autosimilarité et, néanmoins, un nombre fini de dérivées sur la plage spatiale individuelle considérée.

Malgré le fait qu'il existe de nombreux travaux consacrés à la création et à l'analyse de surfaces chaotiques à structure fractale, seuls quelques-uns d'entre eux considèrent les surfaces fractales bidimensionnelles. Plusieurs articles ont décrit (voir et références) des surfaces ondulées qui ont des propriétés fractales dans une seule dimension. La fonction Weierstrass modifiée est souvent utilisée pour modéliser une surface chaotique fractale bidimensionnelle.

Une analyse des sources littéraires a montré que le sujet de la thèse est sans aucun doute pertinent et que les recherches dans ce sens ont été menées exclusivement par des auteurs étrangers.

Objectif principal de l'étude

· Solution numérique du problème de diffusion de MMW et SMV par des surfaces fractales de caractéristiques différentes aux petits angles d'incidence Θ et en utilisant la méthode de Kirchhoff.

· Analyse de la description du relief fractal par la fonction de Weierstrass non différentiable W(X,oui) et transition vers une fonction à portée limitée W n( X,oui) pour des calculs pratiques.

· Calcul des indicateurs de diffusion g

· Compilation et analyse d'un catalogue de types caractéristiques de surfaces de diffusion fractale basé sur la fonction de Weierstrass, ainsi que d'indicateurs de diffusion tridimensionnels et de leurs sections pour les longueurs d'onde λ = 2,2 mm ; λ = 8,6 mm et λ = 3,0 cm.

Nouveauté scientifique de l'ouvrage

Les travaux concernent l'un des domaines prometteurs de la radiophysique : l'étude de la diffusion des ondes radio sur les couvertures terrestres naturelles, en tenant compte de leur fractalité. Au cours des 30 dernières années, de nombreux groupes de chercheurs à travers le monde ont analysé les irrégularités et les reliefs des surfaces naturelles et artificielles, y compris les couvertures terrestres (les premiers travaux sont parus en 1978. Après la découverte et la justification scientifique de la fractalité des couvertures naturelles, de nombreux les travaux d'auteurs étrangers ont été consacrés exclusivement au problème de la diffusion des ondes. Dans le même temps, il n'existe aucune donnée sur la diffusion des ondes magnétiques par les surfaces fractales. Ainsi, pour la première fois, des calculs de l'indicateur de diffusion des ondes magnétiques par une surface fractale surface ont été réalisés.

Importance pratique du travail

L'importance pratique du travail est associée à une description plus précise des processus de diffusion prenant en compte les caractéristiques fractales de la couverture terrestre. La prise en compte de la fractalité de la couverture terrestre permet une interprétation plus précise et convaincante des données expérimentales sur la diffusion des ondes radio. Outre les intérêts purement scientifiques, il existe également des applications pratiques pour résoudre les problèmes modernes de radar et de télécommunications, ainsi que les problèmes de surveillance des environnements à différentes échelles spatio-temporelles.

Dispositions pour la défense

1. Les problèmes de diffusion de MMW et SMW par des surfaces fractales de caractéristiques différentes aux petits angles d'incidence Θ et en utilisant la méthode de Kirchhoff ont été résolus numériquement.

2. Il est montré que le profil le plus pratique au sens radiophysique du relief fractal est la fonction de Weierstrass non différentiable. W(X,oui). Puisque dans les calculs réels l'utilisation d'une fonction non différentiable n'est pas possible, l'approximation a été utilisée W(X,oui) fonction à portée limitée W n( X,oui).

3. Calcul numérique des relations entre l'intervalle de corrélation spatiale moyen des irrégularités et la dimension fractale de la surface.

4. Pour une large gamme de surfaces fractales différentes, les indicateurs de diffusion sont calculés numériquement g(θ1, θ2) MMV et SMV. Pour les valeurs de dimension fractale D tendant vers un nombre entier, les valeurs résultantes se rapprochent des valeurs classiques.

5. Un catalogue complet de divers types caractéristiques de surfaces de diffusion fractale a été compilé sur la base des fonctions de Weierstrass, ainsi que d'indicateurs de diffusion tridimensionnels et de leurs sections pour les longueurs d'onde λ = 2,2 mm ; λ = 8,6 mm et λ = 3,0 cm.

6. Dimension fractale D la surface rugueuse peut être évaluée à l’aide de caractéristiques de diffusion calculées ou mesurées.

7. Le contenu physique de la théorie de la diffraction, qui inclut les surfaces multi-échelles, devient plus clair avec l'approche fractale et l'identification de la dimension fractale D ou une signature fractale comme paramètre.

Approbation du travail

Les résultats des travaux ont été présentés lors des concours et conférences suivants : concours annuel de jeunes scientifiques, spécialistes, étudiants diplômés et étudiants portant leur nom (Moscou, IRE RAS, 2006 et 2007) ; 5ème Conférence Scientifique Internationale « Chaos et structures dans les systèmes non linéaires. Théorie et expérience » (Kazakhstan, Astana, 15-17 juin 2006) ; Quatrième Conférence panrusse « Processus irréversibles dans la nature et la technologie » (Moscou, MSTU du nom de janvier 2007) ; XIe Forum international de la jeunesse « Radioélectronique et jeunesse au 21e siècle » (Kharkov, 10 – 12 avril 2007) ; XIIIe STC international « Localisation radar, navigation, communications » (Voronej, 17 – 19 avril 2007) ; XVe International Student School - séminaire « Nouvelles technologies de l'information » (Crimée, Sudak, mai 2007) ; Conférence scientifique internationale « Émission et diffusion des ondes électromagnétiques - IREMV-2007 » (Taganrog, 25 – 30 juin 2007) ; La deuxième conférence européenne sur les antennes et la propagation EuCAP 2007 (Édimbourg, Royaume-Uni, novembre 2007) ; XIe séminaire scolaire panrusse "Phénomènes ondulatoires dans les milieux inhomogènes" (région de Zvenigorod Moscou, mai 2008); XXIXe Assemblée générale de l'URSI (États-Unis, Chicago, Illinois, 7 - 16 août 2008); VII Complexe scientifique et technique international "Physique et applications techniques des processus ondulatoires", dédiée au 150e anniversaire de sa naissance (Samara, 15 - 21 septembre 2008) ; 9e Conférence scientifique et technique internationale « Problèmes d'ingénierie et de technologie des télécommunications - PTiTT-2008 », consacrée au 100e anniversaire de la naissance de l'académicien et 120e anniversaire des communications téléphoniques au Tatarstan (Russie, République du Tatarstan, Kazan, 25 - 27 novembre 2008) ; 3e Conférence européenne sur les antennes et la propagation EuCAP 2009 (Berlin, Allemagne, mars 2009) ; XVe Comité scientifique et technique international « Radar, navigation, communications » (Voronej, 14 - 16 avril 2009) ; 2e Conférence internationale (CHAOS' 2009) sur la modélisation, la simulation et les applications chaotiques (La Canée, Crète, Grèce , du 1er au 5 juin 2009).

Fiabilité des conclusions scientifiques est confirmée par la cohérence des résultats théoriques avec les données connues dans la littérature, ainsi que par la cohérence des résultats de la modélisation numérique et des études expérimentales avec les résultats de l'analyse théorique.

· application de méthodes fractales pour résoudre le problème de la diffusion des MMW et SMV par les surfaces fractales aux petits angles d'incidence Θ ;

· obtention numérique des relations entre l'intervalle de corrélation spatiale moyen des irrégularités et la dimension fractale d'une surface avec relief sous la forme d'une fonction de Weierstrass non différentiable ;

· calcul numérique des indicateurs de diffusion g(θ1, θ2) aux longueurs d'onde λ = 2,2 mm ; λ = 8,6 mm et λ = 3,0 cm pour une large gamme de surfaces fractales différentes.

Tous les résultats inclus dans la thèse ont été obtenus personnellement par l'auteur ou avec sa participation directe. L'interprétation des principaux résultats scientifiques a été réalisée en collaboration avec les co-auteurs des publications.

Structure et étendue du travail

La thèse comprend une introduction, quatre chapitres, une conclusion et une bibliographie. Il est présenté sur 110 pages, comprenant 109 figures et une bibliographie de 186 titres.

La thèse commence par une revue approfondie de la littérature sur les théories existantes de la diffusion sur des surfaces statistiquement rugueuses.

Les fonctions déterministes et aléatoires étaient auparavant utilisées séparément comme modèles mathématiques traditionnels de surfaces inégales. Le développement de la géométrie fractale fournit un nouveau moyen pour l'étude systématique des structures irrégulières, puisque les fractales prennent en compte différentes échelles spatiales et peuvent être directement utilisées pour décrire des fonctions déterministes et aléatoires ou leurs combinaisons.

La physique de l'interaction des ondes avec un milieu ou une structure périodique est bien décrite par la condition de Bragg sous la forme de la loi de conservation de l'impulsion entre les vecteurs d'onde des ondes incidentes et diffractées, en tenant compte du vecteur d'onde spatial des harmoniques structurelles. La surface de diffusion est modélisée par une fonction fractale continue d'irrégularités à portée limitée F(X), qui est une fonction de Weierstrass modifiée W(t), dont les propriétés sont étudiées en détail dans. Cette fonction a une plage finie de fréquences spatiales et présente la propriété d'autosimilarité dans une plage de résolution finie :

(1)

Où AVEC – ; N– nombre d'harmoniques (tonalités) ; - facteur d'échelle d'inégalité (0< < 1); K – nombre d'onde spatial fondamental ; b> 1 – paramètre de mise à l'échelle de la fréquence spatiale ; - phase arbitraire.

Facteur de contrôle d'amplitude

(2)

choisi pour que la fonction F(X) a un écart type σ = 1.

Pour la fonction (1), plusieurs dimensions fractales peuvent être introduites car elle est auto-affine. De manière générale, la dimension fractale de la fonction de Weierstrass

Pour décrire avec précision la forme des irrégularités, la dimension fractale est utilisée sous la forme :

À D= 1 nous avons une courbe périodique lisse. Avec augmentation D (D≤ 2) on obtient diverses courbes chaotiques.

Géométrie de diffusion d'une onde plane incidente sur une fractale inégale unidimensionnelle, idéalement conductrice le long de l'axe X la surface est représentée sur la Fig. 1. Index je Et s faire référence aux ondes incidentes et dispersées avec des vecteurs d'ondes k je Et k s, respectivement. Une surface quasipériodique unidimensionnelle est décrite par l'équation

. (4)

Voici le paramètre h contrôle la valeur quadratique moyenne des irrégularités.

Nous considérerons ensuite une approche basée sur l’approximation de Kirchhoff. La méthode Kirchhoff utilise le lissé et la planéité à grande échelle. Ici ρ est le rayon de corrélation des irrégularités ; – rayon de courbure local, – valeur efficace de la tangente de l'angle d'inclinaison des irrégularités (les tirets indiquent l'ordre de la dérivée). En général, la valeur D détermine la distribution angulaire de l’énergie. L'énergie du champ diffusé est concentrée dans la direction du miroir à de petites valeurs de dimension D et distribué de manière diffuse pour les grandes valeurs D.

Les indicateurs de diffusion spatiale, ou distributions angulaires des caractéristiques du champ diffusé à partir des surfaces fractales, sont actuellement totalement insuffisamment étudiés. Des études expérimentales et théoriques bien connues utilisant divers modèles fractaux ont été réalisées antérieurement et sont présentées dans l'ouvrage (voir également les références qui y figurent).

Modélisation de surfaces fractales

La modélisation a utilisé une fonction fractale à portée limitée et de moyenne nulle, écrite sous la forme :

Facteur de contrôle d'amplitude AVEC, déterminé à l’aide de (2), peut être exprimé en termes de dimension fractale D de la manière suivante :

(8)

Il est évident qu'en (7), si nécessaire, d'autres fonctions périodiques peuvent être utilisées.

Le coefficient de contrôle d'amplitude (8) est choisi de telle sorte qu'il présente un écart type σ. De plus en plus fréquemment, les fonctions périodiques (7) décrivent une structure d'irrégularités de plus en plus fine. L'autosimilarité de la fonction est démontrée par la relation , ce qui signifie que la courbe apparaît similaire à l'original lorsque l'axe horizontal est mis à l'échelle par un facteur b, et l'axe vertical est le coefficient

Relation entre les paramètres statistiques et fractaux

De la formule (7), il s'ensuit que le profil d'une surface inégale est déterminé par les paramètres σ, D, b, K, N. Les paramètres traditionnels lors de la modélisation d'une surface aléatoire sont : σ – valeur quadratique moyenne de la hauteur des irrégularités ; ρ est le rayon de leur corrélation ; - valeur quadratique moyenne de la tangente de l'angle d'inclinaison des irrégularités.

Pour le modèle fractal pour σ = 1, la valeur est trouvée via la valeur quadratique moyenne de la dérivée première de la fonction (7). Par conséquent:

De la formule (9), il s'ensuit que lorsque D= 1 ou N= 1. Pour un exemple typique

D= 1,5 à et N= 6 nous avons .

Le rayon de corrélation ρ du modèle étudié est trouvé à l'aide du coefficient d'autocorrélation ρ(τ) de la fonction fractale (7), qui a la forme

(10)

De (10) il résulte que le coefficient d'autocorrélation ρ(τ) ne dépend pas de la hauteur σ des irrégularités. Nous définissons le rayon de corrélation ρ comme la première racine de l'équation lorsque τ augmente à partir de zéro. Le rayon de corrélation ρ diminue avec l'augmentation D. Ainsi, les irrégularités du modèle fractal sont déterminées par la dimension fractale D, bien que leur valeur efficace soit σ. La surface fractale peut être définie avec précision et facilement modifiée en faisant varier les paramètres K, b, N, D. La capacité de contrôler rapidement la surface basée sur la mise en œuvre de la fonction (7) à l'aide de ses paramètres rend un tel modèle fractal utile pour étudier la diffusion des ondes par la couverture terrestre.

Indicateurs de diffusion

Considérons une onde plane d'amplitude unitaire avec un vecteur d'onde ki tombant sur une surface inégale unidimensionnelle, caractérisée par une fonction fractale s'étendant de X = – L avant X = L(voir fig. 1). Les effets d'ombrage ne sont pas pris en compte. Dans l'approximation de Kirchhoff, le champ de diffusion à distance de la source dans le plan s'écrit

Pour simplifier les calculs, la diffusion à partir d'une surface parfaitement conductrice est prise en compte lorsque les coefficients de réflexion de Fresnel V devenir égal

(12)

où les indices « + » et « – » désignent respectivement la polarisation parallèle et perpendiculaire au plan d'incidence.

Pour une surface lisse idéalement conductrice, le champ de diffusion avec polarisation horizontale dans la direction de réflexion spéculaire () a la forme Après des calculs simples mais fastidieux, introduisant l'indicatrice de diffusion g, on a:

(13)

Considérons d'abord le cas particulier où Alors de la formule (13) il résulte que

, (14)

et n'est pas une fonction de b et φ n. Compte tenu de l'approximation

(15)

au petit X(petit kσ), on retrouve l’approximation suivante de la formule (14) :

Le résultat (16) montre que pour les petits kσ l'intensité de diffusion dans la direction spéculaire est déterminée uniquement par la hauteur quadratique moyenne des irrégularités, que la surface soit fractale ou non. La fonction fractale (7) est le résultat de la sommation N sinusoïdes périodiques. L'onde radio agit comme un instrument de mesure, isolant les fréquences spatiales à travers les conditions de Bragg. En général

(17)

où est le vecteur d'onde dans la direction de diffusion ; – vecteur d'onde dans la direction de la diffusion spéculaire ; – vecteurs d'ondes spatiaux des harmoniques structurelles ; - des nombres entiers.

Pour la fonction fractale (7) nous avons . Ainsi, l’onde incidente va interagir avec diverses harmoniques de la structure diffusante. La direction de diffusion de chaque lobe dépend de la fréquence spatiale de l'harmonique β et l'intensité est déterminée par la dimension fractale de la surface. D, qui ajuste l’amplitude de chaque harmonique. Des fréquences spatiales plus élevées semblent associer la distribution angulaire de la diffusion à un écart important par rapport à la direction du miroir.

Diffusion des ondes par une zone fractale limitée

Les modifications des caractéristiques de diffusion lors de l'irradiation de surfaces de différentes tailles présentent un intérêt pour les problèmes pratiques de radar et de télédétection. La taille de la zone irradiée détermine la largeur de l'indicateur de diffusion. Dans le cas de la diffusion par une surface fractale, il n'y a pas de changement qualitatif si les dimensions de la zone sont supérieures à la période spatiale principale. Plus la taille du site est petite, moins les caractéristiques de diffusion fourniront d’informations sur les irrégularités.

Pour établir la relation entre la dimension fractale de la surface et l'intensité des lobes latéraux, les dépendances des coefficients de diffusion sur l'argument sont prises en compte et la pente de l'enveloppe est calculée. L'enveloppe principale est déterminée par la taille finie des coussinets et relie le lobe principal au lobe latéral le plus externe. Sa pente est toujours presque constante à mesure que la dimension fractale change.

L'enveloppe reliant les lobes latéraux est déterminée par les harmoniques spatiales et sa pente change de manière monotone avec les changements de dimension fractale. Il est très important que les pentes des pics de diffraction permettent de mesurer à distance des irrégularités ou des dimensions D surfaces.

Où – une normalisation constante de l'unité; – paramètre d'échelle de fréquence spatiale; D– dimension fractale (2<D<3); K– nombre d'onde spatial fondamental; N Et M– nombre d'harmoniques ; – phase arbitraire, répartie uniformément dans l'intervalle.

Cette fonction (18) est une combinaison d'une structure aléatoire et d'une période déterministe. Il est anisotrope dans deux directions si les nombres harmoniques ne sont pas très grands. Il a des dérivés et est en même temps auto-similaire. La surface qui en découle comporte de nombreuses échelles et la rugosité peut varier en fonction de l'échelle considérée. Puisque les surfaces naturelles ne sont ni purement aléatoires ni purement périodiques et sont souvent anisotropes, la fonction proposée ci-dessus est une bonne approximation pour décrire les surfaces naturelles. En figue. La figure 2 montre des exemples de la fonction Weierstrass à portée limitée pour différentes échelles. Il est important de noter que la fonction (18) décrit les fractales mathématiques uniquement lorsqu'elle tend M Et Nà l'infini.

un	b	c
Riz. 2. W(X,oui) à ( un) - N = 2, M = 3, D = 2.01, q = 1.01; (b) - N = 5, M = 5, D = 2.5, q = 3; (c) - N = 10, M = 10, D = 2.99, q= 7. Le long des axes : 1 rel. unités = 80 cm

Paramètres tels que l'intervalle de corrélation Γ , l'écart type et le coefficient d'autocorrélation spatiale ρ(τ) sont traditionnellement utilisés pour la description numérique d'une surface rugueuse. L'article montre comment ces paramètres statistiques peuvent être utilisés pour évaluer l'influence de la dimension fractale D et d'autres paramètres sur la rugosité de la surface. La dérivation de l'expression de l'intervalle de corrélation moyen est donnée :

En figue. 3 et 4 montrent les dépendances sur q Et D respectivement.

Avec une dimension fractale croissante D surface, l'intervalle de corrélation moyen diminue plus rapidement pour les mêmes changements dans le paramètre d'échelle de fréquence spatiale q. La valeur diminue de façon monotone à mesure que la valeur augmente D; cependant, cela ne change pas avec q= 1,01. Par conséquent, l’intervalle de corrélation moyen est sensible à la dimension fractale D, sauf quand . Ces résultats signifient que l’ampleur des irrégularités de la surface fractale est principalement contrôlée par l’ampleur D.

Pour calculer le champ de diffusion et les indicateurs de diffusion sur les surfaces construites, l'approximation de Kirchhoff a été utilisée. La dérivation de l'expression de l'indicateur de diffusion basée sur l'intensité moyenne est donnée :

. (20)

L'auteur a créé une base de données étendue de divers types caractéristiques de surfaces de diffusion fractale basées sur les fonctions de Weierstrass, ainsi que des indicateurs de diffusion tridimensionnels et leurs sections, calculés pour les longueurs d'onde mm, mm et cm à différentes valeurs de la dimension fractale D et changer la géométrie de diffusion, respectivement (Fig. 5).

Sur la base des calculs effectués, les conclusions suivantes ont été tirées. Avec des valeurs D, différant peu des nombres entiers, la majeure partie de l'énergie est dissipée dans la direction du miroir. Les lobes latéraux se forment en raison de la diffusion de Bragg. Avec une dimension fractale croissante D surface de diffusion, le nombre de lobes secondaires et leur intensité augmentent. La plage angulaire des lobes latéraux s'étend également avec l'augmentation D, lorsque les hautes fréquences spatiales commencent à jouer un rôle important. En cas de petit D, les méthodes classiques et fractales de calcul des champs parasites coïncident. Ainsi, la dimension fractale D la surface rugueuse peut être estimée à partir des caractéristiques du champ parasite calculées ou mesurées. En pratique, les dimensions de la zone irradiée doivent être au moins 2 fois supérieures à la période principale de la structure de surface afin que les informations sur ses paramètres fractals soient contenues dans les caractéristiques de diffusion.

Sur la base de la fonction de Weierstrass pour une surface de diffusion fractale unidimensionnelle, l'auteur a calculé la dépendance du module de champ diffusé sur la dimension fractale de la surface D et sur l'angle d'incidence (Fig. 6 et Fig. 7). Plus la dimension fractale est grande, plus la valeur absolue du champ de diffusion est élevée. Ce phénomène peut s'expliquer par la contribution croissante de la diffusion secondaire sur les petites irrégularités par rapport à une surface moins rugueuse. Lorsque l'angle d'incidence change, le champ de diffusion change spontanément, ce qui s'explique par la structure chaotique de la surface de diffusion.

Des études complémentaires sur la diffusion des ondes sur les fractales seront poursuivies dans le cadre du calcul des fonctions de cohérence fréquentielle ou bande de cohérence Δ F c pour le canal de détection fractale radar.

DANS premier chapitre L'évolution de la direction scientifique choisie est considérée, ainsi que son niveau actuel et les problèmes auxquels est confrontée la radiophysique fractale. Une revue des travaux existants sur la diffusion des ondes radio SMV et SMV sur les surfaces fractales est donnée. Des objectifs de travail ont été fixés.

Chapitre deux est consacré à la modélisation d'une surface fractale à l'aide d'une fonction de Weierstrass bidimensionnelle à portée limitée. La première section présente la fonction de surface elle-même et ses implémentations graphiques, et la deuxième section établit le lien entre les paramètres statistiques classiques de la surface et les paramètres fractaux.

DANS troisième chapitre La diffusion des ondes radio dans les plages millimétriques et centimétriques sur les surfaces fractales construites est prise en compte. L'approximation de Kirchhoff est utilisée pour calculer les paramètres de diffusion. La première section fournit un modèle de diffusion et des formules générales pour calculer le champ de diffusion. La deuxième section fournit une formule pour le champ de diffusion moyen. La troisième section décrit l'indicateur de diffusion de champ. Dans la quatrième section, des relations sont données pour les indicatrices de diffusion basées sur l'intensité moyenne. La cinquième section discute de la formule approximative de l'intensité de champ moyenne pour le problème de la diffusion sur un écran de phase fractale. La sixième section présente les résultats de calculs d'indicateurs de diffusion dans le domaine des micro-ondes.

Chapitre quatre est consacré à l'étude du comportement du champ de diffusion des ondes radio sur des surfaces fractales unidimensionnelles, et introduit également le concept de fonction de cohérence fréquentielle.

DANS Conclusion Les principaux résultats des travaux sont présentés et leur conformité aux objectifs fixés est démontrée.

DANS Application De nombreux exemples de surfaces fractales de diffusion, l'indicateur de diffusion du MMV et du SMV sont publiés.

Principaux résultats des travaux sont les suivants:

1. Le problème de la diffusion de MMW et SMW par des surfaces fractales ayant des caractéristiques différentes aux petits angles d'incidence Θ et en utilisant la méthode de Kirchhoff a été résolu numériquement.

2. La description du relief par la fonction fractale à portée limitée Wн( X,oui); un lien a été établi entre les paramètres statistiques classiques d'une surface aléatoire et sa dimension fractale D.

3. Un programme a été développé et les indicateurs de diffusion ont été calculés g(θ1, θ2) MMV et SMV pour une large gamme de surfaces fractales différentes.

4. Un catalogue de types caractéristiques de surfaces de diffusion fractale a été compilé et analysé sur la base de la fonction de Weierstrass, ainsi que d'indicateurs de diffusion tridimensionnels et de leurs sections pour les longueurs d'onde λ = 2,2 mm ; λ = 8,6 mm et λ = 3,0 cm.

5. Il est montré que pour les valeurs de la dimension fractale D tendant vers un nombre entier, les valeurs d'intensité de diffusion obtenues se rapprochent des résultats classiques.

Ouvrages cités

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2. Rytov AVEC.M., Kravtsov YU.UN., tatar DANS.ET. Introduction à la radiophysique statistique : En 2 heures.Champs aléatoires. – M. : Nauka, 1978. – Ch. P. – 464 p.

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7. Sayles RS, Thomas TR ; Berry M. V., Hannay J. H..//Nature. 1978 V.271, n° 000 ; V. 273, n° 000.

Publications

Articles dans des revues scientifiques :

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2. , Théorie de la diffusion des ondes par une surface anisotrope fractale // Monde non linéaire. 2008. T. 6. N° 1. P. 3 – 36.

3. , Dépendance des processus de diffusion des ondes sur les paramètres statistiques des surfaces rugueuses classiques et fractales // Monde non linéaire. 2008. T. 6. N° 4. P. 231 – 233.

4. , Caractéristiques de diffusion d'ondes radio millimétriques et centimétriques sur des surfaces décrites par une fonction fractale différentiable par morceaux // Dynamique des systèmes complexes. 2009. T. 3, n° 1. P.25-29.

Actes de la conférence:

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2. , Synthèse de surfaces fractales basée sur des approximations de la fonction de Weierstrass non différentiable et des indicatrices fractales de diffusion du rayonnement électromagnétique // Proc. rapport XIe Internationale Forum de la jeunesse « Radioélectronique et jeunesse au XXIe siècle » (Kharkov, 10 - 12 avril 2007) - Kharkov : Maison d'édition. KNURE, 2007. Partie 1. pp. 245 – 246.

3. , Sur les indicatrices de diffusion d'ondes millimétriques et centimétriques par une surface anisotrope fractale stochastique // Recueil d'articles. rapports du XIII Int. NTK « Radarlocalisation, navigation, communication » (Voronej, 17 – 19 avril 2007) - Voronej : NPF « Sakvoee », 2007. T. III. Années 1770 – 1833.

4. Sur les indicatrices de la diffusion des ondes à partir de la surface anisotrope fractale aléatoire // Proc. XIIIe Int. Scientifique – Recherche Conf. « Radiolocalisation, navigation, communication » (Russie, Voronej, 17 – 19 avril 2007). - Voronej : NPF « Sakvoee », 2007. P. 86 – 147.

5. , Diffusion des ondes radio par des surfaces fractales synthétisées sur la base de fonctions non différentiables de différentes dimensions fractionnaires // Proc. rapport XVe Internationale école étudiante - séminaire « Nouvelles technologies de l'information » (Crimée, Sudak, mai 2007) - M. : MIEM, 2007. P. 98 – 99.

6. , Sur les propriétés statistiques d'un champ dispersé par une surface rugueuse fractale // Actes de l'International. scientifique conf. "Émission et diffusion d'ondes électromagnétiques - IREMV-2007" (Taganrog, 25 - 30 juin 2007) - Taganrog : Maison d'édition. TTI SFU, 2007. T. 1. P. 435 – 440.

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8. Potapov A.A., Matveev E.N., Potapov V.A., Laktyunkin A.V. Modélisation mathématique et physique des antennes fractales et des surfaces et volumes sélectifs de fréquence fractale pour les systèmes radio fractals // Proc. la deuxième conférence européenne sur les antennes et la propagation EuCAP 2 novembre 2007, The EICC, Édimbourg, Royaume-Uni). - Édimbourg : The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007. ThPA.031. pdf. 6 p.

9. , Caractéristiques de la diffusion des ondes radio millimétriques et centimétriques sur les surfaces décrites par une fonction fractale différenciable par morceaux // Actes du XIe séminaire scolaire panrusse « Phénomènes ondulatoires dans les milieux inhomogènes (région de Zvenigorod de Moscou, mai 2008). - M. : Éditions maison de l'Université d'État de Moscou, 2008. Partie 3. pp. 68 – 70.

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13. Laktyunkin A. V., Potapov A. A. Dépendance de la diffusion des ondes radio aux paramètres statistiques des surfaces rugueuses classiques et fractales // Programme 3e Conf. européenne. sur les antennes et la propagation EuCAP 2 mars 2009, Berlin, Allemagne).- Berlin : EurAAP, 2009. P. 24. ( http:///conferences_fr/eucap2009/).

14. , Caractéristiques de fréquence et d'énergie des ondes radio diffusées sur les surfaces fractales // Collection d'articles. rapports du XV Int. NTK « Radarlocalisation, navigation, communication » (Voronej, 14 – 16 avril 2009). - Voronej : NPF « Sakvoee », 2009. T. I. P. 579 – 590.

15. Laktyunkin A. V., Potapov A. A. Fréquence et caractéristiques spatiales de la diffusion des ondes sur les fractales // Book of Abstracts 2nd Int. Conf. (CHAOS' 2009) sur la modélisation, la simulation et les applications chaotiques, juin 2009, La Canée, Crète, Grèce) - La Canée : Université nationale et Kapodistrian, 2009. P. 40. (http://www.chaos2009.net/programabstracts.html ) .

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Au milieu du XXe siècle, alors que le monde scientifique tout entier était captivé par la nouvelle théorie des fractales, un autre célèbre financier américain, Ralph Elliott, proposa sa théorie du comportement des cours boursiers, basée sur l'utilisation de la théorie de Cependant, comme nous le verrons plus tard, les fractales ne reflétaient pas complètement leurs propriétés.

Elliott est parti du fait que la géométrie des fractales a lieu non seulement dans la nature vivante, mais aussi dans les processus sociaux. Il a également considéré la négociation d'actions en bourse comme un processus social.

Sa théorie est peut-être la seule aujourd’hui qui nous invite à nous tourner vers l’essence même du marché : le prix. Et en analysant le comportement passé, prédisez sa valeur future. Pour ceux qui ne connaissent pas encore cette théorie, nous allons en répéter les principaux points :

Les chiffres sont utilisés pour indiquer une tendance à cinq vagues et les lettres sont utilisées pour indiquer la tendance opposée à trois vagues. Si une vague est dirigée vers la tendance principale et se compose de cinq mouvements de vague, elle est alors appelée impulsion (Fig. 2). Si la direction de la vague est opposée à la tendance principale et qu'elle se compose de trois mouvements de vague, elle est alors dite corrective (Fig. 3).

Les vagues A et C sont toutes deux des ondes impulsionnelles, si elles sont considérées par rapport au cycle descendant, et correctives, si elles sont considérées par rapport à l'ensemble du cycle.

Principes de base de la théorie des vagues :

1. Le mouvement principal se déroule selon une structure composée de cinq vagues, après quoi toute la séquence est corrigée par une structure de trois vagues (Fig. 4)

2. La vague 2 corrige la vague 1, la vague 4 corrige la vague 3. La séquence complète des vagues de 1 à 5 est corrigée par la séquence ABC.

3. D'un point de vue à plus grande échelle, la séquence des vagues 1 à 5 constitue une vague de « degré supérieur ».

4. À l’échelle microscopique, chacune des ondes peut être décomposée en composantes de petites ondes, conformément au principe énoncé au paragraphe 3.

5. Rythme de base du mouvement, c'est-à-dire Les « cinq », ajustés par « trois », ainsi que diverses règles et règlements, restent inchangés quelle que soit l'échelle de temps choisie.

6. L’échelle de temps des structures de vagues est moins importante que la forme des structures elles-mêmes. Les vagues peuvent s’allonger ou se rétrécir, mais la forme de base reste la même.

En figue. La figure 1 montre le cycle des vagues d'Elliott.

De nombreux livres ont été écrits sur la théorie d'Elliott, mais peu de gens peuvent lire que le mérite de Ralph Elliott est d'avoir appliqué la théorie fractale au marché. En Russie, Bill Williams est considéré comme le premier à utiliser les fractales dans le trading. Cependant, une étude plus détaillée des deux théories suggère le contraire. Bill Williams a utilisé le terme fractal pour décrire sa stratégie de trading et rien de plus. L'auteur appelle une combinaison de cinq barres une fractale (Fig. 6). Bien entendu, cette combinaison ne reflète pas toutes les propriétés des fractales et induit le lecteur en erreur sur la véritable compréhension d’une fractale. Dans ses livres ultérieurs, Bill Williams a complètement abandonné l'utilisation de la théorie du chaos dans le trading, en utilisant un « indicateur miracle » - l'alligator. Basé sur des moyennes mobiles, cet indicateur a attiré l'attention de la plupart des commerçants russes et la théorie des fractales est progressivement tombée dans l'oubli auprès du public.

La théorie d'Elliott, contrairement à Bill Williams, n'a pas annoncé l'utilisation des fractales sur les marchés financiers, mais c'est cette théorie que nous pouvons proclamer avec confiance comme le début de la véritable application de l'analyse fractale sur les marchés financiers. Il convient ici de citer un article qui décrit la théorie d’Elliott :

« Elliott a été l’un des premiers à définir clairement le fonctionnement de la géométrie fractale dans la nature, en l’occurrence dans le tableau des prix. Il a suggéré que chacune des vagues d'impulsion et de correction qui viennent d'être présentées était également un diagramme de vagues d'Elliott. À leur tour, ces ondes peuvent également être décomposées en composants, etc. Ainsi, Elliott a utilisé la théorie fractale pour décomposer une tendance en parties plus petites et plus compréhensibles. Connaître ces parties à une échelle plus petite que le graphique à plus grande vague est important car les traders (acteurs du marché financier), sachant dans quelle partie du graphique ils se trouvent, peuvent vendre des devises en toute confiance lorsqu'une vague de correction commence et devraient les acheter lorsque la vague d'impulsion commence. ".

La théorie d'Elliott s'avère bien plus proche de la véritable application de l'analyse fractale sur les marchés financiers. En se basant sur la définition d'une fractale, Elliott a été le premier à remarquer que les ondes d'un ordre plus petit sont similaires aux ondes d'un ordre supérieur et que le système est AUTO-SIMILAIRE. La plupart des gens considèrent que l'essentiel de la théorie d'Elliott est qu'il a identifié un cycle avec une certaine structure de vague. Après l'avoir numéroté, Elliott a suggéré d'utiliser le système qu'il a créé pour le trading quotidien. Mais lorsque la plupart d’entre nous sont confrontés à la réalité des données, plutôt qu’au simple modèle détaillé dans la théorie des vagues, beaucoup sont déçus de ne pas retrouver le cycle dans sa forme originale.

Si la numérotation des vagues, avec sa régularité inhérente, telle qu'elle a été décrite par Elliott, était vraiment si simple, alors il ne nous serait pas difficile de trouver cinq vagues chaque jour et de nous placer dans la bonne direction.

Il s’avère donc que la théorie des vagues d’Elliott est inutile à appliquer ?! Et les fractales ? Mais qu’en est-il des centaines de traders qui appliquent cette théorie et disent qu’elle fonctionne ? Pour ceux qui ont lu des livres sur les ondes d’Elliott, la phrase est bien connue : « Afin d’appliquer la théorie des vagues sur le marché, des années de formation et une compréhension approfondie de son essence sont nécessaires. » Cela peut être vrai si vous commencez par ce que suggère Elliott, mais il existe des méthodes beaucoup plus rationnelles pour parvenir à un professionnalisme dans l’identification de la structure des prix.

Regardons un exemple et utilisons-le pour comprendre pourquoi la confusion se produit dans les vagues. En figue. 6 (A) montre la paire de devises Euro/Dollar, et sur la Fig. 6 (B), la même paire inversée. Cependant, pour l’instant, nous nous éloignerons des principes de la théorie des vagues, juste pour voir comment nos croyances peuvent affecter l’interprétation des vagues. En figue. 6 (A), un débutant qui ne comprend pas vraiment tous les principes des vagues, comptera 3 vagues montantes et 2 vagues correctives descendantes. En figue. 6 (B) le même débutant comptera les vagues comme une correction à 3 vagues. Bien sûr, si nous regardons plus en profondeur, alors sur la Fig. 6 (A) on voit bien comment la quatrième vague a chuté de plus de 60% de la 3ème vague, mais en même temps on n'a pas le droit de dire à notre débutant que la figure ne montre pas 5 vagues !

En figue. 6 (B) montre la même paire, mais dans un format plus petit. Cela montre vraiment très bien le cycle d'Elliott : j'ai marqué d'une ligne rouge l'endroit où commence la structure représentée sur la figure 1. 6 (B). On peut dire que sur la Fig. 6 (B) il y a 5 vagues montantes et « schématiquement » 3 vagues descendantes. Cependant, une telle affirmation sera-t-elle vraie ? Pourquoi ne pouvons-nous pas dire que non pas 3 vagues, mais 5 vagues vont dans une direction descendante ? Le fait est que cette affirmation sera en contradiction avec notre idée du cycle standard proposée par Elliott.

Attendez! Mais de quels cycles parle-t-on ? Dans notre vie quotidienne, un cycle est une certaine période de temps avec ses montées et ses descentes inhérentes. Regardons l'exemple suivant :

Tout le monde sait que pour tirer le maximum de revenus de la vente de glaces, il est nécessaire d'augmenter le volume de production au mois de mai, lorsque le soleil commence à briller et que la demande pour le produit augmente. Et afin de maintenir nos bénéfices, nous devons réduire le nombre de produits fabriqués entre septembre et octobre. Ainsi, en utilisant la saisonnalité de nos produits, c'est-à-dire cycle (Fig. 7), nous pouvons obtenir un profit maximum avec un minimum de pertes.

La figure 6 montre le cycle saisonnier des ventes de glaces. Q est la quantité de glace que nous vendons ; T – temps, dans ce cas des mois.

Imaginons maintenant que nous ayons enregistré toutes les estimations de ventes pour les 4 années pendant lesquelles nous avons vendu des glaces et voyons à quoi ressembleront nos ventes dans une représentation graphique (Fig. 8).

En figue. 8 montre clairement la séquence de cycles réguliers et, surtout, auto-similaires.

Considérons maintenant le cycle proposé par Ralph Elliott, illustré à la Fig. 9. Elliott a supposé que ce cycle pourrait se développer à la fois vers le haut (Fig. 4) et vers le bas (Fig. 7). Essayons maintenant de construire une séquence à partir de ces cycles (Fig. 9).

Si la fig. 9 est un comportement fiable du système, il s'avère que nous observerons une onde ascendante avec 5 ondes d'ordre inférieur et une onde descendante à 3 ondes. Et vice versa, si nous observons une vague descendante composée de 5 vagues, alors une vague descendante sera composée de 3. Une question naturelle se pose : cette image correspond-elle à la réalité ?

Bien sûr que non. Sur les marchés des changes et sur les autres marchés financiers, il existe à la fois des cycles ascendants à 5 vagues et des cycles descendants (Fig. 10).

En figue. La figure 10 montre la paire de devises USD/CHF (A) et la paire de devises GBP/USD (B) sur la même échelle de prix et, par conséquent, sur la même période.

Veuillez noter que sur la fig. 10(B), les cotations sont inversées ; en fait, la paire GBP/USD évoluait dans une direction ascendante. Cela a été fait pour une plus grande clarté des cycles.

Donc. En supposant qu'Elliott ait connaissance de la présence simultanée de cycles ascendants et descendants, alors une autre question se pose : par quels moyens se produit la transition d'un cycle à un autre ? Le fait est que si vous imaginez la présence des deux cycles selon la théorie d’Elliott, alors ils ne s’emboîtent tout simplement pas ! (Fig. 10).

Ou plutôt, ils peuvent être combinés, mais nous obtiendrons alors les options suivantes pour l'évolution de la situation :

1. Après une vague ascendante à cinq vagues, nous observerons une structure descendante à 7 vagues.
2. Après la vague descendante à cinq vagues, nous observerons une structure ascendante à 7 vagues.
3. Après une vague ascendante de cinq vagues, nous observerons une descente de 5 vagues et vice versa, pour une vague descendante de cinq vagues nous observerons une hausse de cinq vagues.

Comme nous le voyons, pour passer à un autre cycle, le système a besoin de plus de 3 vagues.

Les analystes qui étudient les cycles du marché des changes sont divisés en deux catégories : la première est représentée par les économistes qui affirment que le prix évolue en 5 vagues de hausse et 5 vagues de baisse, la deuxième catégorie est représentée par les elliottistes qui sont guidés par le cycle présenté. En figue. 1. Le plus intéressant, c’est que la vérité se situe toujours au milieu. Tous deux ont raison, mais leur erreur est qu’ils adhèrent catégoriquement à leurs hypothèses et ne permettent pas à leurs croyances d’être plus flexibles. Oui, sur le marché Forex, il est vraiment possible de distinguer les structures à 3 et 5 vagues, tout dépend du stade de développement du cycle. Nous reviendrons sur cette question dans la section (« Cycles du marché des changes »), et maintenant nous continuerons à considérer la théorie d’Elliott.

Curieusement, beaucoup de ceux qui appliquent la théorie d'Elliott se concentrent davantage sur l'observation exacte du cycle du marché présenté dans la Fig. 4, mais pas comme le cycle montré sur la Fig. 11 (inversé). Notre vision est trop simple et peu de gens peuvent se forcer à changer leur perception de la réalité environnante. Pour toute personne, regarder à l’envers est beaucoup moins courant que regarder avec un regard normal (non à l’envers).

Nos croyances s’écartent très souvent des nouveaux concepts. Lorsque nous voyons des données réelles au lieu du modèle linéaire d’Elliott, nous essayons de superposer le cycle à des structures de marché complexes et de faire une prévision rationnelle. J'ai remarqué que lorsqu'un débutant voit le marché pour la première fois, il s'y intéresse peu. La complexité de la structure est associée à l'inaccessibilité et à l'imprévisibilité. Si un débutant a lu plusieurs livres sur la théorie d’Elliott et n’a jamais vu comment évolue le prix, il est peu probable qu’il soit en mesure de faire une prévision intelligente.

La différence entre l’analyse fractale et la théorie d’Elliott est qu’elle donne une image plus détaillée de la structure des prix. Imaginons que vous soyez un extraterrestre et qu'on vous confie une tâche : faire sortir une substance inconnue de la terre. Tout ce que nous savons, c’est que la substance s’appelle « fleur » ; il vous faut une rose, mais vous ne connaissez pas son nom. Vous disposez d’un schéma approximatif d’une fleur (Fig. 12(A)). Vous, voyant le dessin devant vous, allez sur terre, pensant que vous trouverez et emporterez facilement tout. Cependant, après avoir atterri du ciel sur la terre, vous voyez soudain qu'à partir de la variété des plantes sur terre, il s'avère qu'il vous est très difficile de trouver ce dont vous avez besoin, car toutes les fleurs se sont révélées semblables les unes aux autres selon votre schéma. Du coup, vous ne voyez pas que la rose est devant vous. La même situation se présente sur le marché des changes lorsque l'on apprend l'existence de la théorie d'Elliott. Après avoir lu le livre, vous connaissez le modèle approximatif et décidez de l’appliquer comme méthode d’analyse de marché. Mais ce n'est pas un problème, lorsque vous êtes confronté à des données réelles, vous ne voyez pas le schéma simple proposé par Elliott, mais vous observez de nombreuses oscillations d'ondes chaotiques, à première vue, de diverses formes.

Nous pouvons détecter notre rose si nous connaissons sa structure plus détaillée et les propriétés de cette fleur. En figue. 12(A), nous ne voyons qu'une structure approximative, sur la Fig. 12 (B) montre la structure détaillée de la fleur.

Répondons à la question restée si longtemps sans réponse : qu'est-ce qu'une fractale sur le marché ?

Dans le modèle proposé par Elliott, chaque partie représente une forme entière, un cycle. Cependant, avec tout le respect que je dois à Ralph Nelson Elliott, sa théorie n’est pas fractale ! Oui, on peut dire qu'il reflète en partie la propriété d'une fractale, mais il est impossible de le qualifier de complet et d'exhaustif. Elliott a proposé un modèle auto-similaire de comportement des prix, qui est essentiellement une fractale, mais qui ne reflète pas toutes les propriétés inhérentes à ce concept ni ce qui se passe réellement sur les marchés financiers.

Le temps joue le rôle d’une fractale sur les marchés financiers, et le mouvement BROWNien, généralisé ou fractionnaire, joue le rôle du prix !

Et cela affecte considérablement l’interprétation du modèle Elliott. Nous pouvons maintenant expliquer pourquoi nous ne pouvons pas trouver des cycles de même forme en zoomant. En le changeant, nous passons à un autre niveau de l'image de notre cycle, qui n'est rien de plus qu'un mouvement brownien, à la suite duquel nous observerons un fragment agrandi, mais nous ne pourrons voir le même cycle qu'après l'achèvement. du précédent ! De plus, des fragments d'un cycle peuvent très bien ressembler à la forme générale, mais ne doivent pas nécessairement en être une COPIE.

En figue. 13 montre le cycle d'Elliott. Le carré contient une vague sélectionnée au hasard. Selon la théorie des vagues, il répète tout le cycle dans son ensemble.

En figue. 14 Le modèle qui correspond le mieux à la réalité est présenté. Voici le cycle complet et un fragment agrandi de celui-ci. On voit clairement qu’ils sont très différents les uns des autres.

De plus, Elliott a simplifié à l’extrême la réalité que nous voyons sur nos moniteurs. Comme nous l'avons vu en étudiant la figure 12, il n'est pas toujours possible de déterminer avec précision la réalité à l'aide d'un schéma simplifié. Regardons ce qui différencie un artiste professionnel d'un enfant de 5 ans. Le plus intéressant et peut-être le plus drôle sera que tous deux se sentiront dans le rôle d'un artiste. Nous voyons le résultat de leurs travaux sur la Fig. 15.

Il n'est pas difficile de distinguer quel dessin a été réalisé par l'artiste et lequel par l'enfant. Mais pourquoi avons-nous si rapidement déterminé à qui appartenait le dessin ? Le fait est que l'enfant voit le monde qui l'entoure sous des formes plus simples et son œil ne distingue pas beaucoup de nuances de couleur, ou plutôt, il distingue, mais il n'a AUCUNE IDÉE sur la manière de le représenter sur papier. Examinons maintenant la situation avec des analystes ayant une expérience professionnelle différente. Un débutant généralisera le comportement des prix et ne remarquera pas les petites nuances ; un professionnel agira avec beaucoup plus de prudence et étudiera la structure des prix plus en détail, en la comparant avec l'expérience accumulée. Que signifie être plus granulaire par rapport aux marchés financiers ?

En figue. La figure 16 montre une structure de prix détaillée, que nous étudierons dans les sections suivantes du cours. A l'œil nu on peut voir la différence entre ce modèle et celui proposé par Ralph Nelson Elliott. En figue. La figure 16 (B) montre un diagramme simplifié du cycle d'Elliott, car dans la plupart des cas, il s'agit de la représentation idéale de la structure des prix dans la tête du trader. Mais, même si cela est compliqué (Fig. 1), cela n’est toujours pas comparable à ce qui est présenté sur la Fig. 16 (A). Comme nous le verrons plus tard, la différence entre ces modèles ne résidera pas seulement dans le détail des éléments, mais également dans les propriétés inhérentes à chacun d'eux.

Elliott a seulement posé les bases et proposé une forme simplifiée de comportement des prix, mais il peut être compris, car il ne disposait pas d'un ordinateur ni de divers programmes affichant les cotations, par conséquent - un modèle simplifié de comportement des prix. Nous devons avancer. On sait que les théories ont tendance à devenir plus complexes et à se développer avec le temps, et si cela ne se produit pas, soit elles disparaissent, soit elles font partie d'une autre science. La complexité est parfois intimidante, mais c’est ce qui nous permet de passer du statut de débutant à professionnel. Et plus encore, ce serait un péché de ne pas profiter de la variété des données que nous voyons chaque jour sur les écrans de nos moniteurs.

En comparant les images de la Fig. 12, 15, 16, nous pouvons comparer leurs différences structurelles, cependant, en les regardant, nous ne pouvons pas découvrir les propriétés d'une fleur, d'un arbre, d'un modèle, ce qui peut nous dérouter dans la recherche d'un cycle. Les propriétés d'une fleur seront : sa couleur, son odeur, sa taille approximative, etc. Les propriétés d'un modèle fractal seront : l'auto-similarité, la dimension, l'irrégularité, l'auto-affinité. Mais pour révéler ces propriétés, il faut recourir à une analyse détaillée de l'objet étudié, qui nous aidera à reconnaître le début et la fin du cycle.

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